在“玩”中学习数学
王元 王文清
【摘要】通过对教材上的一道二元不等式问题进行一般化的推广，得到一个优美的一般化的重要的二元不等式，进而用这个二元不等式演绎出一系列多元基本不等式，让学生在“玩”中学习数学.
【关键词】玩；学习数学；二元不等式；多元均值不等式
常庚哲教授说：“……大多数的数学定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣而玩出来的……”.“玩”不仅有“变式、变换、特殊化、一般化、类比、归纳、猜想、探索、推广、应用”的含义，而且要环环相扣，使数学学习变成一系列的“智力游戏”、“思维游戏”、“推理游戏”.
下面以人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书《选修45·不等式选讲》第21页“第二讲——证明不等式的基本方法”：“一、比较法”的例1为例，看“数学是怎样玩出来的”.
例1（教材P21）已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.
1在“玩”中做推广
将指数3做推广，可得一个优美的重要二元不等式：若a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，则an+bn≥ambn-m+an-mbm.[JY]（*）
证明因为an+bn-（ambn-m+an-mbm）=aman-m-bn-m-bman-m-bn-m
=am-bman-m-bn-m，
因为a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，由幂函数的性质知，am-bm与an-m-bn-m同号或同时为0，所以am-bman-m-bn-m≥0.
即an+bn-（ambn-m+an-mbm）≥0.
所以an+bn≥ambn-m+an-mbm.
2在“玩”中演绎多元不等式
2.1“玩”出“二元基本不等式”
在不等式（*）中，令n=2，m=1，即得，二元基本不等式：若a，b均是非負实数，则a2+b2≥2ab.
注由上面的不等式，只要一个代换“a2→a，b2→b”，并两边同除以2，即得二元均值不等式：
a+b2≥ab.
2.2“玩”出“三元基本不等式”
已知a，b，c均是非负实数，求证：a3+b3+c3≥3abc.
证明在不等式（*）中，令n=3，m=1知，a3+b3≥ab2+a2b，
同理，a3+c3≥ac2+a2c，
b3+c3≥bc2+b2c，
以上三个不等式左右两边分别相加，得
2a3+b3+c3≥ab2+c2+ba2+c2+ca2+b2≥2abc+2abc+2abc=6abc，
所以a3+b3+c3≥3abc.
注（1）上述证明是如此的简洁、优美，与教材上用比较法证明相比，不仅避开了学生初中未学的两数和的立方与两数立方的和公式及配凑法、配方法的运用，而且大大降低了解题难度、减少了解题长度，更体现了数学知识之间的联系，体现了公理化的思想.所以上述处理方式很好地体现了“用教材教，而不是教教材”的要求.
（2）由上面的不等式，只要一个代换“a3→a，b3→b，c3→c”，并两边同除以3，即得三元均值不等式：a+b+c3≥3abc.
2.3“玩”出“四元基本不等式”
已知a，b，c，d均是非负实数，求证：a4+b4+c4+d4≥4abcd.
证明1在不等式（*）中，令n=4，m=2知，a4+b4≥2a2b2，
同理，c4+d4≥2c2d2，
以上两个不等式左右两边分别相加得，
a4+b4+c4+d4≥2a2b2+c2d2≥4abcd.
证明2在不等式（*）中，令n=4，m=1知，a4+b4≥ab3+a3b，
同理，a4+c4≥ac3+a3c，
a4+d4≥ad3+a3d，
b4+c4≥bc3+b3c，
b4+d4≥bd3+b3d，
c4+d4≥cd3+c3d.
以上6个不等式两边分别相加，得
3a4+b4+c4+d4
≥a（b3+c3+d3）+b（a3+c3+d3）+c（a3+b3+d3）+d（a3+b3+c3）
≥a·3bcd+b·3acd+c·3abd+d·3abc
=3×4abcd，即a4+b4+c4+d4≥4abcd.
注（1）上面的证明1简单的难以想象！（2）由上面的不等式，只要一个代换“a4→a，b4→b，c4→c，d4→d”，并两边同除以4，即得四元均值不等式：a+b+c+d4≥4abcd.
2.4“玩”出“五元基本不等式”
已知a，b，c，d，e均是非负实数，求证：a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.
证明在不等式（*）中，令n=5，m=1知，
a5+b5≥ab4+a4b，
同理，a5+c5≥ac4+a4c，
a5+d5≥ad4+a4d，
a5+e5≥ae4+a4e，
b5+c5≥bc4+b4c，
b5+d5≥bd4+b4d，
b5+e5≥be4+b4e，
c5+d5≥cd4+c4d，
c5+e5≥ce4+c4e，
d5+e5≥de4+d4e.
以上10个不等式两边分别相加，得
4（a5+b5+c5+d5+e5）≥a（b4+c4+d4+e4）+b（a4+c4+d4+e4）
+c（a4+b4+d4+e4）+d（a4+b4+c4+e4）+e（a4+b4+c4+d4）
≥5×4abcde，
所以，a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.
注由上面的不等式，只要一个代换“a5→a，b5→b，c5→c，d5→d，e5→e”，并两边同除以5，即得五元均值不等式：a+b+c+d+e5≥5abcde.
