任意角的三角函数中的学习负迁移现象研究
张松山 张崇耀
摘 要：负迁移是影响学生学好数学的一个阻因，而三角函数的知识又是高中数学的难点之一.因此，有必要对两者的结合点进行研究.由迁移、负迁移的概念和分类，阐述了负迁移在任意角三角函数的教学中的影响及对策.
关键词：三角函数；负迁移；数学思维；教学对策
随着教育改革的深入，从专家学者到教学一线的教师，都从教学理论和教学实践等不同层面上加大了对迁移在数学学习中的作用，以及迁移规律在教学中的应用等方面的研究.特别地，在高考数学试题中，有相当一部分是考察学生对迁移的运用能力.因此，教师是否具备利用迁移的教学理念，在教学过程中能否运用迁移规律促进学生的学习显得尤为重要.
1 迁移的概念和分类
迁移是指已获得的知识、技能甚至方法和态度对学习新知识、新技能的影响.迁移又分正迁移和负迁移.如果影响是具有积极或者促进作用的，称之为正迁移.如果影响是具有消极或者阻碍作用的，称之为负迁移.本文主要研究负迁移在三角函数方面的影响及相对应的措施.
2 任意角的三角函数定义的负迁移
2.1 锐角三角函数定义的负迁移
在初中，学生已经学习了锐角三角函数.锐角三角函数的学习是从直角三角形出发，根据比值得到三角函数值.它是解三角形的工具，更加侧重于几何量的关系.它强调的是“从角的集合到比值的集合”的对应关系.任意角三角函数是研究现实生活中具有周期现象的一类函数.它的对应关系是“数集到数集”，应用于天文学和物理学.因此，锐角三角函数和任意角三角函数研究对象有很大的不同，其突出的性质也不同.不能单纯地认为锐角三角函数一般化就变成了任意角三角函数，同样，也不能简单的认为任意角三角函数的角度限定锐角就是锐角三角函数 [1 ].
鉴于锐角三角函数与任意角三角函数的差异，在教学上，把锐角三角函数的知识迁移到任意角三角函数必然会产生负迁移.而在学习任意角三角函数的定义时，如果借由函数的对应关系，先由数集（弧度数）对应到坐标上点的坐标，再由数集（弧度数）对应到实数（横坐标或纵坐标），这必然会给学生的理解造成一定的困扰.因此，在任意角三角函数的定义的教学过程中，教师应该充分考虑知识间的过渡的合理性和自然性，把不利的因素降到最低.
2.1.1 任意角三角函数的引入
人教A版 [2 ]以及相应的教参给出的引入方式如下：
首先让学生“思考”，用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数.其目的是让学生回忆锐角函数的定义，并与象限角有机的结合得到锐角三角函数，可以用角的终边上的点坐标比来表示.教师可以作如下铺垫：
（锐角三角函数）直角三角形为载体→（锐角三角函数）象限角为载体→（锐角三角函數）单位圆上点的坐标表示.
这样引入的好处是能从学生熟悉的锐角三角函数来学习任意角三角函数，又可以让学生初步体会到用单位圆上的点的坐标来表示锐角三角函数的方便和简洁，为下一步“单位圆定义法”作好铺垫。但是，教师要注意到不能认为锐角三角函数与任意角三角函数之间的关系并非简单的特殊与一般的关系。
2.1.2 两个对应关系
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），给出两组对应关系：
正弦：实数α （弧度）与点P的纵坐标对应；
余弦：实数α （弧度）与点P的横坐标对应。
清楚地认识这两组对应关系是理解任意角三角函数的关键.
2.2 学生的学习基础
学生在学习任意角三角函数时，除了要理解锐角三角函数的知识外，还必须熟悉函数的定义和准确地理解弧度制.梁志芳 [3 ]在《学生学习三角函数的调查研究》提到“学生对三角函数的“函数性质”理解不够，不知道三角函数的自变量和函数值是什么，经常将函数值和自变量弄错”.王冬岩 [4 ]在《高中生对三角函数概念的理解》中认为：学生在学习三角函数时的确存在困难，如果不能理解弧度制，则在三角函数的定义域、值域、图像等方面都会出现很多问题.
由上面的分析，学生在学习任意角三角函数时应注意以下三个问题：一是学生的基础（任意角的弧度制、函数的概念）；二是注意概念的生成过程；三是体现三角函数的性质（比如周期性）.
