三次函数的四式两值
三次函数在各地高考中都有非常多的考查，它是考查导数很好的素材，其导函数为二次函数，所以本文类比二次函数一般的形式，通过归纳总结后，得到三次函数表达式的四种形式，即一般式、三根式、对称中心式、极值点式，并利用这些形式分析三次函数中的两值，即极值和最值，这样使问题分析更加深刻和透彻.
1三次函数性质类比
类比二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的表达式与性质，我们可以得到：
性质1三次函数一般式：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）；
三次函数三根式：f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0）
一方面，三次函数是中心对称图形，其对称中心为（-b3a，f（-b3a））；另一方面，对三次函数的一般式可以作如下化简：
f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+b3a）3+3ac-b23ax+27a2d-b327a2
=a（x+b3a）3+3ac-b23a（x+b3a）+2b3-9abc+27a2d27a2.
因此，类比二次函数的顶点式，给出如下表示形式：
性质2三次函数对称中心式：f（x）=a（x+b3a）3+t（x+b3a）+f（-b3a）.
性质3三次函数极值点式：f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k或f（x）=a（x-x2）2（x-m）+e（x1，x2为其两个极值点）.
由性质3我们可以得到如下重要结论：
推论如果三次函数有两个极值点x1、x2（其中x1
[TS（][JZ]图1[TS）]
令f′（x）=0，得f（x）的极值点为x1，2n+x13.
所以x2=2n+x13，即n-x2=x2-x12，又f（x）
关于点（x0，f（x0））中心对称，得x1，x0，x2三个数将区间[m，n]四等分，即证.
2三次函数性质应用
利用上面类比得到的三次函数的“四式”性质，笔者发现在解决三次函数问题时十分有用，对研究三次函数的极值与最值问题也带来很大的方便.
2.1三次函数“四式”应用
例1（2014年浙江卷理科第6题文科第7题）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且
09
分析1三根式设f（-1）=f（-2）=f（-3）=t∈0，3，则-3，-2，-1为方程f（x）-t=0的三个根，因此，由三次函数的三根式可表示为：f（x）-t=（x+1）（x+2）（x+3），
所以f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+t=x3+ax2+bx+c.从而f（0）=6+t=c∈6，9，因此选C.
分析2对称中心式由三次函数的对称性可知f（x）=x3+ax2+bx+c关于点（-2，f（-2））成中心对称，可设
f（x）=（x+2）3+d（x+2）+f（-2）.
所以f（-1）=（-1+2）3+d（-1+2）+f（-2）=1+d+f（-2）=f（-2）.
得：d=-1.
因而f（x）=（x+2）3-（x+2）+f（-2），
所以c=f（0）=6+f（-2），由0
f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈[WTHZ]R[WTBX]，则实数a=[CD#3]，b=[CD#3].
分析由f（x）=（x-a）2（x-b）+f（a）的结构特征，联想到三次函数的极值点式，所以a是函数f（x）=x3+3x2+1的一个极值点，令f′（x）=3x2+6x=0，得x=-2或x=0.由已知a≠0，所以a=-2，再结合性质3得到的推论，得-1，0把-2，b三等分，所以b=1.
评注上面两个三次函数小题的分析中，都利用前面类比得到的三次函数的“四式”及性质，求解简洁，深入理解问题的本质，这些性质在研究三次函数的最值、极值问题中同样有着重要的作用.
2.2三次函数“两值”
例3（2016年天津高考理科）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈[WTHZ]R[WTBX]，其中a，b∈[WTHZ]R[WTBX].
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a>0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于14.
分析第（1）小题略.第（2）小题的证明就是性质3的推论的应用，由条件可知
f（x）=（x-1）3-a（x-1）-a-b是三次函数的对称中心式，所以它的对称中心为（1，-a-b），根据性质3的推论得：x=1是x1，x0中间的一个三等分点，所以x1-1=2（1-x0），即x1+2x0=3.
