相异成本下异质产品的多寡头古诺模型

    张数，卢虎生

    摘 要：针对行业内执行产品质量标准，生产商可选择生产各质量等级产品的情形，本文建立了相异成本下异质产品的多寡头古诺模型。在线性反需求函数下，用数值方法求解了扩展古诺模型，分析了成本对均衡解和利润的影响。研究表明，在本文针对的情形下，生产商自身成本降低导致的利润增加大于对手成本升高；在生产商内部，具有成本优势产品的成本降低导致的利润增加大于不具有成本优势产品的成本降低。

    关键词：博弈论；异质产品；相异成本；古诺模型

    0 引言

    古诺模型是一个经典的博弈模型，研究双寡头垄断市场及均衡产量问题。近年来，许多学者在寡头数目、相异成本、差异产品等方面扩展了古诺模型。张明善研究了多个生产商下的一般动态古诺模型；张宇波分别讨论了线性反需求函数和非线性反需求函数下的多寡头动态古诺模型，还有刘新民讨论了双曲线需求函数的多寡头古诺模型；王强讨论了在成本信息不完全的情况下差异产品的厂商古诺模型，廖萍康分别讨论了成本函数为线性函数和非线性函数情况下的多寡头古诺模型等等。

    在同质产品的基础上，具有一定替代程度的差异产品方面也取得了进展。叶和俊借助动态古诺模型，讨论同一行业中两个具有一定替代性的差异化产品在不同情况下竞争的市场均衡结果；方海燕，张薇采用逆向归纳法求出了当产品差异程度不同时，产品市场合作策略与产品市场竞争策略的优劣；王玉灵运用过程创新基准效益的概念和异质产品寡占模型的分析方法，将传统古诺模型扩展到同类异质产品三方寡占的古诺模型。但这些异质产品的研究不适用执行产品质量标准的行业，本文旨在建立相关模型，用数值方法求解，分析成本差异对均衡解的影响。

    1 异质产品的扩展多寡头古诺模型

    本文研究一个相对独立的市场区域内的产量博弈问题。行业内执行统一的产品质量标准，各生产商可选择生产若干种质量等级的产品。根据生产成本的差异将生产商分为若干类，每一类生产商的成本函数非常接近。模型的具体假设如下：

    （1）在完全信息条件下，每个寡头都理性地追求利润最大化；

    （2）假设该区域内产品价格不受其它区域的影响，即该区域内产品的价格仅由区域内所有生产商的所有质量等级产品的产量决定；

    （3）假设每个寡头都可以生产m种不同质量等级的产品；

    （4）按照产品成本的差异，分为n类生产商；

    设 是第 个生产商的第 种质量等级产品的产量， 是市场上（所有生产商）第种产品的总产量。 是第 种产品的价格，n个生产商面临共同的市场反需求函数：

    其中 ，A是常数， 是每种产品消费者最大支付愿望， 是各质量等级产品对产品价格的影响矩阵，反映不同产品间的替代程度。

    假设 是第 个生产商的第 种产品的单位成本。各个生产商的决策目标相同，都理性地最大化自身利润，第 个生产商的得益函数为：

    当 时，上述模型为经典的双寡头古诺模型。当 时，为多寡头同质产品古诺模型。可见，本文所建立的模型是经典古诺模型的扩展。

    2 举例分析

    2.1 设计实验

    考虑市场上有3个生产商，3种质量等级的情况，即n=3，m=3（质量等级按序号从低到高排列），消费者最大支付愿望和替代程度设置为：

    以2#生产商的成本为基准，1#生产商具有高质量等级产品的成本优势，3#生产商则具有低质量等级产品的成本优势。在所有实验中，2#生产商的产品成本保持不变， 。假设三个生产商的2#产品的成本都相同， 。1#生产商1#产品的成本高于2#生产商，范围为15～20，步长为1。1#生产商3#产品的成本低于2#生产商，范围为55～50，步长为-1。3#生产商1#产品的成本低于2#生产商，范围为15～10，步长为-1。3#生产商3#产品的成本高于2#生产商，范围为55～60，步长为1。4因素6水平共设计了1296次实验。用数值解方法求解各个生产商的均衡产量，利用C++调用LINGO软件编程，程序退出条件设定为误差小于，每次实验都经过几十次甚至上百次的迭代计算。

