高中数学教材中的差商主题研究
胡晋宾 凌晓牧
【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出主题设计理念，倡导借助核心和关键知识贯通课程和教学，凸显全局性与关联性，规避碎片化与孤立化等.以人教B版高中数学教材中的作差和作商为主线案例研究发现，主题设计理念既有重要教育价值，也会存在教学操作困难.
【关键词】主题设计;作差;作商;高中数学教材
1 研究缘起：课标中的主线、主题理念
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了课程设计的4条主线，即函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动.在教学实施部分，又倡导整体视角下把握课程内容并进行教学设计等理念，并在《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中提出了“主线—主题—核心内容”的一贯思想[1].其中的主题和核心内容是比上述主线低一级的“主线”，它们均不再局限于一个课时，而将视野拓宽到单元、章节或主题.具体到主题而言，常是由教师根据教学需要来设计，产生路径主要有3种：①以重要概念或知识为主线组织的知识类主题;②以数学思想方法为主线组织的方法类主题;③以数学学科核心素养、基本能力为主线组织的素养类主题.
提出“主线—主题—核心内容”理念的出发点是，希望聚焦数学中的核心和关键知识、能力、素养，防止知识碎片化、孤立化、离散化，寄希望于从全局性、高观点和关联性视野来看数学学习和教学.虽然有关主线的观点学界多有倡导，但是有关的主题和核心内容的案例研究并不多见 （课标解读中给出了函数单调性的主题教学设计建议）.以下结合研读人教B版教材[2]（以下简称教材）中差商主题的处理，谈谈主题教材的编写设计以及对教学实践的启迪.2 主题简介：作为数学主题的差商（作差与作商）
本文中的差商是指，两个量作差和作商.众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，而形式的差异和数量的比较是数学的重要内容.在比的思想的数量化方面，最为常见的手段也就是作差和作商.由于数和形的内在一致性，因此数量的差异又往往能够解释形状的变化，反过来形状的改变也会导致数量的变更，这样的互动关系体现出数学知识的本质性、统一性与和谐性.
差商虽然是一个并不复杂的概念，但是却能作为节点串联起数学教育中的众多知识.在小学和初中，差商主要表现为作差和作商，比如小学中的商和分数、比例等，初中的正反比例函数、列方程和不等式.而在高中，差商涉及函数（包括三角函数）、解析几何、统计概率、数列和导数等相关知识.差商具有基础性、联系性和应用性等课程主题的典型特征.（正因如此，关于比率算法与比例的理论成为《九章算术》中讨论最为详细、应用最为广泛的基础，提纲挈领地贯通全书）3 案例呈现：人教B版教材中的差商主题设计
4 启迪反思：主题设计的课程与教学考察
通过上述梳理，我们明确了人教B版利用差商思想，来贯穿单调性、斜率、导数等内容编写的良苦用心.这启迪我们，教师在教学时需要整体上把握教材，抓住数学中的核心知识，凸显数学主线的教学引领，加强数学教学的知识贯通.除此之外，还有以下几点需要注意.
4.1從理论研究来看，主题设计具有重要的教育价值
学术界有一些以大观念、核心概念为题名的研究，这和上述主线、主题的思想是一致的.以大观念（big idea）为例，它是指在某一学科中居于重要地位，对学科其他内容更具统摄力、关联性、聚焦性的概念.研究表明，专业领域的知识结构主要是围绕核心概念或“大观点”组织的、用图式表征的大块知识单元构成，它们在解决复杂问题和促成迁移方面起了重要作用[3].大观念的益处是：“大概念（大观念）应当能够贯穿于整个数学课程，应当是最重要、最核心、最具统整性的数学;应当和其他知识点具有充分的联系;应当体现出数学的本质特点;应当为后续更高层次的学习提供必要的基础”[1].国外的相关研究也揭示，强调具有基础性、本质性、联系性和应用性等特点的核心概念（知识），能够突出对数学本质的理解[4].
4.2从课程教材角度来看，主题设计是一种课程统整
“在课程统整中，计划始于一中心主题，然后借由确认与此一主题或活动相关的大观念或概念，展开课程的计划”[5].从本质来看，大观念、数学主线是对当下多元化课程离散式分裂的一种回归式期盼，也是对数学学科知识发展统一性理解的一种强调式整合.历史上最为典型并且影响至今的“大观点”，莫过于F·克莱因倡导的“以函数为纲”了.除此以外，比较有影响的观点还有：尤金斯认为存在有“整数—有理数—实数—复数和向量”等9条中学数学课程主线[6]，王尚志等提出的数学课程有函数、几何、运算、算法、统计概率与数学应用这样6条主线[7]，等等.这对课程设计和教材编写的启迪是，需要高度重视数学知识内部的联系，努力寻求数学知识本身的节点，将这些节点凸显出来，作为链接知识的纽带和线索，使得核心知识在知识组织的前后贯通方面，起到承前启后、循环上升的目的.数学课程大主线就如同高速公路和航空线路，而小主线就如同省级公路和县乡小道.如果在编写教材时，大主线纵横捭阖，小主线犬牙交错，那么最后教材就会形成一个泾渭分明而又铆合有力的丰富网络，从而保证数学学习在循环上升中不断累积提升.在呈现教材时，对于不同的学科分支知识，不应该条块分割“老死不相往来”，而应该随时随地加强联系和呼应，避免知识学习孤立化和碎片化.
