重视运算，关注应用，突出素养
徐小平
1.2016年高考乙卷理科数学总体情况分析
试题突出数学学科核心素养，重视学科的基础性和综合性，加强数学应用能力的考查，全面考查高中数学基础知识和数学思想方法，深入考查数学思维能力和创新精神.试卷结构题型相对稳定，试题设计立足传承，兼顾创新.选择填空题难度不大，解答题前三题没有送分，特别是第18题立几和第19题统计概率会让一些考生遇到挫折，考验考生的心理素质和应变能力，延续了全国高考乙卷前几年的试题风格.整卷总体运算量大，重视数学运算、逻辑推理、数学建模、数据分析、数学抽象、直观想象等核心素养，运算能力和逻辑推理能力要求高，难度适中，较2015年乙卷理科试题难度略有提高.
试题提高了实际应用题的比例，紧密结合社会实践和现实生活，突出数学建模的学科核心素养，如第4题几何概型涉及公司班车，16题线性规划涉及产品利润，19题统计概率涉及成本控制，学生均需通过建模将实际问题转化为数学问题加以处理.
试题关注思维能力和创新精神，重视对逻辑推理、数学抽象核心素养的考查，如第15题数列填空只要能写出数列前几项便能快速得到正确答案；选择第7题，第8题，第12题均能用排除法或特值法得出正确答案，能让思维能力强的考生能够节省大量的时间，这与考试中心2015年试题评价报告中关于2015年乙卷选择第12题“为控制难度，增加了条件，而且在选项中没有设计过多的干扰项，所以考生也可以利用排除法得到问题的答案.解法多样，为不同知识层次的考生提供了广阔的想象空间，”的命题说明理念是一致的；第18题立体几何、21题函数导数均需要严密的逻辑推理，有较高的思维能力才能顺利完成解答.
试题全面考查了考生在高中阶段所学的基本内容，注重通性通法，突出数学思想.选择题和填空题分别涉及了集合、复数、概率、双曲线、三视图、函数与导数、不等式、算法初步、抛物线、立体几何、三角函数、向量、二项式公式、数列和线性规划等知识点，选择填空题布局合理，对高中数学基础知识和数学思想方法的考查较为全面.函数导数两小一大，第8题考查指对数函数的性质，第7题将函数奇偶性、函数导数与函数图像等知识迁移到创设到问题情境中，第21题利用导数研究零点问题，充分考查推理论证能力、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想；解析几何两小一大，第5题考查双曲线的基本概念，第10题考查抛物线和圆的基础知识，第20题以椭圆为载体考查定义法求轨迹方程、最值与范围问题，三道解析几何题考查知识全面，延续全国卷不给图的特点，充分考查运算求解能力、数形结合思想，体现解析几何的学科教育价值；立体几何两小一大，第6题结合三视图考查球的表面积，第11题以正方体为载体结合异面直线所成角考查线面平行的性质，第18题以五面体为载体，背景新颖，考查线面垂直、面面垂直、线面平行、二面角等基础知识，空间想象能力要求较高，同时考查立体几何的核心知识和推理论证能力、运算求解能力；统计概率一大一小，关注现实生活，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，考查数据处理能力，抽象概括能力和运算求解能力；三角部分则一小一大，第12题考查三角函数的图像性质，第17题将三角恒等变换与解三角形问题相结合，对三角部分的知识考查全面.
试题与往年文理科差异较大相比有所变化，缩小文理差异，体现高考改革的要求.根据高考改革方案的要求，数学试题将逐步走向文理合卷，这次命题也能够与时俱进，关注高考改革，文理科的同题或姊妹题较多.除选考题相同外，文理科同题的还有5题：文科第7题与理科第6题三视图、文科第9题与理科第7题函数与导数、文科第10题与理科第9题算法初步、文理科第11题立体几何、文理科第16题线性规划；文理科姊妹题有4题：文理科第8题函数、文理科第13题平面向量、文理科第19题统计与概率、文理科第21题函数与导数.
