用“两边夹”解题的若干操作策略
王红权
“两边夹”原理本是高等数学中用来判定极限存在的准则，近年在数学竞赛和高考中时有应用，需要学生有敏锐的观察力和娴熟的代数变形技巧.从解题操作的视角看，应用“两边夹”原理有两种类型：①“若a≤x≤a，则x=a”，该类型结构简明，逻辑清晰，操作有序；②“已知a≤f（x）≤b，求参变量k的取值范围”.本文称第一种为“夹死”，即由不等式a≤x≤a，得到等式x=a，是解决“条件为不等式，结论为等式”问题的利器；本文称第二种为“夹缝”，不等式a≤f（x）≤b说明函数f（x）可以在“缝隙”[a，b]之间活动，所以参变量k能在一定的范围内取值，这类问题一般是“求k的取值范围”.本文通过典型例子，来说明利用“两边夹”方法解题的操作策略，由此提升学生“逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养”，同时提升“学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的能力.
1利用图象两边夹
不等式g1（x）≤f（x）≤g2（x），x∈[a，b]的几何意义是：在区间[a，b]上，函数f（x）的图象位于函数g1（x）和g2（x）的图象之间.若函数f（x）图象被函数g1（x）和g2（x）的图象“夹死”，则可以求出某些参数的值；若图象间留有“缝隙”，则可求出某些参量的取值范围.
图11.1用于求值
例1[1]已知函数f（x）=x2+ax+b-2，a，b∈R.若对任意x∈[1，3]，总有|f（x）|≤12成立，求a，b的值.
解析由|f（x）|≤12，得：-x2+32≤ax+b≤-x2+52.①
如图1，不等式①表示线段y=ax+b（x∈[1，3]）夹在函数y1=-x2+32和y2=-x2+52的图象之间.
计算发现，经过A，B两点的直线y=-4x+112与函数y1的图象相切.也就是说直线y=-4x+112是被函数y1和y2的图象“夹死”的唯一直线段，故a=-4，b=112.
文[1]作者通过平移图象，用数形结合的方法巧妙给出解答，平移后的整个图形稍欠简洁，本文利用函数图象构造两边“夹死”的方法，画出的图象简明、本质，解决问题的操作方法具有一般性和“可复制”性.用于解决不等式条件下的等式问题特别有效，可以迅速化解难题，对提升学生学习数学的信心有一定价值.
图2例2（2015年浙江省数学会夏令营测试题）若对任意θ∈R，恒有|asinθ-4sin3θ|≤1，求实数a的值.
解析设sinθ=x，x∈[-1，1]，则原不等式可变为：4x3-1≤ax≤4x3+1，x∈[-1，1].
设函数y1=4x3+1，y2=4x3-1，则线段y=ax（x∈[-1，1]）夹在函数y1和y2的图象之间，如图2所示.
计算知过点A（1，3），B（-1，-3）的直线方程为y=3x.
设直线y=kx与曲线y1=4x3+1相切于点C（x0，y0），则y0=kx0，
y0=4x30+1，
12x20=k，解得k=3，x0=12，y0=32.
根据对称性，直线y=3x与y2的图象相切于点D（-12，-32），所以直線y=3x是被曲线y1和y2的图象“夹死”的唯一直线，故a=3.
由此可得一个“神解”：令sinθ=1和12，得|a-4|≤1，
|a-1|≤2，即3≤a≤5，
-1≤a≤3，所以a=3.
命题人应该是以3倍角公式为背景，通过三角运算获得解决的.“神解”并没有什么教学价值，是解题后的娱乐.利用“两边夹”的方法则可化解学生没有学过3倍角公式的尴尬，也进一步说明用这种方法具有一般性，且不依赖于问题的本身.
1.2用于求参数的取值范围
例3（2014年浙江高考理科22）已知函数f（x）=x3+3|x-a|，（a∈R）.（Ⅱ）设b∈R，若[f （x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.
解析（Ⅱ）的背景也是“两边夹”，是用两条三次曲线夹一条折线.
由题意得：-2≤x3+3|x-a|+b≤2，
即-x3-2≤3|x-a|+b≤-x3+2，③
图3不等式③表示折线h（x）=3|x-a|+b夹在函数g1（x）=-x3-2与g2（x）=-x3+2的图象之间.如图3所示，当折线h（x）的顶点（a，b）位于点C时，直线y=3x-2经过点A（1，1）.当折线h（x）的顶点（a，b）位于点D时，容易证明点B恰好是直线y=-3x与曲线g2（x）=-x3+2的图象的切点.直线y=-3x与y=3x-2交于点E（13，-1）.
