乘数
何垚
摘 要：乘数原理和加速数原理是乘数——加速数模型的核心所在，我们主要是通过它们两来分析经济的周期性波动。利用状态空间法对改进的宏观经济系统：动态乘数—加速数模型的稳定性进行了分析，得出了该模型渐近稳定的充分必要条件。
关键词：乘数；加速数；状态方程；稳定性
0 引言
“乘数原理”和“加速原理”各自阐述的重点不同。“乘数原理”旨在阐明收入的变化与带来这种变化的投资支出之间的比率关系，而“加速原理”旨在阐明人们收入的微小变动是怎样让投资数额发生很大的变动，它俩要阐明的经济变动是互相关联、互相影响的。在实际的经济系统中乘数——加速数原理相互共同作用是凯恩斯主义学派对乘数原理的继承和发展，我们正是运用宏观经济学中的“乘数”和“加速数”之间的相互作用来对经济的周期性经济现象的变动作出解释的。
1 乘数——加速数模型的基本思想
乘数——加速数模型在试图把外部因素和内部因素结合在一起对经济周期作出解释的同时，特别强调投资变动的因素。假设新发明的出现使投资数量增加，他们会通过乘数作用使收入增加。当人们收入增加时，就会购买更多的商品，从而使整个社会的物品销售量增加。再通过加速数的作用会促进投资以更快的速度增加，而投资的增加又使国民收入增加，从而销售量进一步上升，如此循环，社会经济便处于扩张阶段。[1]但社会资源是有限的，当经济达到周期顶峰时，收入便不再增长，销售量也就不再增长，根据加速原理意味着投资量下降为零。又投资下降，收入下降，导致销售量也进一步下降。又由于加速原理，销售量的下降使投资进一步下降，而投资的下降又使国民收入进一步下降。如此往复，社会经济周期便又处于衰退期。经济周期的形成就是这样通过乘数—加速数模型的原理实现的。
对萨缪尔森的乘数——加速数模型的基本方程进行整合，得模型的输入——输出表达如下：Yt=1+abYt-1-abYt-2+Ut （1）
式中，第t季度的国民收入用Y（t）表示，第t季度的国民消费用C（t）表示，第t季度的国民投资用I（t）表示，第t季度的国民政府支出用G（t）表示。a为加速数，b为边际消费倾向。
2 乘数——加速数模型的控制论分析
将（1）式转化成为状态空间模型，写成矩阵形式：
输出方程为：
由于上面情形存在多种情况的稳定性讨论。所以我们在下文对乘数加速数模型进行改进再讨论其稳定性。
3 对乘数——加速数模型进行改进并分析其稳定性
现在讨论下面的改进的乘数——加速数模型：
Yt=Ct+It+G 4Ct=a+bYt-1+dCt-1 5It=eCt-Ct-1+I 6
上式中a为自主消费且a>0，b表示边际消费倾向，0
3.1 经济系统的稳定性的判别方法
定理：设有二阶线性定常离散系统x（k+1）=Ax（k）式中，xk∈R，A∈R。若I-A为非奇异，则系统的平稳解为x=I-A，系统关于x的稳定性取决于特征根的情况。特征多项式为 当二阶线性定常系统的两个特征根全部位于Z平面的单位圆中时，系统渐进稳定，此时，系统关于平衡态xe渐近稳定的充分必要条件为
f0<1，f-1>0，f1>0 7
依据这个定律我们将在下面对改进的模型的稳定性进行分析。
3.2 建立改进后模型的状态空间方程：
将上述方程（5）（6）代入（4）得方程：
Yt=1+ebYt-1+d+ed-eCt-1+a1+e+G+I 8
定义状态变量：
从而可以得到改进后模型的空间状态方程：
则：E-A=1-d-b其中是E二阶的单位矩阵，由上述定理可以知道当b+d≠1时，平衡状态：
是改进后模型的系统关于平衡状态的唯一解。
矩阵A的特征方程为：
从定理得，模型改进后的系统关于Xe渐近稳定的充要条件为：eb<1b+d<1 其中，e>0，0 画出其图形，从图形中我们可以看到，当点（e，b）在阴影面积区域之外时，改进的系统不稳定，当在阴影区域内时，改进后的系统就关于Xe渐近稳定。 参考文献： [1]龚德恩.经济控制论概论[M].北京：中国人民大学出版社，1988.