试题整体的风格朴素，没有偏题怪题.根据教育部考试中心姜钢指出的“在数学和理科综合等科目中，也可以适当增加对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献.”“高考作为教育的重要手段和必要环节，要有利于创新人才的培养和选拔，要把考查独立思考、创新精神和实践能力作为重要的考试内容.”试题落实“一点四面”的要求，着重考查创新精神和实践能力.对优秀传统文化的考查不停留在表面，而是在试题背景中体现勾股定理的应用，从而体现对优秀传统文化的考查.试题符合考试大纲的内容和要求，在基础性、思想性和创新性等方面作了深入的研究和积极的探索，能够有效检测和区分学生的思维能力和数学水平.命题质量高，试题总体的区分度好，切实把考查独立思考、创新精神和实践能力作为重要的考试内容.
不足之处是第21题的命题，命题质量值得商榷，质量不如前几年全国乙卷第21题.作为全卷的压轴题，本题的第一问没能延续前几年的风格，让多数学生无法得分，第二问没能推陈出新，是已经被研究透彻的所谓“极值点偏移问题”，处理方法简单机械.虽然问题陈旧并无不妥，但若是在具体处理过程中没有丝毫变化，作为具有选拔功能的高考压轴题便似有不妥.本题便是如此，采用完全机械化的解题过程，中等生只要时间把握得好，都能完全解决，压轴题在体现创新精神上有所欠缺.
2.备考建议
根据全国乙卷试题的特点，和2016届高三备考全国卷的一些经验和教训，对高三的备考提出以下几点建议.
（1）全国卷对运算能力、逻辑推理能力的要求较高，而福建考生由于小学和初中的课改导致学生的运算能力先天不足，建议教育主管部门能全面考虑，提高小学数学和初中数学对运算能力和思维能力的要求，提高素养要从娃娃抓起.素质教育不是不要学科素养，不是刻意降低要求，提高素养本身就是素质教育的本质要求.让相关学校不能片面理解素质教育，降低数学运算和思维的要求，因为到高中再抓运算能力显然为时已晚，希望能引起重视.
（2）数学教师应提早研究试题，科学备考.每个数学教师均应认真完成全国甲卷、乙卷、丙卷近几年真题；同时，结合省市的高三培训，对全国卷试题结构特点加以认识，最好能将近五年甲、乙卷解答题进行分类汇编，对解答题题型进行分析.全国卷试题考查知识全面，要重视全面复习，不搞猜题押题.在第一轮复习阶段注重知识的全面复习，第二轮注重思想方法和选择填空题的解法指导，第三轮冲刺阶段注重科学模拟.可以为学生提供解答题题型示例（共分选考、三角、数列、概率统计、立体几何、解析几何、函数导数七大专题），对解答题的题型和方法归纳小结，这样就能基本做到对知识和方法全方位覆盖，对学生形成知识系统会有较大的帮助.不仅各次考试模拟试题要注重难度与全国卷的契合，不同题型结构进行互补，让学生能够适应各种不同风格的试题；同时，冲刺阶段的综合练习也要注意进行互补，对高中阶段的知识做到尽可能全面覆盖，不留死角.经过科学的模拟和练习，学生总体上才会对高考试题较为适应。
（3）有条件的学校可以实施分层作业、分层教学.例如，笔者所在学校属于生源较好的学校，但由于均衡教育的需要，定向生的比例过高，导致生源参差不齐，学生之间的数学素养和思维能力差异较大.因此数学备课组经过研究，对每天的数学作业进行分层，A组要求所有考生完成，B组要求实验班全体和平行班部分完成，C组要求竞赛班全体和实验班部分完成，另外也利用自习辅导进行导优辅差，通过作业的分层和导优辅差，使不同思维层次的学生都能根据他们自身的思维发展区得到不同程度的训练，使他们的数学水平得到发展和提高.全校理科数学历次质检高分群体比例极高，平均成绩也较高，与备课组的分层作业、分层教学是密不可分的.
（4）全国卷选择填空题难度中等，中档题为主，较少特别简单等题目，但也较少难题，填空题前三题中等偏易.选择填空即使是压轴题也不会难度过大，特别是按照去年考试中心的命题说明，选择题的压轴题通常可以利用特值法或排除法排除一些选项.如果教师们能对选择填空题的解法指导到位，必能提高得分，为取得好成绩打好基础.
