高中数学试题命制常见问题的诊断分析与命题启示

【摘 要】 ?研究发现高中数学试题命制存在试题内容不科学、试题目标异化、试题参考答案错误、选考题等分不等值等不可小觑的问题和明显的缺陷.数学命题是一项挑战性的任务，要命制出一份好的试卷，首先要考虑命题的基本原则，其次要掌握一些常用的命题手法，最后要树立新的质量关.
【关键词】 ?试题命制;诊断分析;命题启示
1 问题提出
数学试题命制是诊断学习者数学学习的效果、质量水平，并以数量化的指标——分数作为学业成绩来定量地反映数学学习状况的过程.数学试题命制对数学教学质量的提高有着至关重要的作用.要获得比较科学、准确的结果，考试题目的质量是核心要素 [1].笔者研究发现一些高中数学试题在命制过程中还存在着许多不可小觑的问题和明显的缺陷，如试题内容不科学、试题考查目标异化、试题参考答案错误、选做题等分不等值等.笔者通过对近期各种考试和复习资料中出现的诸多问题进行深入剖析，与大家交流，以供广大数学试题命制者参考借鉴.
2 命题常见问题的诊断分析
2.1 试题内容不科学
数学命题是一项有挑战性的任务，为了保证试卷的效度，所命的题必须具有科学性 [2]，科学性主要是指站在数学的角度正确无误 [1].科学性原则是试题命制必须遵循的根本性原则，否则，命制出来的数学试题不仅信度和效度都不能很好地实现，起不到训练、诊断、选拔、甄别的功能，而且还会误导学生，贻害无穷.数学命题内容不科学主要有以下几种 情形.
2.1.1 试题条件不相容
试题的部分题设条件相互矛盾，导致试题不能求解.以下是2018年某知名学校调研卷检测题：
例1 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若向量m=（b-2c，cosB），n=（-a，cosA），且m∥n.
（1）求角A的大小;
（2）已知△ABC的外接圆半径R= 2 3? 3 ，△ABC的面积为 5 3? 4 ，求△ABC的周长.参考答案如下：
（1）A= π 3 ;（过程略）
（2）根据题意得a=2RsinA= 4 3? 3 ×? 3? 2 =2，
因为S△ABC= 1 2 bcsinA=? 3? 4 bc= 5 3? 4 ，所以bc=5.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA= （b+c）2-3bc，
所以b+c= 19 ，
所以a+b+c=2+ 19 ，所以△ABC的周长为2+ 19 .
诊断分析 此题第（2）问的解答看似“一气呵成”，没有丝毫破绽，但若仔细“推敲”，是不难发现其中存在的问题的.因为b，c均为正数，由 （b+c）2≥4bc可得19>20，这显然不成立，即满足b+c= 19 ，bc=5的正数b，c是不存在的，这表明试题的条件不相容，不存在满足题设条件的△ABC.
2.1.2 试题条件多余
有的数学试题在解答时不需要用到其中的部分条件，这就使得试题条件繁冗，违背了命题的简洁性原则.
例2 在△ABC中，内角A、B、C的對边分别为a、b、c，且bcosC，ccosB是关于x的一元二次方程x2-（2acosC）x+ccosB·bcosC=0的两根.
（1）求角C的大小;
（2）若△ABC的外接圆半径R= 2 3? 3 ，求证： c a+b+c ≥ 1 3 .
参考答案如下：
（1）根据题意，得ccosB+bcosC=2acosC.
由正弦定理，得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
所以sin（B+C）=2sinAcosC，即sinA=2sinAcosC.
因为在△ABC中，sinA≠0，所以cosC= 1 2 .
又因为0<C<π，所以C= π 3 .
（2）由（1）得c=2RsinC=2，
所以c2=4=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab= （a+b）2-3ab≥ 1 4 ?（a+b）2，
即a+b≤4，当且仅当a=b时取等号.
所以 c a+b+c ≥ 1 3 .
事实上，此题的第（2）问也可以这样证明：
要证明 c a+b+c ≥ 1 3 ，只需证明 a+b+c c ≤3，即a+b≤2c，
由正弦定理，只需证明sinA+sinB≤2sinC= 3 .
由（1）知，A+B= 2π 3 ，0<A< 2π 3 ，
所以sinA+sinB=sinA+sin（A+ π 3 ）= 3 2 sinA+? 3? 2 cosA= 3 sin（A+ π 6 ）≤ 3 .