4.3从数学教学上来看，主题设计会存在诸多困难教师的确应该从整体和宏观上进行课程和教材理解，跳出微观视野进行教学设计实践，引导学生打通前后知识，揭示数学思想，提升核心素养.同时我们也应认识到，虽然主题、主线的理念能够体现数学学科的某些特点并且具有较好的教育价值，但是受制于素养发展的长期性、曲折性，评价与测量的艰难性，教师教学驾驭的复杂性，以及主线涉及内容的分散性，教学落实将会存在诸多问题，遭遇不少挑战.
4.4从主题分类来看，主题设计应该包含数学观念渗透如果说主题有知识、方法和素养层面的区分的话[1]，那么我们认为还缺少一个主题，那就是数学观念层面.从主题课程和教学设计的立场来看，这会改变学生和教师的数学观，也就是说，主题和主线思想体现和反映出来不同的数学观——知识是不断发展的，前后联系的，经验与拟经验的，甚至是可误的，层层铺垫和循环上升的，等等.这些在课程和教学中的恰当地方，都应该有所渗透和揭示.
参考文献
[1]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：175;53;256.
[2]高存明.普通高中数学课程标准实验教科书 高中数学（人教B版必修1～选修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2010.
[3]钟启泉.课程论[M].北京：教育科学出版社，2011：197.
[4]Anon.An Overview of Materials Adaptations（Vo1.1）[R]//E.J.Kameenui & D.C.Simmons.Toward Successful Inclusion of Students with Disabilities：The Architecture of Instruction.Reston，VA：Council for Exceptional Children，1999.
[5]James A. Beane.课程统整[M].单文经等译.上海：华东师范大学出版社，2003：15.
[6]鲁小莉.中学数学课程发展的九条主线[J].数学教学，2010（9）.
[7]王尚志，张思明.走进高中数学新课程[M].上海：华东师范大学出版社，2008：12.
【摘要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出主题设计理念，倡导借助核心和关键知识贯通课程和教学，凸显全局性与关联性，规避碎片化与孤立化等.以人教B版高中数学教材中的作差和作商为主线案例研究发现，主题设计理念既有重要教育价值，也会存在教学操作困难.
【关键词】主题设计;作差;作商;高中数学教材
1 研究缘起：课标中的主线、主题理念
《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了课程设计的4条主线，即函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动.在教学实施部分，又倡导整体视角下把握课程内容并进行教学设计等理念，并在《普通高中数学课程标准（2017年版）解读》中提出了“主线—主题—核心内容”的一贯思想[1].其中的主题和核心内容是比上述主线低一级的“主线”，它们均不再局限于一个课时，而将视野拓宽到单元、章节或主题.具体到主题而言，常是由教师根据教学需要来设计，产生路径主要有3种：①以重要概念或知识为主线组织的知识类主题;②以数学思想方法为主线组织的方法类主题;③以数学学科核心素养、基本能力为主线组织的素养类主题.
提出“主线—主题—核心内容”理念的出发点是，希望聚焦数学中的核心和关键知识、能力、素养，防止知识碎片化、孤立化、离散化，寄希望于从全局性、高观点和关联性视野来看数学学习和教学.虽然有关主线的观点学界多有倡导，但是有关的主题和核心内容的案例研究并不多见 （课标解读中给出了函数单调性的主题教学设计建议）.以下结合研读人教B版教材[2]（以下简称教材）中差商主题的处理，谈谈主题教材的编写设计以及对教学实践的启迪.2 主题简介：作为数学主题的差商（作差与作商）
本文中的差商是指，两个量作差和作商.众所周知，数学是研究数量关系和空间形式的科学，而形式的差异和数量的比较是数学的重要内容.在比的思想的数量化方面，最为常见的手段也就是作差和作商.由于数和形的内在一致性，因此数量的差异又往往能够解释形状的变化，反过来形状的改变也会导致数量的变更，这样的互动关系体现出数学知识的本质性、统一性与和谐性.
