例谈初中几何证明中 “辅助线的自然生成
秦晓
[摘? 要] 辅助线是连接已知条件和所求结论的桥梁,是在分析条件、探索结论中结合所学概念、定理、几何模型等相关知识自然联想到的所需要的帮助. 因此,在具体的教学过程中,教师要力求向学生展示辅助线的生成过程,让学生体会辅助线是怎样在问题中“无中生有”的.
[关键词] 桥梁;生成;感悟
1. 从几何定理入手寻找辅助线的自然生成
分析讲解? 根据“平行线的性质定理”:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补. 本题已知条件中出现了两条平行直线,要求证的结论是角度之间的数量关系,这与平行线的性质定理描述的内容高度吻合,所以我们可以从这里找到破题点. 对比定理发现,这里缺少的就是第三条截线,所以我们可以从这个角度出发添加辅助线,构造截线,接下来就只需要思考可以怎么构造截线. 这个问题抛给学生以后,辅助线就在学生笔下自己长出来了,而且还不止一种方法,展示辅助线的添加方法如下:可以过点E作直线MN∥AB,如图2;可以连接AC,如圖3;可以延长CE交直线AB于点F,如图4;可以延长AE交直线CD于点F,如图5.
启示? 从定理入手,使得辅助线的出现有了“落脚点”,在熟悉、掌握定理的基础上,可以很自然地得到辅助线,这是直接告诉学生:“平行线问题中遇到拐点就过拐点作平行线”是不能相比的.后者这样直接灌输,不仅容易遗忘,而且记住的学生也大都“消化不良”,在遇到类似问题时无法举一反三.
2. 从几何模型中寻找辅助线的自然轨迹
这个问题很多学生都觉得无从下手,本来准备就这个题给学生做一个仔细的评讲,不过在评讲的时候,一位学生主动请缨,说出了她添加辅助线的过程:从这个题目要解决的问题入手,求△ADE的面积,就联系到三角形的面积公式——底乘以高除以2,那么就应该思考以△ADE的哪一边作为底. 根据已知条件,三边中已知AD边为2,所以很自然联想到过点E作EM垂直于直线AD,这样就生成了解决这个问题的第一条辅助线. 可是问题还没有彻底解决,这个时候我也思考了很久,发现DE=DC,而且还出现了两个垂直关系,所以我联想到平时学习过的“三垂直模型”,因此我尝试着过点C作CN垂直于直线AD,如图8所示. 通过△DME≌△CND,得到EM=DN,居然真的把这个题目做出来了,太让我兴奋了.一番描述行云流水,全班同学佩服得报以热烈的掌声.
启示? 这道题目难度不小,但是学生的回答却给了笔者很多启发,因为每一条辅助线都来得那么自然,层层推进. 由三角形面积公式想到作高线,由高线带来的垂直关系再结合CD=DE,联系到全等中的“三垂直模型”,进一步转化已知条件. 整个解题过程一气呵成,酣畅淋漓,这不论对解题者还是参与倾听的学生来说都会受益良多,也再次感受到了辅助线的自然生成有强大的生命. 这不仅使用了老师教授的辅助线的作法,而且也让学生自己收获了运用这种思维带来的成果.
3. 从几何图形的对称美中去发现辅助线的自然生成
很多几何图形,比如角、线段、等腰三角形、等边三角形等都具有轴对称性,它们的性质,比如角平分线上的点到角两边的距离相等,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,等腰三角形的“三线合一”也基本上来自于其图形本身的对称性,只不过当我们研究完这些性质以后,更多的注意力放在了定理本身以至于忽略了它最本质的特性. 比如这样一个例题:如图9,在△ABC中,已知AC>BC,CD平分∠ACB,求证:AD>BD.
启示? 刚分析本题时,会让人有摸不着头脑的感觉,感觉一个明显的结论就是无法通过推理得到,从而产生失落怅然. 如果能够多体会角是一个轴对称图形,就算它的性质定理也只是它的轴对称性的一个特殊角度的展示;如果能从图形本身的这种特征出发去解决问题,那么便会给我们很多题目的解决带来启发,也自然能寻找到辅助线的蛛丝马迹.
4. 从结论的形式中去体会辅助线的生成
有一类几何证明题,它的已知条件或者是结论里面有形如两条线段的和(或者差)等于第三条线段,或者一条线段是另一条线段的两倍,一个角是另一个角的两倍等之类的描述,这种形式也蕴含着解题的思路,下面用一道例题加以展示:如图11,CD为△ABC的中线,求证:CA+CB>2CD.
分析讲解? 从已知条件入手似乎觉得没有更多的解题思路了. 这个时候可以从结论入手,发现结论中出现了2CD,所以可以从这里出发找到本题的突破口,尝试将CD延长加倍,延长CD至点E,使得CD=DE,然后连接AE,构造全等三角形.如图12,△CDB≌△EDA,得到CB=AE,在△ACE中,利用三边关系可得:AC+AE>CE,根据线段的等量代换得到CA+CB>2CD,得出证明.
