培养观察能力 开拓解题思路
潘益娟
摘 要：在解决数学问题教学过程中教师引导学生观察命题的结构特点，从已知条件、所要解决的问题结论等多方位有目的地指导观察分析，通过类比、联想等手段观察问题，深入思考挖掘题目的隐含条件，领会问题的构思诀窍，开拓学生的解题思路，形成一条解决问题的思维链，促使他们熟练掌握正确地解决问题的方式方法.
关键词：引导观察；酝酿思路；正确运用
培养学生的观察能力，激发学生的学习主动性，是教学的重要目的之一，也是提高数学教学质量，发展学生综合能力的一个重要手段[ 1 ].因此，除了在教学的各个环节上重视教材内容的特点外，还应注意培养学生的观察能力。如在指导学生参加福建省初中数学竞赛解题时，教师应引导他们观察问题的特点，开拓他们的解题思路，化繁为简，化难为易，熟练正确地解决问题.
1 观条件隐含，察结论联系
例1.设x= ，求 的值.
分析：本题为化简求值，通常先把x= 化为x= =4- ，再把 化简后，把x=4- 代进去求值，甚为麻烦。通过观察，发现如能从条件x=4- 中继续变化，可得x2-8x+13=0，这一隐含条件再将所求的分母、分子中析出x2-8x+13，求法将极大地简化.
解：∵x= ， ∴x2-8x+13=0 .
∵
=
= =5 .
例2.已知：（ ）m+（ ）m=4，求m的值.
分析：观察题目，发现它隐含（ ）m×（ ）m=1.所以，（ ）m与（ ）m与可以看成是一元二次方程x2-4x+1=0的两根，得x1.2=2± =（ ）2= （ ）-2 ∴m=±2
上述二例中，教师通过引导学生从已知条件看到它背后隐含的条件，给解题提供了充足条件，联系问题结论实际要求，通过选择合适的运算方式，从而十分简洁地解决问题.
2 观所求结论，察已知题设
例3.若x-y=3，x2+y2=10，求x2-y2的值.
分析：按常规，本题可以通过解方程组x-y=3x2+y2=10，得出x，y.但观察已知条件可知x2-y2与已知只差一个（x+y），且x+y=± =± =± ，从而x2- y2=（x+y）（x-y）=±3 .
例4.若a是方程x4+4x3+2x+2=0的一個根，不用求a的值，将 化简.
分析：根据问题的特点，可观察到所要求的结论与已知存在着密切的联系，不难发现，所要求的分母a3+4a2+2与已知方程左边x4+4x3+2x+2中前三项即x4+4x3+2x有形似之处，所以不妨在已知条件a是方程x4+4x3+2x+2=0的根上做文章.
解：∵a是方程x4+4x3+2x+2=0的根.
∴x4+4x3+2x+2=0即x4+4x3+2x=-2.
∴ = = =-a2+2a .
上述二例，培养学生从结论出发联想其与已知条件所存在的关系，这可以给解题提供清晰的思路，促使问题得以轻松有效地解决.
3 观题目特点，察所学知识
（1） 巧用二次函数性质
例5.已知：a，b，c都是实数a≠b，且16a+8b+c>0，9a-6b+c<0.证明：b2>ac.
分析：通过观察，本题可转化为y=ax2+bx+c 的相关问题来解决，把条件变形为a（-4）2-2b（-4）+c>0，a·32-2b·3+c<0，这意味着二次函数y=ax2-2bx+c，当x=-4时y>0，而当x=3y时y<0，因此，得知函数y=ax2-2bx+c的图象有在x轴的上方，也有在x轴的下方，故图象与x轴必有两个交点，即一元二次方程y=ax2-2bx+c有两个不等实根，故判别式△>0，即（-2b）2-4ac>0，从而b2>ac.
通过这个例子的已知条件与所求证的问题观察，联想到它可利用二次函数的有关性质来解决，这就显示了通过观察和联想能开阔解题的思路，促进问题得以有效解决.
（2）活用根与系数的关系
例6.求证：若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，则x+z=2y.