当且仅当A= π 3 时等号成立.
所以 c a+b+c ≥ 1 3 .
诊断分析 从参考答案来看，命题者在命题时对重要定理（即正弦定理）的应用以及挖空心思想要考查学生利用均值不等式解决问题的意图表露无疑，但结果是不用均值不等式也能解决问题，导致题设条件“△ABC的外接圆半径R= 2 3? 3 ”是多余的.
2.1.3 试题没有正确答案
下面是一道“经典”的高考错题：
例3 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（? ）.
A.2? B.3? C.4? D.5
参考答案如下：
依题意可知f（x）=f（x+3），故f（2）=f（5）.
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x）.
所以f（-2）=-f（2）=0，所以f（-2）=f（1）=f（4）=0.
又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，所以f（3）=f（0）=0.
所以f（x）=0在（0，6）内解的个数的最小值为5.
诊断分析 以上是根据试题所给选项作出的分析，实际上本题没有正确选项.这是因为：
由f（x）的周期性可知f（-1.5）=f（-1.5+3）=f（1.5），
又由f（x）是奇函数可得f（-1.5）=-f（1.5），
所以f（1.5）=0，所以f（4.5）=0，
故在（0，6）内f（x）=0的解的个数的最小值 为7.
事实上，此题无正确答案的原因在于命题者思考不全面，忽略了“若函数f（x）是定义在R上以T为周期的奇函数，则f（ T 2 ）=0”这一重要结论所致.
2.1.4 單项选择题答案不唯一
数学单项选择题一般的要求是“在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的”.但有的单项选择题，在给出的四个选项中，不只一项符合题意.下面是2018年某市高三质量检测题：
例4 设函数f（x）=lnx-mx2+2nx（m∈R，n>0），若对任意的x>0，都有f（x）≤f（1），则（? ）.
A.lnn<8m? B.lnn≤8m? C.lnn>8m? D.lnn≥8m
参考答案如下：
因为f（x）=lnx-mx2+2nx，所以f′（x）= 1 x -2mx+2n.因为对任意的x>0，都有f（x）≤f（1），所以当x∈（0，+SymboleB@）时，f（x）的最大值为f（1），因为f′（x）在（0，+SymboleB@）上连续，所以f′（1）=0，即1-2m+2n=0，即2m=2n+1.
由于n>0，所以lnn≤n-1<8n+4= 4（2n+1）=8m，即lnn<8m.选A.
诊断分析 在此题中，若选项A正确，可知选项B也正确，正如“4>3”与“4≥3”都是正确的一样，命题者设置的选项与试题要求——“所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的”不吻合.
2.2 试题目标异化
试题的命制是一个与解题截然不同的过程，后者是一个利用所学知识分析问题、解决问题的过程，而前者往往是为了考查学生某些知识、方法和能力而反过来编制问题的过程，这一过程带有很强的目的性，因而也就容易形成思维定势，稍有不慎，就会出现目标异化的情形 [2].如下面这道2018年某知名学校调研卷检测题：
例5 2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.[TP林运来-2.tif，Y]
方案1 顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如右图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额（单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.
方案2 顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如右图），转盘停止转动时若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.
（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择方案1，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率;
（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望;
②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种方案更合算？
参考答案如下：
（1）略;
（2）①若选择抽奖方案1，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为 1 3 ，每一次转盘指向20元对应区域的概率为 2 3 .设获得现金奖励金额为X元，则X可能的取值为60、100、140、180.
则P（X=60）=C0 3 （ 2 3 ）3= 8 27 ;
P（X=100）=C1 3（ 1 3 ） （ 2 3 ）2= 4 9 ;
P（X=140）=C2 3 （ 1 3 ）2（ 2 3 ）= 2 9 ;
P（X=180）=C3 3 （ 1 3 ）3= 1 27 .
所以选择抽奖方案1，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为
E（X）=60× 8 27 +100× 4 9 +140× 2 9 +180× 1 27 =100（元）.
若选择抽奖方案2，设三次转盘转动的过程中，指针指向白色区域的次数为Y，最终获得现金奖励金额为Z元，则Y～B（3， 1 3 ），故E（Y）=3× 1 3 =1.
所以选择抽奖方案2，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为
E（Z）=E（40Y）=40（元）.
