初中数学核心概念及其教学实践
刘远飞
[摘? 要] 数学核心概念在概念体系中具有核心地位，是建立数学法则、公式、定理等的基础，也是数学思维、交流的工具. 文章从初中学生学习数学核心概念学习特点着手，阐述了初中数学核心概念教学的原则，提出了“启动情感、展示感知、内化认知、抽象概念、联系应用 ”的教学模式.
[关键词] 初中数学;核心概念;教学模式
数学概念是发展数学思维、培养数学能力的基础，而数学核心概念是学科结构的主干，在概念的构成中处于学科中心地位[1]，对于整个初中数学知识体系的学习占有举足轻重的地位. 然而，在初中数学核心概念教学实践中，普遍存在着概念理解过于表象、忽视数学概念本质特征、机械记忆概念等问题，使学生无法深入地理解概念，更不会运用. 在一定程度上，初中数学核心概念教学难以满足学生能力的提升，情感的需要，也无法适应现代教育. 因此，最大限度地把握数学核心概念的本质和内涵，深入探究数学核心概念教学策略、提升初中学生的数学核心素养具有重要的意义.
初中数学核心概念学习特点
由于不同阶段的学生展现出不同的性格、心理以及认知特点，因此，为了使初中数学核心概念教学达到因材施教、有的放矢的目的，教师应根据初中学生的认知特点，深入分析初中学生学习数学核心概念的特点.
1. 问题分析能力不足
虽然初中学生能够准确建构出新知识，然而，其思维水平还只是初步的，在实际解决问题时，往往缺乏分析问题的能力. 以“函数”概念为例，虽然学生能够理解方程、变量、常量等概念，在实际应用中也能够找到变量，但无法根据题意列出正确的方程.
2. 缺乏深度探究的能力
虽然学生能够轻松理解概念的表象，但在分析概念的特征时，常常总结不到关键之处，或是深度探究时较为困难.
3. 不善于概括总结
教学中教师只是教导学生如何去学习，但具体知识的理解和应用还是要依靠学生自己，然而，相当数量的学生不注重课后自我概括和总结，而是死学硬记，只要能完成相关题目的解答就已满足，不能灵活应用所学知识解决实际问题.
初中数学核心概念教学原则
1. 过程性原则
为了让学生体会数学核心概念的形成过程，教师应不仅仅局限于介绍新概念的定义，而是展示新概念的形成、操作与应用等整体过程，鼓励学生自己去体会、总结新概念是如何定义的.
2. 渐进性原则
每个概念实质上都是通过扩大或缩小概念的外延，或者是由下位概念转化成上位概念而呈现新概念的[2]，因此，教师应注重相关概念之间的层次关系，适时引导学生从低层次概念向高层次概念逐渐过渡，实现概念之间由量变逐渐转变成为质变.
3. 动力性原则
興趣是学生最好的老师，只有学生具备了心理动力，才能学会数学概念，因此，教师在课前应精心准备，根据学生自身特点设置好问题情境，在课中要不断引导学生自主探究，通过自觉的观察鼓励学生归纳、概括、抽象出核心概念的定义，在课后要引导学生不断反思.
4. 发展性原则
进行概念教学的目的不是仅仅获得表面知识，为了让学生学会应用数学思想方法解决问题[3]，教师应让学生在已有经验的基础上，应用发展的眼光对新问题情境进行观察、分析、归纳、概括和抽象，促进学生整体素质的提升. 例如，方程→函数→不等式，函数→一次函数→二次函数，等等.
5. 系统性原则
为了让新概念融入旧概念系统中，教师应注意各个概念之间的关系所在，在具体介绍某个概念时要弄清楚这个概念处在哪些子系统中，比较这个新概念与旧概念之间的联系与区别，从而达到建构和扩展概念网络的目的.
初中数学核心概念教学模式
概念形成和概念同化是概念获得的两种形式，并且通常教学中也是通过这两种模式组织学生学习的，但是，这种按部就班的教学模式反而容易造成学生的思维定式，不利于发散思维的开发与训练，笔者依据初中学生的认知结构特点，结合自己多年的教学实践，提出了初中数学核心概念教学模式，如图1所示.
1. 启动情感
概念引入是概念教学第一个环节，为了让学生在外部的刺激下与前人产生情感方面的共鸣，促使学生主动参与核心概念教学，教师应创设教学情境，鼓励学生在适度的操作过程中进行过程性体检，体会到自己原有的认知基础是正确的，但还可以进行发展和扩充. 值得一提的是，在这个环节中，教师应适时对学生做出方向性的引导，避免学生在感受概念形成和发展的同时少走弯路.
2. 展示感知
经过上述环节后学生原有的认知结构被打乱，梳理认知结构中各种“情感”就变得尤为重要，因此，教师应有计划、有逻辑地进行自我认知结构的梳理，分结构、分层次地创设问题和情境，依据教师的引导主动思考，体会相关概念的基本性质和属性，主动建构初步的概念形式.