如图的阴影区域（曲边三角形CDE）是折线h（x）的顶点（a，b）的“可行域”，根据线性规划知识，易知目标函数3a+b的最大值为0，最小值为-2.所以3a+b的取值范围为[-2，0].
这类问题的典型特征是“被夹”的函数还能在某个“可行域”内“活动”，问题即可转化为求解目标函数在该“可行域”内的最优解.
这就化解了高考压轴题的难点，使得考题变得平实，变得更能为学生接受.更为重要的是该方法简单易学，容易被学生复制.
1.3用于求扩张区间的最大值
例4 （2016年金华十校联考）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f （x）≤10恒成立，求实数b的最大值.
解析由1≤f （x）≤10，得1-bx-x≤a≤10-bx-x，设y1=10-bx-x，y2=1-bx-x.易知当0
图4如图4，画出函数y1和y2的图象，直线y=a为一条平行于x轴的直线，与函数y1的图象交于点A.根据图4，当直线y=a与函数y2的图象相切时，区间[0，b]的长度达到最大，此时b也取到最大值.
函数y1在区间[0，b]上的最小值为10-bb-b，函数y2在区间[0，b]上的最大值为-2b-1.
所以10-bb-b=-2b-1.解得 b=5.
通常的解法是通过分类讨论，分步获得结论，学生很难完成完整解答，学生常常是“望题兴叹”，两边“夹逼”做法，以“形”助“数”，把“区间的最大”转化为曲线的交点“最远”，使得区间的“扩张”问题变得简单直观.
1.4用于求比值
例5 已知存在唯一的实数对（p，q）使得不等式|r2-x2-px-q|≤t（其中r>0，t>0）对任意x∈[0，r]恒成立，求tr的值.
解析1由题意得：-t+px+q≤r2-x2≤t+px+q.
即弧夹在两条线之间，根据图5知：r-x≤r2-x2≤2r-x.
所以必定有：r-x=-t+px+q，
2r-x=t+px+q.
比较系数得p=-1，q-t=r，q+t=2r，
所以tr=2-12.
图5图6解析2由题意得：r2-x2-t≤px+q≤r2-x2+t，x∈[0，r] .
设y1=r2-x2-t（四分之一圆弧），y2=r2-x2+t（四分之一圆弧），y=px+q（线段），根据线段y=px+q（x∈[0，r]）的唯一性，
如图6所示，该线段只能被函数y1和y2的图象“夹死”，所以线段AB∶y=-x+t+r与函数y1的图象相切于点C，所以 dCD=|t+t+r|2=r，
即4tr2+4tr-1=0，解得tr=2-12.
2构造不等式两边夹
2.1利用三角形不等式構造两边夹
三角形不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|或|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，其中a，b既可以是实数或向量，也可以是代数式等.
例6（2014年浙江省数学竞赛试题）设f（x）是定义在R上的函数，满足|f（x）+cos2x|≤34，
|f（x）-sin2x|≤14，则函数f（x）=.
解析因为1=sin2x+cos2x≤|f（x）+cos2x|+
|f（x）-sin2x|≤34+14=1，
根据等号成立的条件知：
|f（x）+cos2x|=34，|f（x）-sin2x|=14，
去绝对值，易得f（x）=sin2x-14.
这是利用三角形不等式，构造两边“夹死”的一个典范，利用等号成立的条件求得函数f（x）的解析式.当然也可以从解不等式的角度，利用两边“夹死”方法求解：
-34-cos2x≤f（x）≤34-cos2x，
sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，
即-74-sin2x≤f（x）≤sin2x-14，
sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，
所以sin2x-14≤f（x）≤sin2x-14，
即f（x）=sin2x-14.
两种解法的本质是一致的.
2.2利用赋值构造不等式
已知fi（x）≤（或≥）M，（i∈N*，M∈R），构造形如a≥（或≤）∑ni=1λifi（x）=a（λ∈R）的不等式，则利用等号成立的条件，可以确定其中参数的取值.
例7（2015年北大自主招生试题）已知|x2+px+q|≤2对x∈[1，5]成立，则不超过p2+q2的最大整数是.
解令x=1，3，5得
|1+p+q|≤2，①
|18+6p+2q|≤4，②
|25+5p+q|≤2，③
则8≥|（1+p+q）-（18+6p+2q）+（25+5p+q）|=8.