启示? 很多教辅书中都将这种方法称为“中线倍长法”,笔者认为,除了介绍这种名称外,更重要的是带领学生一起去感悟“中线倍长”字面之外的含义,什么时候需要中线倍长?将中线倍长以后会得到什么样的结论?这些结论结合其他常见的几个图形又会出现哪些常见的问题?这样学生才会知道在哪些情况下需要把线段进行倍长,而不至于为了倍长而倍长,把某些简单的题目反而复杂化.
辅助线的添加对于一道几何题目而言是一个系统工程,每一种方法之间也不是孤立的,每一个学生看到一个已知条件联想到的知识点也是不尽相同的,所以从每个人的思维之数上开出的花就是五彩缤纷的,这也形成了课堂的多样变化深度以及广度,让每个学生在与别人的交流中碰撞思维(图9的例题),在实际的授课中有的学生是从定理入手得到解决方案的,现在将他的思路展示如下:
看到已知条件中出现了角平分线,我首先想到的就是角平分线定理,所以我尝试了做角两边的垂线段. 如图13,过点D作DE⊥AC,DF⊥BC. 接下来我发现,除了得到DE=DF便无路可走了,再仔细一想,作了垂线段以后可以联系到三角形的面积,尝试这样一思考,利用=,同==,进而得到=,因为AC>BC,所以AD>BD.
1. 关注学生的学情,用已经掌握的知识推动思维的发展
学生才是学习的主体,教师所做的工作是为主体服务的. 这就需要我们深入了解我们的主体,知道他们现有的知识近区,加以引导,扩大他们的认知圈,为推动下一步的思维发展奠定基础. 如果忽略了,不管教师自认为讲解得多么透彻,学生听来都是云里雾里,不知所云,更不用说知道学习了.
2. 教学过程注重“慢”的艺术
世间万事的生成都是有过程的,需要时间的,所以在教学的过程中要有留白,有安静的思考,有火热的讨论,有条理的交流,这些都需要执教者有从容的心态,不怕学生花时间. 这样的课堂可能例题的讲解数量比较少,可是涵盖的知识容量,以及衍生出来的学生对数学的兴趣、感知的数学的活力、思维能力的提升等非智力因素却会带来事半功倍的效果.
3. 教学过程中注重学生模型思维的培养
在几何证明中有很多从一般情况中提炼归纳出来的模型,可以强化这种模型意识,就是强化学生对概念、定理等知识的深入认识,让学生少走弯路,提高成功的体验率,有了一次次推理成功的通畅淋漓的感觉,学生學习数学的激情必定高涨,内驱力带来的效果是任何说教都替代不了.
4. 对于自然生成却失败的辅助线要有优化的意识
学生在实际的操作中,根据自身的知识构建出一条辅助线,却发现无法进行有效的推理,钻进一个胡同然后毫无头绪,可以另寻解决途径,然而结合已知条件将辅助线进行优化也不失为一条上策,用一个例题展示一下过程:如图14,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N. 求证:AE=CN+EN.
一个学生的分析过程:看到这个结论是线段和差的形式,所以想到尝试用“补短”的方法来添加辅助线. 延长CN到点M,使得NM=EN,如图15,可是在接下来证明△BEN≌△BMN,△BCM≌△CAE都遇到了问题,没有办法得出任何一对三角形全等,从而整个证明停滞不前,接下来准备放弃这种方法.
从“截长”的角度添加辅助线,这个思路非常清晰到位,不过第一种辅助线就一定要舍弃吗?能不能通过再次分析题目的已知条件做个调整,△BCM与△CAE已经有一对边BC=AC,一对角∠BCM=∠CAE,所以在描述辅助线的时候可以换个角度,直接使得CM=AE,就可以补充这两个三角形全等所需的第三个条件,进而证明△BEN≌△BMN,进一步推理根据线段的等量代换完成整道题目的证明.
启示? 本题通过改变对辅助线的描述将一条被放弃的辅助线“起死回生”,这对那些有这种经历的学生有莫大的鼓舞. 在这种思维方式的启发下,他们自己也很快找到了新的方法:过点B作AC的平行线交CA的延长性于点M或者过点B作BM⊥BC交CN的延长线于点M. 他们能这样举一反三,对笔者也是莫大的鼓舞.
几何证明问题对辅助线的添加一直都是一个教师关注的热点,也是一个老生常谈的话题,怎么把这首老歌唱出新意,也是笔者在教学的过程中一直思考的问题. 通过对已知条件的挖掘,结合想得到的证明结果,寻找这两者的连接点,如果之间的桥梁需要我们去搭建,就可以从实际需要出发,实现辅助线的有效生成. 以上的一些浅显的个人想法希望能够抛砖引玉,与同仁们一起探讨辅助线自然生成的生长点,为我们的实际教学注入新的想法.