一类抛物线与多直线相交的中考压轴题解法
张佑胜 舒新咏 翁先兰
纵观近十年来全国各地中考数学压轴题，大多数是以抛物线为背景的综合性问题.这类问题，综合性强，解法灵活，是对学生分析问题和解决问题能力的综合考查，具有较好的区分度和选拔功能.因此，很多考生不知所措，望而却步！本文选取近年来几例武汉市中考或调考数学压轴题，探讨一类抛物线与多直线相交问题的解题通法与教学启示
先看几个问题：
问题1 （2019武汉中考压轴题第（3）问）如图1，△MNE的顶点M，N在抛物线y=x2上，点M在N右边，两条直线ME，NE与抛物线y=x2均有唯一公共点，ME，NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系
图1 图2 图3
问题2 （2016武汉中考压轴题第（3）问）如图2，抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方，直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点.当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？
问题3 （2011武汉中考压轴题第（3）问）如图3，将抛物线y=x2+4x+3平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？
问题4 （2019武汉元调压轴题第（3）问）如图4，抛物线y=x2+（1-m）x-m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C.过点E（m，2）作一直线交抛物线于P，Q两点，连接AP，AQ分别交y轴于M，N两点，求证：OM·ON是一个定值
问题5 （2015武汉四调压轴题第（3）问）如图5，点C为抛物线y=12x2-3x+92的顶点，直线y=kx（k>0）与抛物线相交于A，D兩点（点D在点A的下方），若B是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC=CM图4 图5
这些都是抛物线与多直线相交的压轴题，类似的，还有很多，不一一列出.为了有效的解决这类问题，先看如下基本命题
基本命题：直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为xA，xB，则直线l的解析式是y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB
略证：设直线l：y=mx+n，联立y=ax2+bx+c，y=mx+n，得ax2+（b-m）x+c-n=0，
所以xA+xB=m-ba，xA·xB=c-na，所以m=a（xA+xB）+b，n=c-axAxB，
所以直线l：y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB
推论 直线l与抛物线y=ax2+bx+c有唯一公共点A，点A的横坐标为xA，
则直线l的解析式是y=（2axA+b）x+c-ax2A
运用上述基本命题及推论，我们可以按照统一的思维方式，有效地解决上述一类抛物线与多直线相交的压轴题.现从问题1至问题5中选3个简解如下
问题1简解 作EH∥y轴交MN于H，由前面基本命题可得：
NE：y=2nx-n2，ME：y=2mx-m2，MN：y=（m+n）x-mn，
联立y=2nx-n2，y=2mx-m2，解得xE=m+n2，yE=mn，
所以S△MNE=12HE·（m-n）=12[（m+n）·m+n2-mn-mn]（m-n）=14（m-n）3=2，
所以m-n=2
问题2简解 由前面基本命题可得：
PA：y=[a（xA+xP）+c]x+c-axAxP，
PB：y=[a（xB+xP）+c]x+c-axBxP，
因为点A，B关于y轴对称，所以xA+xB=0，
所以OE+OF=（-c+axA·xP）+（-c+axB·xP）
=-2c+a（xA+xB）xP=-2c=2OC，
所以OE+OFOC=2
问题4简解 由x2+（1-m）x-m=0，得x1=-1，x2=m，
所以A（-1，0），
由前面基本命题可得：
PQ：y=（xP+xQ+1-m）x-m-xPxQ，
AQ：y=（-1+xQ+1-m]x-m+xQ，
AP：y=（-1+xP+1-m]x-m+xP，
因为点E（m，2）在直线PQ上，
所以2=（xP+xQ+1-m）m-m-xPxQ，
所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，
所以OM·ON=│-m+xP│·│-m+xQ│
=│m2-m（xP+xQ）+xPxQ│=2
点评
1.在上述解法中，都是选取抛物线与直线交点（公共点）的横坐标为参数，表达直线解析式y=kx+b中的k与b，进而表示出各条直线的解析式，顺利地解决相关问题.为了以后称呼的方便，不妨将这种解法冠名为“交点横坐标参数法”
2.由于选取抛物线与直线交点（公共点）的横坐标为参数，因此以最少的参数打通了多条直线间的联系和直线与抛物线间的联系，从而为解决问题带来便利.其优点是思维简单，有规可循，操作性强，众多个性化的直线与二次函数综合压轴题，在统一的思维与方法下，得到有效解决，可谓“多题一解”.弊端是式子稍显复杂