差商虽然是一个并不复杂的概念，但是却能作为节点串联起数学教育中的众多知识.在小学和初中，差商主要表现为作差和作商，比如小学中的商和分数、比例等，初中的正反比例函数、列方程和不等式.而在高中，差商涉及函数（包括三角函数）、解析几何、统计概率、数列和导数等相关知识.差商具有基础性、联系性和应用性等课程主题的典型特征.（正因如此，关于比率算法与比例的理论成为《九章算术》中讨论最为详细、应用最为广泛的基础，提纲挈领地贯通全书）3 案例呈现：人教B版教材中的差商主题设计
4 启迪反思：主题设计的课程与教学考察
通过上述梳理，我们明确了人教B版利用差商思想，来贯穿单调性、斜率、导数等内容编写的良苦用心.这启迪我们，教师在教学时需要整体上把握教材，抓住数学中的核心知识，凸显数学主线的教学引领，加强数学教学的知识贯通.除此之外，还有以下几点需要注意.
4.1從理论研究来看，主题设计具有重要的教育价值
学术界有一些以大观念、核心概念为题名的研究，这和上述主线、主题的思想是一致的.以大观念（big idea）为例，它是指在某一学科中居于重要地位，对学科其他内容更具统摄力、关联性、聚焦性的概念.研究表明，专业领域的知识结构主要是围绕核心概念或“大观点”组织的、用图式表征的大块知识单元构成，它们在解决复杂问题和促成迁移方面起了重要作用[3].大观念的益处是：“大概念（大观念）应当能够贯穿于整个数学课程，应当是最重要、最核心、最具统整性的数学;应当和其他知识点具有充分的联系;应当体现出数学的本质特点;应当为后续更高层次的学习提供必要的基础”[1].国外的相关研究也揭示，强调具有基础性、本质性、联系性和应用性等特点的核心概念（知识），能够突出对数学本质的理解[4].
4.2从课程教材角度来看，主题设计是一种课程统整
“在课程统整中，计划始于一中心主题，然后借由确认与此一主题或活动相关的大观念或概念，展开课程的计划”[5].从本质来看，大观念、数学主线是对当下多元化课程离散式分裂的一种回归式期盼，也是对数学学科知识发展统一性理解的一种强调式整合.历史上最为典型并且影响至今的“大观点”，莫过于F·克莱因倡导的“以函数为纲”了.除此以外，比较有影响的观点还有：尤金斯认为存在有“整数—有理数—实数—复数和向量”等9条中学数学课程主线[6]，王尚志等提出的数学课程有函数、几何、运算、算法、统计概率与数学应用这样6条主线[7]，等等.这对课程设计和教材编写的启迪是，需要高度重视数学知识内部的联系，努力寻求数学知识本身的节点，将这些节点凸显出来，作为链接知识的纽带和线索，使得核心知识在知识组织的前后贯通方面，起到承前启后、循环上升的目的.数学课程大主线就如同高速公路和航空线路，而小主线就如同省级公路和县乡小道.如果在编写教材时，大主线纵横捭阖，小主线犬牙交错，那么最后教材就会形成一个泾渭分明而又铆合有力的丰富网络，从而保证数学学习在循环上升中不断累积提升.在呈现教材时，对于不同的学科分支知识，不应该条块分割“老死不相往来”，而应该随时随地加强联系和呼应，避免知识学习孤立化和碎片化.
4.3从数学教学上来看，主题设计会存在诸多困难教师的确应该从整体和宏观上进行课程和教材理解，跳出微观视野进行教学设计实践，引导学生打通前后知识，揭示数学思想，提升核心素养.同时我们也应认识到，虽然主题、主线的理念能够体现数学学科的某些特点并且具有较好的教育价值，但是受制于素养发展的长期性、曲折性，评价与测量的艰难性，教师教学驾驭的复杂性，以及主线涉及内容的分散性，教学落实将会存在诸多问题，遭遇不少挑战.
4.4从主题分类来看，主题设计应该包含数学观念渗透如果说主题有知识、方法和素养层面的区分的话[1]，那么我们认为还缺少一个主题，那就是数学观念层面.从主题课程和教学设计的立场来看，这会改变学生和教师的数学观，也就是说，主题和主线思想体现和反映出来不同的数学观——知识是不断发展的，前后联系的，经验与拟经验的，甚至是可误的，层层铺垫和循环上升的，等等.这些在课程和教学中的恰当地方，都应该有所渗透和揭示.
参考文献
[1]史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：175;53;256.
[2]高存明.普通高中数学课程标准实验教科书 高中数学（人教B版必修1～选修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2010.
[3]钟启泉.课程论[M].北京：教育科学出版社，2011：197.
[4]Anon.An Overview of Materials Adaptations（Vo1.1）[R]//E.J.Kameenui & D.C.Simmons.Toward Successful Inclusion of Students with Disabilities：The Architecture of Instruction.Reston，VA：Council for Exceptional Children，1999.
[5]James A. Beane.课程统整[M].单文经等译.上海：华东师范大学出版社，2003：15.
[6]鲁小莉.中学数学课程发展的九条主线[J].数学教学，2010（9）.
[7]王尚志，张思明.走进高中数学新课程[M].上海：华东师范大学出版社，2008：12.
