一个中点基本图形的提炼与应用

2023.03.10

姜黄飞沈顺良

1 经典试题呈现图1

如图1，四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，FE的延长线和BA，CD的延长线分别交于G，H.若AB=CD，求证：∠1=∠2

简解如图1，连接AC，取AC中点P，连接EP，FP，因为E，F分别是AD，BC的中点，所以EP，FP分别是△ADC，△ABC的中位线，所以PE

12CD，PF

12AB，所以∠2=∠4，∠1=∠3，又AB=CD，所以PE=PF，所以∠3=∠4，所以∠1=∠2

评析遇中点，在三角形中倍长中线和构造中位线是常见的解题切入口，本题已知四边形一组对边的两个中点，通过连接四边形ABCD的对角线AC（连接BD效果相同），转化为两个三角形，再取AC中点，构造中位线，从而实现将已知边AB，CD和角∠1，∠2转化聚拢到△EFP中进行研究，这是解决有关中点问题的有效策略.2 基本图形提炼图2 图3图4 图5

中点基本图形：如图2，四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF，若已知一组对边AB，CD的关系，如图3，连接AC，取AC中点，连接EP，FP，得到△EFP（不妨称其为四边形的“中点三角形”），则有PE

12CD，PF

12AB，∠EPF的度数是AB与CD的夹角（或其补角）的度数，这样就把已知分散的AB，CD以及它们夹角的关系放到“中点三角形”△EFP中，转化为解“中点三角形”的问题，特别的，当AB=CD时，“中点三角形”△EFP为等腰三角形（注：改变AB，CD的位置变为凹四边形如图4，或是AB，CD相交时如图5，可同法构造）.

3 基本图形应用3.1 在固定图形中求线段的长图6

例1 如图6，四边形ABCD中，∠B+∠C=120°，AB=10，CD=6，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长

简解如图6，连接BD，取BD中点P，连接PE，PF，则PF

12CD=3，PE

12AB=5，延长EP交BC于点H，则∠PHF=∠ABC，∠PFH=∠C，所以∠EPF=∠PHF+∠PFH=∠ABC+∠C=120°，所以∠FPH=60°，过F作FG⊥EH与点G，则在△PFG中，PG=12PF=32，FG=323，所以EG=132，所以EF=EG2+FG2=1322+3322=7

評析此题为中点基本图形的直接应用，通过构造“中点三角形”△PEF，将分散的条件AB，CD以及它们的夹角关系转移到△PEF中，解△PEF即可，此题若改变数据，如改为AB=CD=2，则此时△PEF是一个顶角120°的等腰三角形，易得EF=3，也可改变角度的和如90°，135°，150°等初中可解的角度，从而对试题进行变式改编

例1 如图6，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD与点G，F，若M，N分别是DG，CE的中点，求MN的长

简解如图6，连接CG，取CG中点P，连接PM，PN，则PN

12EG，PM

12CD=3，又可知EG=BE=4，所以PN=2，又由题意可知EF⊥CD，所以NP⊥MP，所以MN=22+32=13图6 图7

评析此题暗藏中点基本图形，如图7，将基本图形从原图中分离出来，不难发现，仍然可以通过连接对角线CG（也可以是DE，效果相同），取中点构造一个新的三角形求解.3.2 求解线段的位置和数量关系

例2 如图8，在△ABC中，AB=AC，E，F在AB边上，G，H在AC边上，EF=GH，M，N分别是EG，FH的中点，连接MN，判断MN与BC的位置关系，并说明理由

简解如图8，连接FG，取FG中点D，连接DM，DN，则DM

12EF，DN

12GH，因为EF=GH，所以DM=DN，过点D作PT⊥MN，交AC于点T，交AB于点P，则∠MDT=∠NDT，又由DM∥EF，DN∥GH得∠NDT=∠ATP，∠MDT=∠APT，所以∠ATP=∠APT，所以可得PT∥BC，所以MN⊥BC图8 图9

评析本题也是典型的中点基本图形的应用，是对“当对边相等时，得到的中点三角形是等腰三角形”这个结论的进一步挖掘，相等对边中点连线的中垂线与另一组对边所在直线围成的三角形是等腰三角形.如图9，当交换一组点的位置时，EG，FH中点的连线MN∥BC，这是基本图形的一种变式，解决的方法策略不变，连接GF，取中点P，此时的中点三角形△PMN是等腰三角形，读者可以根据笔者的图示完成证明，这里不再赘述.图11