2.5“玩”出“n元基本不等式”
由上述一系列的结论，自然有下面的猜想：一般的n元均值不等式：若ai（i=1，2，3，…，n）均是非负实数，则∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.并且由5元基本不等式的证明方法，自然会想到可以用数学归纳法给出其证明.
证明（1）当n=2时，a2+b2≥2ab已知成立.
（2）假设当n=k时，猜想正确，即∑ki=1aki≥k∏ki=1ai，
那么当n=k+1时，因为ak+1i+ak+1i+m≥aiaki+m+akiai+m（i=1，2，3，…，k，m=1，2，…，k，i+m≤k+1），
以上C2k+1=kk+12个不等式相加，并由归纳假设可得，
k∑k+1i=1ak+1i≥∑k+1i=1ai∑k+1j=1，j≠iakj
=a1（ak2+ak3+ak4+…+akk+1）+a2（ak1+ak3+ak4+…+akk+1）+…+ak（ak1+ak2+ak3+…+akk-1+akk+1）+ak+1（ak1+ak2+ak3+…+akk）
≥k+1k∏k+1i=1ai，
所以，∑k+1i=1ak+1i≥k+1∏k+1i=1ai.
这就是说，当n=k+1时，猜想也成立，即若ai（i=1，2，3，…，n）均是非负实数，则∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.3结束语
本文从教材中的一道例题开始，运用“类比”、“猜想”、“一般化”、“特殊化”等数學方法，首先得到了一个一般的二元不等式，并由此二元不等式依次演绎出了二元、三元、四元、五元、……、n元的基本不等式，且先得出的n元基本不等式是演绎下一个n+1元基本不等式的依据，演绎过程，环环相扣，层层递进，证明方法类同，可以说是“多题一解”的典型案例.这样处理，学生兴趣浓、难度小、负担轻、记得住、学得牢、用得上、能迁移、效果好.
总之，精心研究教材，研究数学问题之间的联系，运用“类比、猜想、推广、证明、应用”的教学结构，让数学学习好像是在“玩”一场场智力游戏、思维游戏、推理游戏，并在“玩”中，掌握数学基础知识，建立数学知识之间的联系，形成良好的数学知识结构，实践数学方法（类比、猜想、证明、一般化、特殊化、公理化），学会探索、推广数学问题的方法，学会创新，在享受数学中学会数学，这应当是数学教学必需遵循的一条教学原则.这样的数学教学必然会收到低负高效、事半功倍、点石成金的效果.
【摘要】通过对教材上的一道二元不等式问题进行一般化的推广，得到一个优美的一般化的重要的二元不等式，进而用这个二元不等式演绎出一系列多元基本不等式，让学生在“玩”中学习数学.
【关键词】玩；学习数学；二元不等式；多元均值不等式
常庚哲教授说：“……大多数的数学定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣而玩出来的……”.“玩”不仅有“变式、变换、特殊化、一般化、类比、归纳、猜想、探索、推广、应用”的含义，而且要环环相扣，使数学学习变成一系列的“智力游戏”、“思维游戏”、“推理游戏”.
下面以人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书《选修45·不等式选讲》第21页“第二讲——证明不等式的基本方法”：“一、比较法”的例1为例，看“数学是怎样玩出来的”.
例1（教材P21）已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.
1在“玩”中做推广
将指数3做推广，可得一个优美的重要二元不等式：若a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，则an+bn≥ambn-m+an-mbm.[JY]（*）
证明因为an+bn-（ambn-m+an-mbm）=aman-m-bn-m-bman-m-bn-m
=am-bman-m-bn-m，
因为a，b，n，m均是非负实数，且n≥m，由幂函数的性质知，am-bm与an-m-bn-m同号或同时为0，所以am-bman-m-bn-m≥0.
即an+bn-（ambn-m+an-mbm）≥0.
所以an+bn≥ambn-m+an-mbm.
2在“玩”中演绎多元不等式
2.1“玩”出“二元基本不等式”
在不等式（*）中，令n=2，m=1，即得，二元基本不等式：若a，b均是非負实数，则a2+b2≥2ab.
注由上面的不等式，只要一个代换“a2→a，b2→b”，并两边同除以2，即得二元均值不等式：
a+b2≥ab.
2.2“玩”出“三元基本不等式”
已知a，b，c均是非负实数，求证：a3+b3+c3≥3abc.
证明在不等式（*）中，令n=3，m=1知，a3+b3≥ab2+a2b，
同理，a3+c3≥ac2+a2c，
b3+c3≥bc2+b2c，
以上三个不等式左右两边分别相加，得
2a3+b3+c3≥ab2+c2+ba2+c2+ca2+b2≥2abc+2abc+2abc=6abc，
所以a3+b3+c3≥3abc.
注（1）上述证明是如此的简洁、优美，与教材上用比较法证明相比，不仅避开了学生初中未学的两数和的立方与两数立方的和公式及配凑法、配方法的运用，而且大大降低了解题难度、减少了解题长度，更体现了数学知识之间的联系，体现了公理化的思想.所以上述处理方式很好地体现了“用教材教，而不是教教材”的要求.
