平板车最大拐弯长度问题的解决及推广
王伟民
【摘 要】 ?分析过直角角平分线上确定点的所有直线中，被直角边截得的线段最短的直线应满足的条件，以此为依据解决一个平板车过等宽直角通道的实际问题，并将解决问题的方法推广到一般情形——用求导方法，确定过直角内部任意确定点的所有直线中，被直角边截得的线段最短的直线满足的条件，并举例说明这一结论的应用.
【关键词】 ?直角通道;角平分线;导数;驻点;线段最短
例1 （2016年·瑶海区期末）如图1所示，要使宽2米的矩形平板车通过宽为22 米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（? ）.
这是早前某数学群内一位老师给出的问题.当时，这位老师连同该题目的参考答案也一并给了出来——当矩形平板车的长所在的直线与通道边所在直线的夹角为45°，即平板车的外边跟外面的通道围成一个等腰直角三角形时，平板车里面的边距离通道内拐角最近，当该距离为0，平板车外面的两个角的顶点刚好在直角通道外边时，板车的长度最大，利用几何知识可求得平板车的最大长度为4米，故本题的正确选项是C.
给出该题目的老师不是说对参考答案有疑问，而是对参考答案中“平板车的外边跟外面的通道围成一个等腰直角三角形时，平板车里面的边距离通道内拐角最近”的论断不理解，不清楚这一论断的推理依据，而参考答案也没有给出这一论断的论证过程.
由于矩形的两组对边分别平行，所以，当内拐角距离平板车里面的边最近时，它到平板车外面边的距离也最近，因此，例1的这个“平板车过直角通道车长最大值确定”的实际问题，就“演变”成为下面的数学问题——过直角角平分线上一个确定点的所有直线中，哪一条被直角的两边截得的线段长度最短.
可以证明，过直角角平分线上确定点的所有直线中，与直角边的夹角为45°的直线，被两条直角边截得的线段长度最短.如图2所示，P是直角∠AOB平分线上的一个确定点，AB、CD是过P的两条直线，其中AB与直角∠AOB两边的夹角为45°，CD是任意一条直线，我们只需证明AB
则∠1=45°+ 1 2 α，∠2=45°- 1 2 α.
易证：DE>EB>FC>AF.
所以PD-PE>PA-PF.
所以PD+PF>PA+PE，即PD+PC>PA+PB.
所以AB<CD.
即过直角角平分线上一确定点的所有直线中，与直角边的夹角为45°的直线，被两直角边截得的线段长度最短.所以，例题1给出的问题中，大小和形状确定的矩形平板车，当车的长边与通道夹角为45°时，可以保证车的里边距离内拐角最远.据此，我们可以计算出满足条件的平板车的最长长度为4米（具体解题过程略）
那么，如果题目给出的不是等宽的直角通道，问题的解法还是一样的吗？
例2 如图4所示，要使宽是 4 10? 5 米的矩形平板车通过宽度分为2 2 米和16 2 米的的直角通道，则平板车的长最多为多少米？
显然，为解决这一实际问题，我们必须探究过直角内部的任意确定点的所有直线中，被直角两边截取线段长度最短的条件.
如图5所示，P（m，n）是坐标平面第一象限内的任意一点，过P作任意直线AB，与x轴和y轴分别交于A、B两点，设AB与x轴负方向所夹的锐角为θ，并设直线AB的方程为y=-xtanθ+b，将x=m，y=n代入，求得b=n+mtanθ，所以，直线AB的解析式为y=-xtanθ+n+mtanθ.
所以x=0时，y=n+mtanθ;y=0时，x= n+mtanθ tanθ .
所以AB2=x2+y2
= （ n+mtanθ tanθ ）2+ （n+mtanθ）2
= （n+mtanθ）2 （1+ cot2θ）
= （ n+mtanθ sinθ ）2.
對θ求导得
（AB2）′=
2 n+mtanθ sinθ · m sec2θsinθ-（n+mtanθ）cosθ ?sin2θ
= 2（n+mtanθ）（m sec2θsinθ-ncosθ-msinθ） ?sin3θ
= 2（n+mtanθ）（m tan2θsinθ-ncosθ） ?sin3θ ，
令导数为0，确定驻点.
因为θ为锐角时，2（n+mtanθ）≠0，
所以m tan2θsinθ-ncosθ=0.
所以 tan3θ= n m .
所以θ=arctan 3? n m? .
实际上，当m=n时，θ=arctan 3? n m? =arctan1= 45°，这正是例题1中最后推理出的“过直角角平分线上确定点的直线中，被直角边截得线段最短的直线”应满足的条件.我们运用这一结论对例题2进行求解.
解析 如图6所示，设车长AD的长度最大，
A、D两点紧贴通道外墙且BC边离通道内拐角P最近时，
∠FDC=∠AEB=∠DAO=θ.
由以上分析知tanθ= 3? 2 2? 16 2?? = 1 2 ，
所以GE=2GP=4 2 ，
所以OE=OG+GE=20 2 ，
所以OF= 1 2 OE=10 2 .
因为DF= DC cosθ =? 4 10 ?5?? 2 5? 5? =2 2 ，
所以OD=OF-DF=8 2 ，
所以AD= OD sinθ = 8 2??? 5? 5? =8 10 .