例4 如图11，以△ABC的两边AC，BC分别向AB边的同侧作等边△ACF和等边△BCE，连接FE，点M，N分别是AB，CE的中点，连接MN，求证：FE=2MN

简解如图11，当∠ACB≠60°时，取BC中点D，连接DM，DN，则DM

12AC，DN

12BE，又△ACF和△BCE都是等边三角形，所以DM=12FC，DN=12CE，又DM∥AC，DN∥BE，所以∠MDB=∠ACB，∠NDB=120°，所以∠ECF=∠NDM，所以△ECF∽△NDM，所以FE=2MN;当∠ACB=60°时，E，C，F共线，N，D，M共线，FE=2MN显然成立

评析此题同样存在中点基本图形，只是对角线BC已经存在，只需取BC中点即可，这里构造的中点三角形，通过等边三角形相等边的转化，得到与中点三角形相似的三角形，从而得到对应线段的数量关系.3.3 求解角的度数

例3 在△ABC中，∠ABC=50°，D为射线AB上一点（点D与点B不重合），E为边BC上一点，且AD=CE，连接DE，F，G分别为DE，AC的中点，射线GF交边BC于点H，则∠FHE的度数为图10 图11

简解（1）当D在边AB上时，如图10，连接AE，取AE中点P，连接PG，PF，则PG

12EC，PF

12AD，所以∠GPE=∠AEB，∠FPE=∠BAE，又∠ABC=50°，所以∠FPG=∠GPE+∠FPE=∠AEB+∠BAE=130°，因为AD=CE，所以PG=PF，所以∠PFG=∠PGF=25°，所以∠FHE=∠PGF=25°;

（2）当D在边AB的延长线上时，①如图11，当点H在E的左边时，∠FHE=155°;②如图12，当点H在E的右边时，∠FHE=25°.这里的说理不再赘述

综上，∠FHE的度数为25°或155°图12

评析由于题目没给出图形，D为射线AB上一点，所以点D可以在边AB上，也可以在边AB的延长线上，需要分类讨论，而且点D在边AB的延长线上时，还需讨论点H和E的位置，所以较为复杂，但究其本质还是中点四边形基本图形的应用，这里的中点三角形是等腰三角形，结合平行和已知角度，不难求解.3.4 在动态变换中求解定值或最值

例4 如图13，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面内移动，始终保持EF∥AB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN=

简解如图13，连接CG，取CG中点P，连接PM，PN，则PM

12FG=1，PN∥CD∥HG，PN=12（HG+CD）=4，又∠MPC=∠FGC，∠NPC=∠HGC，所以∠MPN=∠FGH=90°，所以在Rt△MPN中，MN=12+42=17图13 图14

评析此题若连接FH，则可以分离出中点基本图形，如图14，此题按中点三角形的基本图形可以连接CH（或DF），取CH（或DF）的中点，构造一个夹135°的钝角三角形，解这个三角形可求解MN.这里笔者选取连接CG，取CG的中点，构造中点三角形△MPN，此中点三角形是一个直角三角形更易求解，任意改变正方形EFGH的位置，中点三角形△MPN始终存在，动中有定，MN为定值图15

例5 如图15，正方形ABCD与正方形CEFG，绕着点C进行旋转，点M点N分别是AF，BE的中点，若AB=4，CE=2，求MN的最大值和最小值

简解如图15，连接AE，取AE中点P，连接PM，PN，则PM=12EF=1，PN=12AB=2，所以2-1≤MN≤2+1，所以1≤MN≤3，所以在两个正方形旋转过程中，当M，P，N三点共线时，MN取大最大值为3和最小值1

评析此题两个正方形在绕着点C旋转，对边AB，EF的夹角是变化的角，对应中点三角形的∠MPN是不确定的角，所以MN的长也随着旋转而改变，当旋转到点P在线段MN上时取到最大值，当点P在NM的延长线上时取到最小值.此类试题因角度的不确定，从而将中点基本图形引入最值問题

综上，在图形教学中要重视基本图形，会从复杂图形中分解出基本图形，对基本图形进行分析、抽象、提炼与变式，从而找到解题的入口，提高解题的效率.以上就是笔者从一道经典试题出发，提炼出中点基本图形及其变式图形，构造中点三角形，从而挖掘得到基本图形的相关性质，对解此类试题指明了方向，起到以题会类的效果.

参考文献

[1]姜黄飞.构造基本图形解法自然生成[J].中学数学教学参考，2016（C2）：68-69.

[2]姜黄飞.心中有模型解法自然来[J].数理化学习（初中版），2016（07）：39-42

作者简介姜黄飞（1975—），男，中学高级教师，主要从事数学教育和试题研究.发表论文多篇，嘉兴市数学学科名师，浙江省褚水林名师工作室学科带头人，参加市中考命题和承担期末统考命题.