（2）由上面的不等式，只要一个代换“a3→a，b3→b，c3→c”，并两边同除以3，即得三元均值不等式：a+b+c3≥3abc.
2.3“玩”出“四元基本不等式”
已知a，b，c，d均是非负实数，求证：a4+b4+c4+d4≥4abcd.
证明1在不等式（*）中，令n=4，m=2知，a4+b4≥2a2b2，
同理，c4+d4≥2c2d2，
以上两个不等式左右两边分别相加得，
a4+b4+c4+d4≥2a2b2+c2d2≥4abcd.
证明2在不等式（*）中，令n=4，m=1知，a4+b4≥ab3+a3b，
同理，a4+c4≥ac3+a3c，
a4+d4≥ad3+a3d，
b4+c4≥bc3+b3c，
b4+d4≥bd3+b3d，
c4+d4≥cd3+c3d.
以上6个不等式两边分别相加，得
3a4+b4+c4+d4
≥a（b3+c3+d3）+b（a3+c3+d3）+c（a3+b3+d3）+d（a3+b3+c3）
≥a·3bcd+b·3acd+c·3abd+d·3abc
=3×4abcd，即a4+b4+c4+d4≥4abcd.
注（1）上面的证明1简单的难以想象！（2）由上面的不等式，只要一个代换“a4→a，b4→b，c4→c，d4→d”，并两边同除以4，即得四元均值不等式：a+b+c+d4≥4abcd.
2.4“玩”出“五元基本不等式”
已知a，b，c，d，e均是非负实数，求证：a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.
证明在不等式（*）中，令n=5，m=1知，
a5+b5≥ab4+a4b，
同理，a5+c5≥ac4+a4c，
a5+d5≥ad4+a4d，
a5+e5≥ae4+a4e，
b5+c5≥bc4+b4c，
b5+d5≥bd4+b4d，
b5+e5≥be4+b4e，
c5+d5≥cd4+c4d，
c5+e5≥ce4+c4e，
d5+e5≥de4+d4e.
以上10个不等式两边分别相加，得
4（a5+b5+c5+d5+e5）≥a（b4+c4+d4+e4）+b（a4+c4+d4+e4）
+c（a4+b4+d4+e4）+d（a4+b4+c4+e4）+e（a4+b4+c4+d4）
≥5×4abcde，
所以，a5+b5+c5+d5+e5≥5abcde.
注由上面的不等式，只要一个代换“a5→a，b5→b，c5→c，d5→d，e5→e”，并两边同除以5，即得五元均值不等式：a+b+c+d+e5≥5abcde.
2.5“玩”出“n元基本不等式”
由上述一系列的结论，自然有下面的猜想：一般的n元均值不等式：若ai（i=1，2，3，…，n）均是非负实数，则∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.并且由5元基本不等式的证明方法，自然会想到可以用数学归纳法给出其证明.
证明（1）当n=2时，a2+b2≥2ab已知成立.
（2）假设当n=k时，猜想正确，即∑ki=1aki≥k∏ki=1ai，
那么当n=k+1时，因为ak+1i+ak+1i+m≥aiaki+m+akiai+m（i=1，2，3，…，k，m=1，2，…，k，i+m≤k+1），
以上C2k+1=kk+12个不等式相加，并由归纳假设可得，
k∑k+1i=1ak+1i≥∑k+1i=1ai∑k+1j=1，j≠iakj
=a1（ak2+ak3+ak4+…+akk+1）+a2（ak1+ak3+ak4+…+akk+1）+…+ak（ak1+ak2+ak3+…+akk-1+akk+1）+ak+1（ak1+ak2+ak3+…+akk）
≥k+1k∏k+1i=1ai，
所以，∑k+1i=1ak+1i≥k+1∏k+1i=1ai.
这就是说，当n=k+1时，猜想也成立，即若ai（i=1，2，3，…，n）均是非负实数，则∑ni=1ani≥n∏ni=1ai，即1n∑ni=1ai≥n∏ni=1ai.3结束语
本文从教材中的一道例题开始，运用“类比”、“猜想”、“一般化”、“特殊化”等数學方法，首先得到了一个一般的二元不等式，并由此二元不等式依次演绎出了二元、三元、四元、五元、……、n元的基本不等式，且先得出的n元基本不等式是演绎下一个n+1元基本不等式的依据，演绎过程，环环相扣，层层递进，证明方法类同，可以说是“多题一解”的典型案例.这样处理，学生兴趣浓、难度小、负担轻、记得住、学得牢、用得上、能迁移、效果好.
总之，精心研究教材，研究数学问题之间的联系，运用“类比、猜想、推广、证明、应用”的教学结构，让数学学习好像是在“玩”一场场智力游戏、思维游戏、推理游戏，并在“玩”中，掌握数学基础知识，建立数学知识之间的联系，形成良好的数学知识结构，实践数学方法（类比、猜想、证明、一般化、特殊化、公理化），学会探索、推广数学问题的方法，学会创新，在享受数学中学会数学，这应当是数学教学必需遵循的一条教学原则.这样的数学教学必然会收到低负高效、事半功倍、点石成金的效果.