②由①知E（X）>E（Z），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
诊断分析 对于第（2）问，虽然问题①要求计算两种方案获奖的数学期望，但若只看问题②，若顾客获得相同的抽奖次数，在转动圆形转盘后，转盘停止转动时，若指针指向阴影部分，按方案1则可获得20元现金优惠，方案2未中奖，此时方案1合算;若指针指向白色区域，按方案1则获得60元现金优惠，优于方案2的40元，所以即使是一个没有学过相关概率知识的人，不用计算都知道选择方案1更合算.所以此题存在明显的缺陷，导致考查的能力目标异化.2.3 试题参考答案错误
下面是某名校2017屆高三联考题：
例6 定义：若存在实数x 1∈[-2，-1]、x 2∈[a，32]，使2 -x 1= log 2x 2成立，则称a为指对实数.那么在a∈[-20，20]上成为指对实数的概率为（? ）.
参考答案如下：
因为x 1∈[-2，-1]，所以2 -x 1∈[2，4].
因为x 2∈[a，32]，所以 log 2x 2∈[ log 2a，5].
要使a成为指对实数，只需 log 2a≤4，所以0<a≤16，
所求概率为P= 16-0 20-（-20） = 2 5 .
诊断分析 命题者给出的参考答案是错误的，错误的原因在于解答时，由x 2∈[a，32]以及 log 2x 2有意义，“默认了”a>0这一错误结论.事实上，由题意，要使a成为指对实数，只需 log 2a≤4，即-20≤a≤16，所求概率为P= 16-（-20） 20-（-20） = 9 10 .2.4 选考题等分不等值
选考题的等值性是考试公平性的一项重要保障.从2017年高考全国卷开始，数学选考题要求考生在22题（选修4-4：坐标系与参数方程）与23题（选修4-5：不等式选讲）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在各地的模拟试题中，选做题在难度、得分率等方面往往存在不等值的现象.下面是2018年某市高三质检卷的选考题：
例7 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 x=1+2cosα，y=2sinα， （α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ π 4 ）= 2 .
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程;
（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求 PA · PB .
例8 已知函数f（x）= 2x-1 +2 x+2 .
（1）求函数f（x）的最小值;
（2）解不等式f（x）<8.
诊断分析 从全市实测结果来看，上述两题的难度系数分别为0.36、0.55，平均分分别为3.6、5.5.选考题的难度系数与平均分存在差异的原因是复杂而多面的，如数学选修模块的选修情况与教学情况、学生答题选择的抉择与临场发挥情况等.但不可否认的是，上述两道选考题的第一问计分均为5分，从计算过程来看，例8中第（1）问只需用“三角不等式”进行简单放缩就能得出正确结果，运算的复杂性和长度远比例7中第（1）问小得多，这也是造成上述差异的一个主要原因.
3 ?怎样才能命制出一份好的试卷
首先要考虑命题的基本原则（有研究者提出命题的基本原则是五性 [1]：思想性，科学性，公平性，时代性，创新性）、整份试题的知识覆盖面以及试题的梯度、区分度与难度等;
其次要掌握一些常用的命题手法，如改编原题的一些技巧 [3]：运用互换条件与结论、发散结论改变设问方式、增加条件提升试题的层次性、利用好矩阵这一工具等;
最后也是最重要的一点，教师要树立新的质量关，认识到命题工作的重要性，命制的试题要将知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成有机结合，通过考试评价引导教学更加关注育人目的，促进教、学、考有机衔接，形成育人合力 [4].
总之，命题的实践、思考和研究的过程就是明确考试方向、把握课程体系、领悟课程标准、了解核心素养、理解数学文化的过程，长期坚持下去，对数学教师的专业化发展会产生巨大的推动作用 [1].一份好的数学试卷应具有一定的科学性、创新性、目的性和适度性.命题本身就是一种研究，就是一种创造，正如华罗庚教授所说的“命题比做题更难，题目要出得妙，出得好，要测得出水平.”我们需要坚守对教育的信仰，做一名真正的命题研究者和实践者.
参考文献
[1] 李昭平.对数学命题的几点思考[J].数学通讯（下），2018（4）：53-55.
[2] 张晓东.谈试题命制中的目标异化[J].中学数学杂志，2016（9）：16-19.
[3] 尤裕，严鹏.高中数学试题命制的实践与体会[J].中学数学月刊，2017（3）：54-56.
[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.