3 三角函数的负迁移实例
3.1 认知和技能方面的负迁移
学生对新知识的学习都是建立在旧的知识（认知或技能）的基础上的，往往是对旧知识的补充（或扩充）。比如：学生先学自然数，再学整数，接着学习了有理数，然后是实数，最后是复数.可以说，旧知识往往对新知识的学习起了促进的作用，具有积极的一面，然而事情总是有两面性的.在一些数学的知识体系中，旧知识也能干扰或误导学生对新知识的学习.比如：学生学了乘法分配率（a（b+c）=ab+ac），会导致学生犯这样的错误，sin（A+B）=sinA+sinB.这是学生在新旧知识点的结合处比较容易犯的错误.
在三角函数的学习中，学生在求解函数y=（4-cosx）（1+cosx）的最大值时，有的学生是这样做的，先将函数化简为y=-cos2x+3cosx+4，再令t=cosx，从而得到y=-t2+3t+4.利用二次函数的性质，在t=时，函数取到最大值.显然，学生的认知水平还停留在二次函数的性质上，没有考虑到余弦函数的有界性，从而导致错误的产生.
3.2 思维定势的负迁移
思维定势，又称“惯性思维”，是指人们在处理问题时，习惯地按照固有的模式或方法对问题进行分析和思考.它具有二重性.它积极的一面：人们在处理类似的而且变化不大的问题时，能够较快的解决。它消极的一面：当面对看起来类似但本质上有所不同的问题时，思维定势会束缚一个人的思维，从而导致问题的复杂化甚至可能得到错误的答案.
负迁移的因素和分类多种多样，很多学者和教师进行了大量的研究.那么如何克服学生的负迁移呢？教师应该如何做？教师可以运用教育学的普遍性，根据学生的认知阶段、认知规律，采用符合学生的思维特点的教学策略.教师在教学的过程可以注意以下几点：第一、教师应该加强对比教学；第二、教师应该加强探究教学；第三、教师应该加强习题教学 [5 ].当然，在平时的教学中，教学应该以学生为主体，给学生充分动手、动脑的时间，在探究中学习.
参考文献：
[1]章建跃.为什么用单位圆上的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2007（1）： 15-18.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[3]梁志芳.学生学习三角函数的调查研究[D].石家庄：河北师范大学，2011.
[4]王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[D].上海：华东师范大学，2010：15-16.
[5]洪秀满，祝敏芝.中学数学教学中负迁移现象研究[J].数学教学，2009（6）：6-11.
摘 要：负迁移是影响学生学好数学的一个阻因，而三角函数的知识又是高中数学的难点之一.因此，有必要对两者的结合点进行研究.由迁移、负迁移的概念和分类，阐述了负迁移在任意角三角函数的教学中的影响及对策.
关键词：三角函数；负迁移；数学思维；教学对策
随着教育改革的深入，从专家学者到教学一线的教师，都从教学理论和教学实践等不同层面上加大了对迁移在数学学习中的作用，以及迁移规律在教学中的应用等方面的研究.特别地，在高考数学试题中，有相当一部分是考察学生对迁移的运用能力.因此，教师是否具备利用迁移的教学理念，在教学过程中能否运用迁移规律促进学生的学习显得尤为重要.
1 迁移的概念和分类
迁移是指已获得的知识、技能甚至方法和态度对学习新知识、新技能的影响.迁移又分正迁移和负迁移.如果影响是具有积极或者促进作用的，称之为正迁移.如果影响是具有消极或者阻碍作用的，称之为负迁移.本文主要研究负迁移在三角函数方面的影响及相对应的措施.
2 任意角的三角函数定义的负迁移
2.1 锐角三角函数定义的负迁移
在初中，学生已经学习了锐角三角函数.锐角三角函数的学习是从直角三角形出发，根据比值得到三角函数值.它是解三角形的工具，更加侧重于几何量的关系.它强调的是“从角的集合到比值的集合”的对应关系.任意角三角函数是研究现实生活中具有周期现象的一类函数.它的对应关系是“数集到数集”，应用于天文学和物理学.因此，锐角三角函数和任意角三角函数研究对象有很大的不同，其突出的性质也不同.不能单纯地认为锐角三角函数一般化就变成了任意角三角函数，同样，也不能简单的认为任意角三角函数的角度限定锐角就是锐角三角函数 [1 ].
鉴于锐角三角函数与任意角三角函数的差异，在教学上，把锐角三角函数的知识迁移到任意角三角函数必然会产生负迁移.而在学习任意角三角函数的定义时，如果借由函数的对应关系，先由数集（弧度数）对应到坐标上点的坐标，再由数集（弧度数）对应到实数（横坐标或纵坐标），这必然会给学生的理解造成一定的困扰.因此，在任意角三角函数的定义的教学过程中，教师应该充分考虑知识间的过渡的合理性和自然性，把不利的因素降到最低.