分析：本题若按一般方法来解的话，应先将已知条件中方程的左边根据整式的乘法运算法则展开，再利用因式分解去化简整理，这样解题计算过程则较为复杂，若从已知条件的特征上认真观察的话，可知已知等式的左边与一元二次方程的判别式形式差不多，所以本题可看成是方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等根的条件，而且还观察到当t=1时这个方程成立，∴t=1是方程的根.于是根据一元二次方程的根与系数的关系可得： =1 ，所以x+z=2y. 例7.已知实数a，b，c满足
a2-a-bc+1=0 ①
2a2-2bc-b-c+2=0 ② ，
证明：a≥1.
分析：通过观察，根据已知条件构造一个系数含有a且有实根的二次方程，由①式得bc=a2-a+1…③
以①×2-②得b+c=2a…④，由③、④及根与系数的关系可知实数b，c是方程x2-2ax+a2-a+1=0的两个实根，故其判别式△≥0，即（-2a）2-4（a2-a+1）≥0，得a≥1.
（3）综合运用数形结合
例8：解不等式 >x +|x-1|.
分析：本题通常解法是先分区间去绝对值符号，然后解无理不等式，相当复杂.但通过观察题目结构，发现可运用函数的图象直观地看出解的范围 .
解：y=x+|x-1|=1（x≤1）2x-1（x>1） 如图1，函数y= 与y = x +|x-1|的图象交于B、A两点，它们的横坐标分别为x1=2，x2=-6，从图形观察知，在-6
从以上例题可看出几乎每一个数学问题都有它的构思诀窍，而大部分学生在解决问题时，不知道要如何下手，没有方法可寻，所以，我们必须根据题目的要求，引导学生观察要点，开拓思路，对问题的各种形式进行对比观察，寻找转机，也许能达到“柳暗花明又一村”的效果，让他们有的放矢地解决问题[ 2 ].
参考文献：
[1] 崔亚明.数学教学要培养学生观察力[J].中国教育技术装备，2010（11）：86-87.
[2] 郑雅莉.地理教学中逆向思维能力的培养[J].考试周刊，2015（25） ：118-119.
摘 要：在解决数学问题教学过程中教师引导学生观察命题的结构特点，从已知条件、所要解决的问题结论等多方位有目的地指导观察分析，通过类比、联想等手段观察问题，深入思考挖掘题目的隐含条件，领会问题的构思诀窍，开拓学生的解题思路，形成一条解决问题的思维链，促使他们熟练掌握正确地解决问题的方式方法.
关键词：引导观察；酝酿思路；正确运用
培养学生的观察能力，激发学生的学习主动性，是教学的重要目的之一，也是提高数学教学质量，发展学生综合能力的一个重要手段[ 1 ].因此，除了在教学的各个环节上重视教材内容的特点外，还应注意培养学生的观察能力。如在指导学生参加福建省初中数学竞赛解题时，教师应引导他们观察问题的特点，开拓他们的解题思路，化繁为简，化难为易，熟练正确地解决问题.
1 观条件隐含，察结论联系
例1.设x= ，求 的值.
分析：本题为化简求值，通常先把x= 化为x= =4- ，再把 化简后，把x=4- 代进去求值，甚为麻烦。通过观察，发现如能从条件x=4- 中继续变化，可得x2-8x+13=0，这一隐含条件再将所求的分母、分子中析出x2-8x+13，求法将极大地简化.
解：∵x= ， ∴x2-8x+13=0 .
∵
=
= =5 .
例2.已知：（ ）m+（ ）m=4，求m的值.
分析：观察题目，发现它隐含（ ）m×（ ）m=1.所以，（ ）m与（ ）m与可以看成是一元二次方程x2-4x+1=0的两根，得x1.2=2± =（ ）2= （ ）-2 ∴m=±2
上述二例中，教师通过引导学生从已知条件看到它背后隐含的条件，给解题提供了充足条件，联系问题结论实际要求，通过选择合适的运算方式，从而十分简洁地解决问题.
2 观所求结论，察已知题设
例3.若x-y=3，x2+y2=10，求x2-y2的值.