第（3）小题由函数g（x）=|f（x）|可知，g（x）max=maxf（x）max，f（x）min，x∈0，2.
所以本题本质上就是分析三次函数f（x）在区间0，2上的最值，因为a>0，所以函数f（x）有两个极值点x1=1-a3，x2=1+a3，f（x）在-
SymboleB@ ，x1，x2，+
SymboleB@ 上递增，在x1，x2上递减，所以此题可分两种情况，如图：
[TP廖爱国-2.tif，BP][TS（][JZ]图2[TS）]
由（2）结论，只需比较x2=1+a3，3-2x1=1+2a3与2的大小关系：
当1+2a3≤2或1+a3≥2，即0g（x）max=max{f（0），f（2）}
=max{b+1，2a+b-1}
≥b+1+2a+b-12≥a-1≥14；
当1+a3<2<1+2a3，即34g（x）max=maxf（x1），f（x2）
=max2a93a+a+b，2a93a-a-b
≥2a93a+a+b+2a93a-a-b2≥2a93a≥14.
综上，当a>0时，函数g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于14.
评注本题是一道很好的三次函数问题，它结合绝对值很好地考查了三次函数的极值与最值问题，解题关键抓住三次函数的对称性、三次函数的四种结构形式及其性质.此题与文献[2]中的2013年浙江高考理科卷第22題有相近之处，所以，深入研究三次函数的性质也是高考的需要.
3总结
《普通高中数学课程标准》中明确指出，高中数学教学要引导学生把握数学问题的本质，注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的时效性.在数学选修22第32页中，明确要求学生的图象和性质利用信息技术工具进行探究，可见，教学中引导学生进一步分析研究三次函数的性质是非常有必要的.只有抓住数学的本质，才能发现数学美的内涵，才能真正提升学生的数学核心素养.
参考文献
[1]吴玲利，吴跃忠.我国在三次函数中的研究进展[J].数学通讯.2016（4下）：3943.
[2]吴华平.感悟三次函数“对称”的魅力[J].中学数学（高中版），2013（8）：7576.
1三次函数性质类比
类比二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的表达式与性质，我们可以得到：
性质1三次函数一般式：f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）；
三次函数三根式：f（x）=ax-x1x-x2x-x3（a≠0）
一方面，三次函数是中心对称图形，其对称中心为（-b3a，f（-b3a））；另一方面，对三次函数的一般式可以作如下化简：
f（x）=ax3+bx2+cx+d=a（x+b3a）3+3ac-b23ax+27a2d-b327a2
=a（x+b3a）3+3ac-b23a（x+b3a）+2b3-9abc+27a2d27a2.
因此，类比二次函数的顶点式，给出如下表示形式：
性质2三次函数对称中心式：f（x）=a（x+b3a）3+t（x+b3a）+f（-b3a）.
性质3三次函数极值点式：f（x）=a（x-x1）2（x-n）+k或f（x）=a（x-x2）2（x-m）+e（x1，x2为其两个极值点）.
由性质3我们可以得到如下重要结论：
推论如果三次函数有两个极值点x1、x2（其中x1
[TS（][JZ]图1[TS）]
令f′（x）=0，得f（x）的极值点为x1，2n+x13.
所以x2=2n+x13，即n-x2=x2-x12，又f（x）
关于点（x0，f（x0））中心对称，得x1，x0，x2三个数将区间[m，n]四等分，即证.
2三次函数性质应用
利用上面类比得到的三次函数的“四式”性质，笔者发现在解决三次函数问题时十分有用，对研究三次函数的极值与最值问题也带来很大的方便.
2.1三次函数“四式”应用
例1（2014年浙江卷理科第6题文科第7题）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且
0
分析1三根式设f（-1）=f（-2）=f（-3）=t∈0，3，则-3，-2，-1为方程f（x）-t=0的三个根，因此，由三次函数的三根式可表示为：f（x）-t=（x+1）（x+2）（x+3），
所以f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）+t=x3+ax2+bx+c.从而f（0）=6+t=c∈6，9，因此选C.