（5）全国卷对空间想象能力要求较高，高中数学中立体几何特别是必修二部分的教学要引起老师们的重视，2016届高三由于高二下时才得知要进入全国卷，因此高一时教学是按照福建卷的要求进行教学的，这部分明显与全国卷的要求有差距，建议新高一能加强这部分的教学。
（6）今年的试题提高了应用题的比例，同时统计与概率问题全国卷近几年试题在问题情境上均有所创新，对抽象概括能力和数据处理能力的要求较高.建议在教学中加强阅读能力的训练，提高学生的数学抽象和数据处理的素养，适应高考的要求.
（7）全国卷解答题前三题（17、18、19题）往往会有一至两题有一定的难度，可能考生会遭遇挫折，建议平时要对考生的心理素质和应变能力加强指导，并且在命制模拟试题和综合练习时做到充分模拟.
（8）全国卷解析几何试题不仅不会高不可攀，而且试题特点明显，建议加强解析几何的教学，特别是对于中等的学生而言，如能关注数形结合思想、定义应用、计算方法等，加强训练，均有机会拿到满分.复习时注意鼓励学生独立思考，培养运算和思维能力，提高应用知识分析解决问题的能力。
（9）根据高考改革要求，文理科试题将走向统一，因此今后几年过渡期的试题必将逐步加大文理科试题同题或姊妹题的比例，适度降低理科难题比例，最终走向文理合卷.今年便呈现这个趋势，第21题的命题虽然创新精神上有所欠缺，但也不失为一种降低难度，走向文理合一的一个尝试.建议对函数与导数压轴题的教学不能轻言放弃，今后的压轴题难度可能没有那么大，只要在教学中对于函数导数的常见题型加以训练，提高中等生的思维能力，增强他们的信心，中等学生也将有机会顺利完成高考压轴题的解答。
全国卷试题历年来保持稳定，试题设计科学灵活，突出素养，有利于引导中学教学，只有认真研究，科学备考，才能适应高考的新要求、新常态。
1.2016年高考乙卷理科数学总体情况分析
试题突出数学学科核心素养，重视学科的基础性和综合性，加强数学应用能力的考查，全面考查高中数学基础知识和数学思想方法，深入考查数学思维能力和创新精神.试卷结构题型相对稳定，试题设计立足传承，兼顾创新.选择填空题难度不大，解答题前三题没有送分，特别是第18题立几和第19题统计概率会让一些考生遇到挫折，考验考生的心理素质和应变能力，延续了全国高考乙卷前几年的试题风格.整卷总体运算量大，重视数学运算、逻辑推理、数学建模、数据分析、数学抽象、直观想象等核心素养，运算能力和逻辑推理能力要求高，难度适中，较2015年乙卷理科试题难度略有提高.
试题提高了实际应用题的比例，紧密结合社会实践和现实生活，突出数学建模的学科核心素养，如第4题几何概型涉及公司班车，16题线性规划涉及产品利润，19题统计概率涉及成本控制，学生均需通过建模将实际问题转化为数学问题加以处理.
试题关注思维能力和创新精神，重视对逻辑推理、数学抽象核心素养的考查，如第15题数列填空只要能写出数列前几项便能快速得到正确答案；选择第7题，第8题，第12题均能用排除法或特值法得出正确答案，能让思维能力强的考生能够节省大量的时间，这与考试中心2015年试题评价报告中关于2015年乙卷选择第12题“为控制难度，增加了条件，而且在选项中没有设计过多的干扰项，所以考生也可以利用排除法得到问题的答案.解法多样，为不同知识层次的考生提供了广阔的想象空间，”的命题说明理念是一致的；第18题立体几何、21题函数导数均需要严密的逻辑推理，有较高的思维能力才能顺利完成解答.
