同侧异侧互化巧解距离和差最值问题
周红柏
在解析几何中，经常遇到一个动点到两个定点的距离之和与差的最值问题，此类问题的条件是动点在某条定曲线上，定点往往有分布在曲线同侧或者异侧，曲线有封闭型或者非封闭型，距离又有和或差，最值也有最大或最小，所以看似解法各异，解法灵活，实则是同类问题，这类问题的根本解决之道是同侧化异侧，异侧化同侧，再应用三角形的基本性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”加以解决，通用模式为：设A，B为两定点，P为
评注例l涉及直线上一动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中一定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另一定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联立对称点与另一定点所在直线方程和题中所给定直线求交点即为所求，
变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利用到导数，而且计算量较大；而通过转化为一动点到两定点的距离和的最值问题，再利用对称求解即可，
变式2看似是两个定圆上的动点与一个动点距离差的最大值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆心的距离加减半径，可以将问题转化成一定直线上的动点与两个定点（即圆心）距离之差的最大值问题，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，
这类问题的通性通法是：利用对称将直线上的一动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的一动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，
评注例2涉及椭圆上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法（如例2（1）中差的最大值），具体属于哪一类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况而定，
这类问题的通性通法是：利用定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，
3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进行同侧异侧互化
评注例3涉及双曲线右支上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题。此类问题的求解通常可分两步：（1）通过定义将分布在双曲线右支同侧的两定点的距离之和问题转化为分布在双曲线右支异侧的两定点的距离之和问题（2）再利用三角形的性质和通用模式求得最值，
这类问题的通性通法是：利用定义将双曲线一支上的动点与分布在其同侧（或异侧）的两点距离最值问题转化为双曲线一支上的动点与分布在其异侧（或同侧）的两点距离最值问题，再利用三角形的基本性质判断最值，评注例4涉及抛物线上一动点与其外一定点及y轴距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与y轴距离转化为抛物线上的动点与其焦点距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离之和问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，
变式3涉及抛物线上一动点与其内一定点及其焦点的距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与焦点的距离转化为抛物线上的动点与其准线的距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之和的问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，
这类问题的通性通法是：利用定义将抛物线上的动点与焦点的距离相互转化为抛物线上的动点与其准线的距离；再转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离问题或者抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之问题，最后利用三角形的性质和通用模式求得最值，
在解析几何中，经常遇到一个动点到两个定点的距离之和与差的最值问题，此类问题的条件是动点在某条定曲线上，定点往往有分布在曲线同侧或者异侧，曲线有封闭型或者非封闭型，距离又有和或差，最值也有最大或最小，所以看似解法各异，解法灵活，实则是同类问题，这类问题的根本解决之道是同侧化异侧，异侧化同侧，再应用三角形的基本性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”加以解决，通用模式为：设A，B为两定点，P为
评注例l涉及直线上一动点与两定点距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常分为两步：（1）求其中一定点关于定直线的对称点；（2）再求这个对称点与另一定点的距离即为所求最值；如果涉及求最值时动点位置，则联立对称点与另一定点所在直线方程和题中所给定直线求交点即为所求，
变式l看似涉及到两个根式函数和的最值问题，如果通过函数去求解，那会利用到导数，而且计算量较大；而通过转化为一动点到两定点的距离和的最值问题，再利用对称求解即可，
变式2看似是两个定圆上的动点与一个动点距离差的最大值问题，通过将与圆上的动点问题转化为与圆心的距离加减半径，可以将问题转化成一定直线上的动点与两个定点（即圆心）距离之差的最大值问题，再利用例l的方法求解即可得到所求最大值，
这类问题的通性通法是：利用对称将直线上的一动点与分布在其同侧（或异侧）距离最值问题转化为直线的一动点与分布在其异侧（或同侧）距离最值问题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，
评注例2涉及椭圆上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题，此类问题的求解通常可分两种类型：（1）先利用定义，将动点到一个焦点的距离与其到另一个焦点的距离进行转化，然后利用几何最值法最终解决（如例2（1）中差的最小值和例2（2）中和的最大值和最小值）；（2）在求和的最小值或差的最值时，有时可不经定义转化，直接使用几何最值法（如例2（1）中差的最大值），具体属于哪一类型，应视定点在椭圆内、外的给定情况而定，
这类问题的通性通法是：利用定义将距离和（差）最值问题转化为距离差（和）间题，在利用三角形的基本性质及通用模式求解最值，
3.曲线为双曲线抛物线时，通过定义进行同侧异侧互化
评注例3涉及双曲线右支上一动点与两定点（其中一个为焦点）距离之和（差）的最值问题。此类问题的求解通常可分两步：（1）通过定义将分布在双曲线右支同侧的两定点的距离之和问题转化为分布在双曲线右支异侧的两定点的距离之和问题（2）再利用三角形的性质和通用模式求得最值，
这类问题的通性通法是：利用定义将双曲线一支上的动点与分布在其同侧（或异侧）的两点距离最值问题转化为双曲线一支上的动点与分布在其异侧（或同侧）的两点距离最值问题，再利用三角形的基本性质判断最值，评注例4涉及抛物线上一动点与其外一定点及y轴距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与y轴距离转化为抛物线上的动点与其焦点距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离之和问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，
变式3涉及抛物线上一动点与其内一定点及其焦点的距离之和的最值问题，此类问题的求解通常可分三步：（1）通过定义将抛物线上的动点与焦点的距离转化为抛物线上的动点与其准线的距离；（2）再将原题转化为抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之和的问题；（3）利用三角形的性质和通用模式求得最值，
这类问题的通性通法是：利用定义将抛物线上的动点与焦点的距离相互转化为抛物线上的动点与其准线的距离；再转化为抛物线上的动点与其焦点及其外一定点距离问题或者抛物线上的动点到其准线及其内一定点的距离之问题，最后利用三角形的性质和通用模式求得最值，