3.上述几个问题除了运用“交点横坐标参数法”外，每个问题都有自身独有的解法.但对于绝大多数学生而言，面对一个个独特的解题方法，犹如一盘散沙，不知所云，难以驾驭，再遇到类似的问题时依然是束手无策.运用“交点横坐标参数法”这一“通法”，对于“抛物线与多直线相交”的一类问题，都可以顺利解决.且看如下一例
问题6 抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，平移直线BC分别交抛物线图6于M，N两点（M在N的左侧），若抛物线上存在一定点P（P与M不重合），使得∠PMN-∠PNM=90°，求点P的坐标
简解 如图6，过P作PH⊥y轴于H，设PM交y轴于点D
∠PMN=135°-∠MDO，∠PNM=45°-∠NEO，
所以∠PMN-∠PNM=（135°-∠MDO）-（45°-∠NEO）=90°，
所以∠MDO=∠NEO，
所以EH=HD，所以yD+yE=2yP
由前面基本命题可得：
PN：y=（2-xp-xN）x+xPxN+3，
PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，
MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，
因為MN∥BC，
所以2-xM-xN=-1，所以xM+xN=3，
所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，
又2yP=2（-x2P+2xP+3），
所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，
所以点P（12，154）
点评
1.对于问题6，笔者曾请就读于985高校的几个往届学生来做，四人中只有一人解答出来了，可见本题杀伤力还是有点大.运用“交点横坐标参数法”能够较为顺利地解决，就在于这种方法选取的参数少，每个参数之间又易于建立关联
2.问题6除了运用上述“通法”外，至少还有两种特殊方法.第一种方法：在证明了等腰三角形PDE后，构造以PM和PN为斜边的两个直角三角形相似，进而建立点P，M，N坐标之间的等量关系，求出P点坐标.这种构造方法对于初中生来讲，难度就有点大，难以把握.第二种方法，运用高中知识，在证明了等腰三角形PDE后，得出直线PM和PN的斜率之和为零，建立等量关系求解
3.对于“抛物线与多直线相交”一类问题，运用“交点横坐标参数法”这一“通法”，
都可以顺利解决.下面不妨提供几个练习问题
问题7 抛物线y=-x2+1的顶点M在y轴上，与x轴交于A，B两点图7 图8
（1）如图7，若向上平移直线y=12x交抛物线于P，Q两点，直线BP，BQ分别交y轴于C，
D两点，求OC+OD的值
（2）如图8，直线y=-2x+b与抛物线交于P，Q两个不同的点，直线AP，AQ分别交y轴于C，D两点，求证：OC=OD.
问题8 如图9，已知A（-2，t）为抛物线y=14x2上一点，B（-2，3），P为点A左侧
抛物线上一动点，直线PA交直线y=-x-3于点M，直线PB交抛物线于点N，连接MN，求证：AB∥MN图9 图10 图11
问题9 已知直线y=kx-2k+3（k≠0）与抛物线y=a（x-2）2（a>0）相交于A，B两点（点A在点B的左侧）
（1）不论k取何值，直线y=kx-2k+3必经过定点P，直接写出点P的坐标;
（2）如图10，已知B，C两点关于抛物线y=a（x-2）2的对称轴对称.当a=12时，
求证：直线AC必经过一定点;
（3）如图11，抛物线y=a（x-2）2的顶点记为点D，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，与直线BD交于点F，求线段EF的长.
教学启示
1.数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用.所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学.也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程
2.已故著名数学家华罗庚曾说：要真正打好基础，有两个必经的过程，即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.“由薄到厚”是学习、接受的过程，“由厚到薄”是消化、提炼的过程.笔者认为，多题一解，使众多一大类问题，在统一简单的思维方式下便可获得解题思路，是让学习由厚变薄的重要途径与方法
3.用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”.经过这种多题一解的训练，可以收到举一反三、触类旁通的效果.同时，这种训练也可加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系
4.教学中，教师应通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知道怎么去思考和解决.面对一个问题，如果深入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少胜多，也就无需茫茫的题海了.这样既减负增效，又培养了学生的思维能力.
参考文献
华罗庚.学习和研究数学的一些体会[J].数学通报，2010，（9）：1-5
作者简介 张佑胜（1963—），男，湖北武汉人，正高，特级教师.研究方向：中考命题与数学教育舒新咏（1971-），男，湖北武汉人，本科，高级教师.研究方向：数学教育教学与命题.