分析2对称中心式由三次函数的对称性可知f（x）=x3+ax2+bx+c关于点（-2，f（-2））成中心对称，可设
f（x）=（x+2）3+d（x+2）+f（-2）.
所以f（-1）=（-1+2）3+d（-1+2）+f（-2）=1+d+f（-2）=f（-2）.
得：d=-1.
因而f（x）=（x+2）3-（x+2）+f（-2），
所以c=f（0）=6+f（-2），由0
f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈[WTHZ]R[WTBX]，则实数a=[CD#3]，b=[CD#3].
分析由f（x）=（x-a）2（x-b）+f（a）的结构特征，联想到三次函数的极值点式，所以a是函数f（x）=x3+3x2+1的一个极值点，令f′（x）=3x2+6x=0，得x=-2或x=0.由已知a≠0，所以a=-2，再结合性质3得到的推论，得-1，0把-2，b三等分，所以b=1.
评注上面两个三次函数小题的分析中，都利用前面类比得到的三次函数的“四式”及性质，求解简洁，深入理解问题的本质，这些性质在研究三次函数的最值、极值问题中同样有着重要的作用.
2.2三次函数“两值”
例3（2016年天津高考理科）设函数f（x）=（x-1）3-ax-b，x∈[WTHZ]R[WTBX]，其中a，b∈[WTHZ]R[WTBX].
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a>0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于14.
分析第（1）小题略.第（2）小题的证明就是性质3的推论的应用，由条件可知
f（x）=（x-1）3-a（x-1）-a-b是三次函数的对称中心式，所以它的对称中心为（1，-a-b），根据性质3的推论得：x=1是x1，x0中间的一个三等分点，所以x1-1=2（1-x0），即x1+2x0=3.
第（3）小题由函数g（x）=|f（x）|可知，g（x）max=maxf（x）max，f（x）min，x∈0，2.
所以本题本质上就是分析三次函数f（x）在区间0，2上的最值，因为a>0，所以函数f（x）有两个极值点x1=1-a3，x2=1+a3，f（x）在-
SymboleB@ ，x1，x2，+
SymboleB@ 上递增，在x1，x2上递减，所以此题可分两种情况，如图：
[TP廖爱国-2.tif，BP][TS（][JZ]图2[TS）]
由（2）结论，只需比较x2=1+a3，3-2x1=1+2a3与2的大小关系：
当1+2a3≤2或1+a3≥2，即0g（x）max=max{f（0），f（2）}
=max{b+1，2a+b-1}
≥b+1+2a+b-12≥a-1≥14；
当1+a3<2<1+2a3，即34g（x）max=maxf（x1），f（x2）
=max2a93a+a+b，2a93a-a-b
≥2a93a+a+b+2a93a-a-b2≥2a93a≥14.
综上，当a>0时，函数g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于14.
评注本题是一道很好的三次函数问题，它结合绝对值很好地考查了三次函数的极值与最值问题，解题关键抓住三次函数的对称性、三次函数的四种结构形式及其性质.此题与文献[2]中的2013年浙江高考理科卷第22題有相近之处，所以，深入研究三次函数的性质也是高考的需要.
3总结
《普通高中数学课程标准》中明确指出，高中数学教学要引导学生把握数学问题的本质，注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的时效性.在数学选修22第32页中，明确要求学生的图象和性质利用信息技术工具进行探究，可见，教学中引导学生进一步分析研究三次函数的性质是非常有必要的.只有抓住数学的本质，才能发现数学美的内涵，才能真正提升学生的数学核心素养.
参考文献
[1]吴玲利，吴跃忠.我国在三次函数中的研究进展[J].数学通讯.2016（4下）：3943.
[2]吴华平.感悟三次函数“对称”的魅力[J].中学数学（高中版），2013（8）：7576.