分析：按常规，本题可以通过解方程组x-y=3x2+y2=10，得出x，y.但观察已知条件可知x2-y2与已知只差一个（x+y），且x+y=± =± =± ，从而x2- y2=（x+y）（x-y）=±3 .
例4.若a是方程x4+4x3+2x+2=0的一個根，不用求a的值，将 化简.
分析：根据问题的特点，可观察到所要求的结论与已知存在着密切的联系，不难发现，所要求的分母a3+4a2+2与已知方程左边x4+4x3+2x+2中前三项即x4+4x3+2x有形似之处，所以不妨在已知条件a是方程x4+4x3+2x+2=0的根上做文章.
解：∵a是方程x4+4x3+2x+2=0的根.
∴x4+4x3+2x+2=0即x4+4x3+2x=-2.
∴ = = =-a2+2a .
上述二例，培养学生从结论出发联想其与已知条件所存在的关系，这可以给解题提供清晰的思路，促使问题得以轻松有效地解决.
3 观题目特点，察所学知识
（1） 巧用二次函数性质
例5.已知：a，b，c都是实数a≠b，且16a+8b+c>0，9a-6b+c<0.证明：b2>ac.
分析：通过观察，本题可转化为y=ax2+bx+c 的相关问题来解决，把条件变形为a（-4）2-2b（-4）+c>0，a·32-2b·3+c<0，这意味着二次函数y=ax2-2bx+c，当x=-4时y>0，而当x=3y时y<0，因此，得知函数y=ax2-2bx+c的图象有在x轴的上方，也有在x轴的下方，故图象与x轴必有两个交点，即一元二次方程y=ax2-2bx+c有两个不等实根，故判别式△>0，即（-2b）2-4ac>0，从而b2>ac.
通过这个例子的已知条件与所求证的问题观察，联想到它可利用二次函数的有关性质来解决，这就显示了通过观察和联想能开阔解题的思路，促进问题得以有效解决.
（2）活用根与系数的关系
例6.求证：若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，则x+z=2y.
分析：本题若按一般方法来解的话，应先将已知条件中方程的左边根据整式的乘法运算法则展开，再利用因式分解去化简整理，这样解题计算过程则较为复杂，若从已知条件的特征上认真观察的话，可知已知等式的左边与一元二次方程的判别式形式差不多，所以本题可看成是方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等根的条件，而且还观察到当t=1时这个方程成立，∴t=1是方程的根.于是根据一元二次方程的根与系数的关系可得： =1 ，所以x+z=2y. 例7.已知实数a，b，c满足
a2-a-bc+1=0 ①
2a2-2bc-b-c+2=0 ② ，
证明：a≥1.
分析：通过观察，根据已知条件构造一个系数含有a且有实根的二次方程，由①式得bc=a2-a+1…③
以①×2-②得b+c=2a…④，由③、④及根与系数的关系可知实数b，c是方程x2-2ax+a2-a+1=0的两个实根，故其判别式△≥0，即（-2a）2-4（a2-a+1）≥0，得a≥1.
（3）综合运用数形结合
例8：解不等式 >x +|x-1|.
分析：本题通常解法是先分区间去绝对值符号，然后解无理不等式，相当复杂.但通过观察题目结构，发现可运用函数的图象直观地看出解的范围 .
解：y=x+|x-1|=1（x≤1）2x-1（x>1） 如图1，函数y= 与y = x +|x-1|的图象交于B、A两点，它们的横坐标分别为x1=2，x2=-6，从图形观察知，在-6
从以上例题可看出几乎每一个数学问题都有它的构思诀窍，而大部分学生在解决问题时，不知道要如何下手，没有方法可寻，所以，我们必须根据题目的要求，引导学生观察要点，开拓思路，对问题的各种形式进行对比观察，寻找转机，也许能达到“柳暗花明又一村”的效果，让他们有的放矢地解决问题[ 2 ].
参考文献：
[1] 崔亚明.数学教学要培养学生观察力[J].中国教育技术装备，2010（11）：86-87.
[2] 郑雅莉.地理教学中逆向思维能力的培养[J].考试周刊，2015（25） ：118-119.