3. 内化认知
为了有效地解决“学生对数学概念理解不够透彻”的问题，教师应对所感知的新知进行压缩和内化，将大脑中已经具备的“初步感知”逐步抽象和提炼，从而将形成感知升华到形成认知，达到理解数学概念基本性质的目的[4].
4. 抽象概念
虽然学生已经从形式化和抽象化两个方面理解了新概念，但对于这一概念所具有的本质和含义并不十分熟悉，为了实现数学概念从具体形象的事物到抽象数学语言的过渡，教师应适时适度引导，鼓励学生再次在教学情境中对所学数学核心概念的实质进行反思和应用，有效提炼出新概念的内涵和本质.
5. 联系应用
概念的联系应用是概念教学不可缺少的一部分，教师应让学生在具体问题情境中分析和应用新概念，通过类比分析出新概念与学生头脑中已有的知识之间的联系和区别，同时，建立概念间的连接系统，加强对相关知识的理解，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力.
综上所述，以上初中数学核心概念教学模式能够揭示出数学教学中启动情感的重要性和特殊性，将学生所获得的感知充分展示出来，抽象出数学概念的内涵和本质，并通过概念的联系与应用得以深化.
初中数学核心概念教学实践
仅有相关理论是不够的，初中数学核心概念教学应该是理论与实践相结合，并且对于初中学生而言“函数”既是一个新名词，又是函数概念形成的课程的重难点，因此，笔者以初中“函数的概念”教学为例深入探究.
1. 创设情境，启动情感
为了引导学生主动参与教学，激发学生学习的兴趣，根据学生日常实际生活和已有知识结构，创设了如下生活情境：
情境1：小张同学的父亲是公务员，每天都以30 km/h的速度驾车去上班，试完成以下表格，并写出小张同学父亲行驶路程s与行驶时间t之间的关系式.
让学生观察上述表格，引导学生总结出小张同学父亲行驶路程s与行驶时间t之间的关系，即s=30t，温故学生已有知识结构中常量与变量的概念. 同时，鼓励学生就自己日常生活中的情境展开想象，通过课件演示的形式呈现出工作效率、工作时间和工作总量，物品单价、数量与总价等问题情境，试着列举出具体问题中的常量和变量.
2. 建构概念，展示感知
为了进一步引导学生发现新知、建构函数概念，又創设了如下生活情境：
情境2：某学校为了美化校园环境，计划用一根总长度为60米的篱笆围成一块矩形绿化区，试求这个绿化区边长l（m）与面积s（m2）之间的关系式，并指出这个关系式中的变量与常量.
然后要求学生以小组讨论的形式，总结出以上两个情境中的相同之处，总结学生所列答案，从而引出函数的概念.
3. 变式辨析，内化认知
为了使学生将刚接触到的新概念内化为自己的知识，教师应通过创设一些变式情境，内化巩固概念.
情境3：某学校为了美化校园环境，计划用一根总长度为60米的篱笆围成一块矩形绿化区，但其中矩形绿化区一边靠墙，则试求这个绿化区平行于墙的一条边长l（m）与面积s（m2）之间的关系式，并指出式中常量与变量，函数与自变量. 如果是垂直于墙的一条呢，则边长l（m）与面积s（m2）之间的关系式又如何表示.
4. 系统联结，抽象概念
上述教学过程阐述的是具体问题，而如何将其抽象为数学概念，笔者以“一个函数中，自变量的取值范围如何确定”为例，组织学生深入探讨，并在此基础上，每组选派代表进行回答，组内其他人员进行补充. 最后，总结得出如下表格.
5. 巩固练习，联系应用
以本节课程的收获为切入点，组织学生总结出本节课程所学习的主要知识点，并呈现出以下例题，要求学生写出函数关系式，指出其中的自变量.
（1）小明同学在800米/圈的跑道上进行田径训练，试写出小明跑步的速度v与跑一圈所用时间t之间的关系式.
（2）某种钢笔单价3元，试求出购买总金额与购买钢笔个数之间的关系式.
（3）已知正方形的面积为S，对角线长为x，试求他们之间的关系式.
（4）请根据自己的理解，编写出类似上述问题的数学题目，并指出其中的常量与变量、自变量与函数.
结语
总之，初中数学核心概念是形成数学思想方法的出发点，是数学推理、判断的依据和建立数学定理、法则、公式的基础，对于学生学习数学起着举足轻重的作用，因此，在具体教学实践中，教师应按照“启动情感、展示感知、内化认知、抽象概念、联系应用 ”的教学模式，只有这样，才能让学生完全明白核心概念的内涵和外延，才能提高学生分析问题、解决问题的能力.
参考文献：
[1]张春燕. 基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学——“三角形的有关概念（1）”的教学实践[J]. 上海中学数学，2018（5）.
[2]张晓雷. 准确把握核心概念合理设计教学过程——基于初中数学核心概念及其思想方法的概念教学反思[J]. 数学学习与研究，2018（8）.
[3]陈国华. APOS理论下初中数学核心概念及其教学策略探究——以“函数”概念为例[J]. 数学教学通讯，2017（20）.
[4]卢玉书. 基于核心概念的初中数学思想方法的教学[J]. 数学教学通讯，2016（32）.