试题全面考查了考生在高中阶段所学的基本内容，注重通性通法，突出数学思想.选择题和填空题分别涉及了集合、复数、概率、双曲线、三视图、函数与导数、不等式、算法初步、抛物线、立体几何、三角函数、向量、二项式公式、数列和线性规划等知识点，选择填空题布局合理，对高中数学基础知识和数学思想方法的考查较为全面.函数导数两小一大，第8题考查指对数函数的性质，第7题将函数奇偶性、函数导数与函数图像等知识迁移到创设到问题情境中，第21题利用导数研究零点问题，充分考查推理论证能力、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想；解析几何两小一大，第5题考查双曲线的基本概念，第10题考查抛物线和圆的基础知识，第20题以椭圆为载体考查定义法求轨迹方程、最值与范围问题，三道解析几何题考查知识全面，延续全国卷不给图的特点，充分考查运算求解能力、数形结合思想，体现解析几何的学科教育价值；立体几何两小一大，第6题结合三视图考查球的表面积，第11题以正方体为载体结合异面直线所成角考查线面平行的性质，第18题以五面体为载体，背景新颖，考查线面垂直、面面垂直、线面平行、二面角等基础知识，空间想象能力要求较高，同时考查立体几何的核心知识和推理论证能力、运算求解能力；统计概率一大一小，关注现实生活，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，考查数据处理能力，抽象概括能力和运算求解能力；三角部分则一小一大，第12题考查三角函数的图像性质，第17题将三角恒等变换与解三角形问题相结合，对三角部分的知识考查全面.
试题与往年文理科差异较大相比有所变化，缩小文理差异，体现高考改革的要求.根据高考改革方案的要求，数学试题将逐步走向文理合卷，这次命题也能够与时俱进，关注高考改革，文理科的同题或姊妹题较多.除选考题相同外，文理科同题的还有5题：文科第7题与理科第6题三视图、文科第9题与理科第7题函数与导数、文科第10题与理科第9题算法初步、文理科第11题立体几何、文理科第16题线性规划；文理科姊妹题有4题：文理科第8题函数、文理科第13题平面向量、文理科第19题统计与概率、文理科第21题函数与导数.
试题整体的风格朴素，没有偏题怪题.根据教育部考试中心姜钢指出的“在数学和理科综合等科目中，也可以适当增加对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献.”“高考作为教育的重要手段和必要环节，要有利于创新人才的培养和选拔，要把考查独立思考、创新精神和实践能力作为重要的考试内容.”试题落实“一点四面”的要求，着重考查创新精神和实践能力.对优秀传统文化的考查不停留在表面，而是在试题背景中体现勾股定理的应用，从而体现对优秀传统文化的考查.试题符合考试大纲的内容和要求，在基础性、思想性和创新性等方面作了深入的研究和积极的探索，能够有效检测和区分学生的思维能力和数学水平.命题质量高，试题总体的区分度好，切实把考查独立思考、创新精神和实践能力作为重要的考试内容.
不足之处是第21题的命题，命题质量值得商榷，质量不如前几年全国乙卷第21题.作为全卷的压轴题，本题的第一问没能延续前几年的风格，让多数学生无法得分，第二问没能推陈出新，是已经被研究透彻的所谓“极值点偏移问题”，处理方法简单机械.虽然问题陈旧并无不妥，但若是在具体处理过程中没有丝毫变化，作为具有选拔功能的高考压轴题便似有不妥.本题便是如此，采用完全机械化的解题过程，中等生只要时间把握得好，都能完全解决，压轴题在体现创新精神上有所欠缺.
2.备考建议
根据全国乙卷试题的特点，和2016届高三备考全国卷的一些经验和教训，对高三的备考提出以下几点建议.
（1）全国卷对运算能力、逻辑推理能力的要求较高，而福建考生由于小学和初中的课改导致学生的运算能力先天不足，建议教育主管部门能全面考虑，提高小学数学和初中数学对运算能力和思维能力的要求，提高素养要从娃娃抓起.素质教育不是不要学科素养，不是刻意降低要求，提高素养本身就是素质教育的本质要求.让相关学校不能片面理解素质教育，降低数学运算和思维的要求，因为到高中再抓运算能力显然为时已晚，希望能引起重视.