2.1.1 任意角三角函数的引入
人教A版 [2 ]以及相应的教参给出的引入方式如下：
首先让学生“思考”，用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数.其目的是让学生回忆锐角函数的定义，并与象限角有机的结合得到锐角三角函数，可以用角的终边上的点坐标比来表示.教师可以作如下铺垫：
（锐角三角函数）直角三角形为载体→（锐角三角函数）象限角为载体→（锐角三角函數）单位圆上点的坐标表示.
这样引入的好处是能从学生熟悉的锐角三角函数来学习任意角三角函数，又可以让学生初步体会到用单位圆上的点的坐标来表示锐角三角函数的方便和简洁，为下一步“单位圆定义法”作好铺垫。但是，教师要注意到不能认为锐角三角函数与任意角三角函数之间的关系并非简单的特殊与一般的关系。
2.1.2 两个对应关系
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），给出两组对应关系：
正弦：实数α （弧度）与点P的纵坐标对应；
余弦：实数α （弧度）与点P的横坐标对应。
清楚地认识这两组对应关系是理解任意角三角函数的关键.
2.2 学生的学习基础
学生在学习任意角三角函数时，除了要理解锐角三角函数的知识外，还必须熟悉函数的定义和准确地理解弧度制.梁志芳 [3 ]在《学生学习三角函数的调查研究》提到“学生对三角函数的“函数性质”理解不够，不知道三角函数的自变量和函数值是什么，经常将函数值和自变量弄错”.王冬岩 [4 ]在《高中生对三角函数概念的理解》中认为：学生在学习三角函数时的确存在困难，如果不能理解弧度制，则在三角函数的定义域、值域、图像等方面都会出现很多问题.
由上面的分析，学生在学习任意角三角函数时应注意以下三个问题：一是学生的基础（任意角的弧度制、函数的概念）；二是注意概念的生成过程；三是体现三角函数的性质（比如周期性）.
3 三角函数的负迁移实例
3.1 认知和技能方面的负迁移
学生对新知识的学习都是建立在旧的知识（认知或技能）的基础上的，往往是对旧知识的补充（或扩充）。比如：学生先学自然数，再学整数，接着学习了有理数，然后是实数，最后是复数.可以说，旧知识往往对新知识的学习起了促进的作用，具有积极的一面，然而事情总是有两面性的.在一些数学的知识体系中，旧知识也能干扰或误导学生对新知识的学习.比如：学生学了乘法分配率（a（b+c）=ab+ac），会导致学生犯这样的错误，sin（A+B）=sinA+sinB.这是学生在新旧知识点的结合处比较容易犯的错误.
在三角函数的学习中，学生在求解函数y=（4-cosx）（1+cosx）的最大值时，有的学生是这样做的，先将函数化简为y=-cos2x+3cosx+4，再令t=cosx，从而得到y=-t2+3t+4.利用二次函数的性质，在t=时，函数取到最大值.显然，学生的认知水平还停留在二次函数的性质上，没有考虑到余弦函数的有界性，从而导致错误的产生.
3.2 思维定势的负迁移
思维定势，又称“惯性思维”，是指人们在处理问题时，习惯地按照固有的模式或方法对问题进行分析和思考.它具有二重性.它积极的一面：人们在处理类似的而且变化不大的问题时，能够较快的解决。它消极的一面：当面对看起来类似但本质上有所不同的问题时，思维定势会束缚一个人的思维，从而导致问题的复杂化甚至可能得到错误的答案.
负迁移的因素和分类多种多样，很多学者和教师进行了大量的研究.那么如何克服学生的负迁移呢？教师应该如何做？教师可以运用教育学的普遍性，根据学生的认知阶段、认知规律，采用符合学生的思维特点的教学策略.教师在教学的过程可以注意以下几点：第一、教师应该加强对比教学；第二、教师应该加强探究教学；第三、教师应该加强习题教学 [5 ].当然，在平时的教学中，教学应该以学生为主体，给学生充分动手、动脑的时间，在探究中学习.
参考文献：
[1]章建跃.为什么用单位圆上的坐标定义任意角的三角函数[J].数学通报，2007（1）： 15-18.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.
[3]梁志芳.学生学习三角函数的调查研究[D].石家庄：河北师范大学，2011.
[4]王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[D].上海：华东师范大学，2010：15-16.
[5]洪秀满，祝敏芝.中学数学教学中负迁移现象研究[J].数学教学，2009（6）：6-11.