答：平板车的长最多为8 10 米.
【摘 要】 ?分析过直角角平分线上确定点的所有直线中，被直角边截得的线段最短的直线应满足的条件，以此为依据解决一个平板车过等宽直角通道的实际问题，并将解决问题的方法推广到一般情形——用求导方法，确定过直角内部任意确定点的所有直线中，被直角边截得的线段最短的直线满足的条件，并举例说明这一结论的应用.
【关键词】 ?直角通道;角平分线;导数;驻点;线段最短
例1 （2016年·瑶海区期末）如图1所示，要使宽2米的矩形平板车通过宽为22 米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（? ）.
这是早前某数学群内一位老师给出的问题.当时，这位老师连同该题目的参考答案也一并给了出来——当矩形平板车的长所在的直线与通道边所在直线的夹角为45°，即平板车的外边跟外面的通道围成一个等腰直角三角形时，平板车里面的边距离通道内拐角最近，当该距离为0，平板车外面的两个角的顶点刚好在直角通道外边时，板车的长度最大，利用几何知识可求得平板车的最大长度为4米，故本题的正确选项是C.
给出该题目的老师不是说对参考答案有疑问，而是对参考答案中“平板车的外边跟外面的通道围成一个等腰直角三角形时，平板车里面的边距离通道内拐角最近”的论断不理解，不清楚这一论断的推理依据，而参考答案也没有给出这一论断的论证过程.
由于矩形的两组对边分别平行，所以，当内拐角距离平板车里面的边最近时，它到平板车外面边的距离也最近，因此，例1的这个“平板车过直角通道车长最大值确定”的实际问题，就“演变”成为下面的数学问题——过直角角平分线上一个确定点的所有直线中，哪一条被直角的两边截得的线段长度最短.
可以证明，过直角角平分线上确定点的所有直线中，与直角边的夹角为45°的直线，被两条直角边截得的线段长度最短.如图2所示，P是直角∠AOB平分线上的一个确定点，AB、CD是过P的两条直线，其中AB与直角∠AOB两边的夹角为45°，CD是任意一条直线，我们只需证明AB
则∠1=45°+ 1 2 α，∠2=45°- 1 2 α.
易证：DE>EB>FC>AF.
所以PD-PE>PA-PF.
所以PD+PF>PA+PE，即PD+PC>PA+PB.
所以AB<CD.
即过直角角平分线上一确定点的所有直线中，与直角边的夹角为45°的直线，被两直角边截得的线段长度最短.所以，例题1给出的问题中，大小和形状确定的矩形平板车，当车的长边与通道夹角为45°时，可以保证车的里边距离内拐角最远.据此，我们可以计算出满足条件的平板车的最长长度为4米（具体解题过程略）
那么，如果题目给出的不是等宽的直角通道，问题的解法还是一样的吗？
例2 如图4所示，要使宽是 4 10? 5 米的矩形平板车通过宽度分为2 2 米和16 2 米的的直角通道，则平板车的长最多为多少米？
显然，为解决这一实际问题，我们必须探究过直角内部的任意确定点的所有直线中，被直角两边截取线段长度最短的条件.
如图5所示，P（m，n）是坐标平面第一象限内的任意一点，过P作任意直线AB，与x轴和y轴分别交于A、B两点，设AB与x轴负方向所夹的锐角为θ，并设直线AB的方程为y=-xtanθ+b，将x=m，y=n代入，求得b=n+mtanθ，所以，直线AB的解析式为y=-xtanθ+n+mtanθ.
所以x=0时，y=n+mtanθ;y=0时，x= n+mtanθ tanθ .
所以AB2=x2+y2
= （ n+mtanθ tanθ ）2+ （n+mtanθ）2
= （n+mtanθ）2 （1+ cot2θ）
= （ n+mtanθ sinθ ）2.
對θ求导得
（AB2）′=
2 n+mtanθ sinθ · m sec2θsinθ-（n+mtanθ）cosθ ?sin2θ
= 2（n+mtanθ）（m sec2θsinθ-ncosθ-msinθ） ?sin3θ
= 2（n+mtanθ）（m tan2θsinθ-ncosθ） ?sin3θ ，
令导数为0，确定驻点.
因为θ为锐角时，2（n+mtanθ）≠0，
所以m tan2θsinθ-ncosθ=0.
所以 tan3θ= n m .
所以θ=arctan 3? n m? .
实际上，当m=n时，θ=arctan 3? n m? =arctan1= 45°，这正是例题1中最后推理出的“过直角角平分线上确定点的直线中，被直角边截得线段最短的直线”应满足的条件.我们运用这一结论对例题2进行求解.
解析 如图6所示，设车长AD的长度最大，
A、D两点紧贴通道外墙且BC边离通道内拐角P最近时，
∠FDC=∠AEB=∠DAO=θ.
由以上分析知tanθ= 3? 2 2? 16 2?? = 1 2 ，
所以GE=2GP=4 2 ，
所以OE=OG+GE=20 2 ，
所以OF= 1 2 OE=10 2 .
因为DF= DC cosθ =? 4 10 ?5?? 2 5? 5? =2 2 ，
所以OD=OF-DF=8 2 ，
所以AD= OD sinθ = 8 2??? 5? 5? =8 10 .
答：平板车的长最多为8 10 米.