（2）数学教师应提早研究试题，科学备考.每个数学教师均应认真完成全国甲卷、乙卷、丙卷近几年真题；同时，结合省市的高三培训，对全国卷试题结构特点加以认识，最好能将近五年甲、乙卷解答题进行分类汇编，对解答题题型进行分析.全国卷试题考查知识全面，要重视全面复习，不搞猜题押题.在第一轮复习阶段注重知识的全面复习，第二轮注重思想方法和选择填空题的解法指导，第三轮冲刺阶段注重科学模拟.可以为学生提供解答题题型示例（共分选考、三角、数列、概率统计、立体几何、解析几何、函数导数七大专题），对解答题的题型和方法归纳小结，这样就能基本做到对知识和方法全方位覆盖，对学生形成知识系统会有较大的帮助.不仅各次考试模拟试题要注重难度与全国卷的契合，不同题型结构进行互补，让学生能够适应各种不同风格的试题；同时，冲刺阶段的综合练习也要注意进行互补，对高中阶段的知识做到尽可能全面覆盖，不留死角.经过科学的模拟和练习，学生总体上才会对高考试题较为适应。
（3）有条件的学校可以实施分层作业、分层教学.例如，笔者所在学校属于生源较好的学校，但由于均衡教育的需要，定向生的比例过高，导致生源参差不齐，学生之间的数学素养和思维能力差异较大.因此数学备课组经过研究，对每天的数学作业进行分层，A组要求所有考生完成，B组要求实验班全体和平行班部分完成，C组要求竞赛班全体和实验班部分完成，另外也利用自习辅导进行导优辅差，通过作业的分层和导优辅差，使不同思维层次的学生都能根据他们自身的思维发展区得到不同程度的训练，使他们的数学水平得到发展和提高.全校理科数学历次质检高分群体比例极高，平均成绩也较高，与备课组的分层作业、分层教学是密不可分的.
（4）全国卷选择填空题难度中等，中档题为主，较少特别简单等题目，但也较少难题，填空题前三题中等偏易.选择填空即使是压轴题也不会难度过大，特别是按照去年考试中心的命题说明，选择题的压轴题通常可以利用特值法或排除法排除一些选项.如果教师们能对选择填空题的解法指导到位，必能提高得分，为取得好成绩打好基础.
（5）全国卷对空间想象能力要求较高，高中数学中立体几何特别是必修二部分的教学要引起老师们的重视，2016届高三由于高二下时才得知要进入全国卷，因此高一时教学是按照福建卷的要求进行教学的，这部分明显与全国卷的要求有差距，建议新高一能加强这部分的教学。
（6）今年的试题提高了应用题的比例，同时统计与概率问题全国卷近几年试题在问题情境上均有所创新，对抽象概括能力和数据处理能力的要求较高.建议在教学中加强阅读能力的训练，提高学生的数学抽象和数据处理的素养，适应高考的要求.
（7）全国卷解答题前三题（17、18、19题）往往会有一至两题有一定的难度，可能考生会遭遇挫折，建议平时要对考生的心理素质和应变能力加强指导，并且在命制模拟试题和综合练习时做到充分模拟.
（8）全国卷解析几何试题不仅不会高不可攀，而且试题特点明显，建议加强解析几何的教学，特别是对于中等的学生而言，如能关注数形结合思想、定义应用、计算方法等，加强训练，均有机会拿到满分.复习时注意鼓励学生独立思考，培养运算和思维能力，提高应用知识分析解决问题的能力。
（9）根据高考改革要求，文理科试题将走向统一，因此今后几年过渡期的试题必将逐步加大文理科试题同题或姊妹题的比例，适度降低理科难题比例，最终走向文理合卷.今年便呈现这个趋势，第21题的命题虽然创新精神上有所欠缺，但也不失为一种降低难度，走向文理合一的一个尝试.建议对函数与导数压轴题的教学不能轻言放弃，今后的压轴题难度可能没有那么大，只要在教学中对于函数导数的常见题型加以训练，提高中等生的思维能力，增强他们的信心，中等学生也将有机会顺利完成高考压轴题的解答。
全国卷试题历年来保持稳定，试题设计科学灵活，突出素养，有利于引导中学教学，只有认真研究，科学备考，才能适应高考的新要求、新常态。