    2.2 结果分析

    首先，分析自身成本与对手成本对于生产商利润的影响。图1为3个生产商的利润随着成本变化的趋势。

    （1）当三个生产商相应产品的成本相等时（图1中左上角，1#生产商和3#生产商的1#产品的成本都为15），三个生产商的利润相等，为467，三种质量等级产品的产量分别为6.84，9.18，5.84。经验证，此均衡解与解析解完全相同。

    （2）1#和3#生产商的利润均随着自身成本降低和对手成本增加而增加。1#生产商利润等值线朝着斜率为-0.3800的梯度方向逐步增加，增加的幅度越来越大，自身成本降低一个单位所导致的利润增加值是对手成本升高一个单位所导致利润增加值的2.997倍。3#生产商利润的梯度方向斜率为-1.3077，利润比例为3.015：1。

    （3）图1中2#生产商和3#生产商利润等值线上有明显的拐点，拐点右侧1#生产商不再生产1#产品，3个生产商各质量等级产品的产量等值线见图2。

    当三个生产商的成本完全相等时（a图的左上角和b图的右下角），均衡解与图1相同，三个生产商的利润均为467。对于1#生产商，其3#产品具有高质量等级成本优势，其成本降低1个单位，利润平均增加13.695，其1#产品不具有成本优势，其成本降低1个单位，利润平均增加2.352，前者是后者的5.82倍；对于3#生产商，其1#产品具有低质量等级成本优势成本降低1个单位，利润平均增加16.549，其3#产品不具有成本优势，其成本降低1个单位，利润平均增加1.376，前者是后者的12.03倍。

    3 结论

    本文建立了成本相异条件下具有多种不同质量等级产品的多寡头古诺模型，并通过实验的方法对该模型进行分析，从而得到使企业利润最大时的最优解，分析实验结果可得出如下结论：

    1）在执行行业产品质量标准的情况下，生产商自身成本降低比对手成本升高，对于利润的贡献大。就本文算例，比如1#生产商，本生产商成本减少1导致本生产商利润增加了2.352，而对手生产商成本增加1导致本生产商利润增加了0.79，它们对生产商利润增加的比例为2.997：1。

    2）具有成本优势的产品的成本降低比不具有成本优势的产品的成本降低，对于生产商利润的贡献大。对于生产商来讲，自已生产商优势产品的成本更为重要。就本文算例，比如1#生产商属于高端产品占成本优势的生产商，本生产商低端产品成本增加1会使利润减少2.352，而高端产品成本增加1，使利润减少13.695；3生产商属于低端产品成本占优势的生产商，情况正好相反。本生产商低端产品成本增加1会使利润减少16.549，而高端产品成本增加1，使利润减少1.376。

    在执行统一产品质量标准、相对独立的市场区域内，生产商提升利润的途径为：应从降低自身生产成本，尤其是具有比较成本优势的产品成本。

    参考文献：

    [1] 张明善.多个生产商下的动态古诺模型分析[J].管理科学学报，2002.10：85-90.

    [2] 张宇波.寡占市场中动态古诺模型的建立及稳定性分析[J].系统工程理论与实践，2003.11：54-59.

    [3] 刘新民.具有双曲需求的多寡头古诺模型的分析[J].青岛科技大学学报（自然科学版），2007.06：276-278.

    [4] 王强.不完全成本信息下差异产品厂商古诺竞争博弈分析[J].运筹与管理，2010.8：51-58.

    [5] 廖萍康.相异成本和广义非线性需求下多寡头古诺模型及应用[J].运筹与管理，2013.04：172-179.

    [6] 叶和俊.差异化古诺竞争的一个动态模型[J].大连海事大学学报（社会科学版），2007.06：101-104.

    [7] 方海燕，张薇.不对称R&D;活动下的市场绩效分析——基于有差异产品的寡头市场[J].技术经济与管理研究，2013.11：57-61.

    [8] 王玉灵.同类异质产品三方古诺模型的扩展及应用[J].北京航空航天大学学报，2009.10：1273-1277.