等号成立的条件当且仅当p=-6，q=7时成立，此时p2+q2=85，故答案为9.
类似的问题很多，如2012年浙江高考试题：
设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=.
只需要令x=2，得（2a-3）（3-2a）≥0，
即0≤（2a-3）2≤0，所以a=32.
随着课程改革的深入，命题技术的成熟，两边夹逼这样一类在高等数学中常见的方法，已悄悄的渗透到高考中来了.解题研究也因此需要与时俱进，通过函数图象的夹逼培养学生的几何直观素养，通过代数不等式的夹逼培养学生数学运算素养.通过比较不同类型夹逼的特征，从而拓展夹逼原理的内涵.
参考文献
[1]李金兴.数形结合解函数问题的几个操作策略[J].数学通讯，2016（3）：26.
[2]童其林.“确定变量的范围”在解题中的应用[J].数学教学，2015（2）：27.
“两边夹”原理本是高等数学中用来判定极限存在的准则，近年在数学竞赛和高考中时有应用，需要学生有敏锐的观察力和娴熟的代数变形技巧.从解题操作的视角看，应用“两边夹”原理有两种类型：①“若a≤x≤a，则x=a”，该类型结构简明，逻辑清晰，操作有序；②“已知a≤f（x）≤b，求参变量k的取值范围”.本文称第一种为“夹死”，即由不等式a≤x≤a，得到等式x=a，是解决“条件为不等式，结论为等式”问题的利器；本文称第二种为“夹缝”，不等式a≤f（x）≤b说明函数f（x）可以在“缝隙”[a，b]之间活动，所以参变量k能在一定的范围内取值，这类问题一般是“求k的取值范围”.本文通过典型例子，来说明利用“两边夹”方法解题的操作策略，由此提升学生“逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养”，同时提升“学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的能力.
1利用图象两边夹
不等式g1（x）≤f（x）≤g2（x），x∈[a，b]的几何意义是：在区间[a，b]上，函数f（x）的图象位于函数g1（x）和g2（x）的图象之间.若函数f（x）图象被函数g1（x）和g2（x）的图象“夹死”，则可以求出某些参数的值；若图象间留有“缝隙”，则可求出某些参量的取值范围.
图11.1用于求值
例1[1]已知函数f（x）=x2+ax+b-2，a，b∈R.若对任意x∈[1，3]，总有|f（x）|≤12成立，求a，b的值.
解析由|f（x）|≤12，得：-x2+32≤ax+b≤-x2+52.①
如图1，不等式①表示线段y=ax+b（x∈[1，3]）夹在函数y1=-x2+32和y2=-x2+52的图象之间.
计算发现，经过A，B两点的直线y=-4x+112与函数y1的图象相切.也就是说直线y=-4x+112是被函数y1和y2的图象“夹死”的唯一直线段，故a=-4，b=112.
文[1]作者通过平移图象，用数形结合的方法巧妙给出解答，平移后的整个图形稍欠简洁，本文利用函数图象构造两边“夹死”的方法，画出的图象简明、本质，解决问题的操作方法具有一般性和“可复制”性.用于解决不等式条件下的等式问题特别有效，可以迅速化解难题，对提升学生学习数学的信心有一定价值.
图2例2（2015年浙江省数学会夏令营测试题）若对任意θ∈R，恒有|asinθ-4sin3θ|≤1，求实数a的值.
解析设sinθ=x，x∈[-1，1]，则原不等式可变为：4x3-1≤ax≤4x3+1，x∈[-1，1].
设函数y1=4x3+1，y2=4x3-1，则线段y=ax（x∈[-1，1]）夹在函数y1和y2的图象之间，如图2所示.
计算知过点A（1，3），B（-1，-3）的直线方程为y=3x.
设直线y=kx与曲线y1=4x3+1相切于点C（x0，y0），则y0=kx0，
y0=4x30+1，
12x20=k，解得k=3，x0=12，y0=32.
根据对称性，直线y=3x与y2的图象相切于点D（-12，-32），所以直線y=3x是被曲线y1和y2的图象“夹死”的唯一直线，故a=3.
由此可得一个“神解”：令sinθ=1和12，得|a-4|≤1，
|a-1|≤2，即3≤a≤5，
-1≤a≤3，所以a=3.
命题人应该是以3倍角公式为背景，通过三角运算获得解决的.“神解”并没有什么教学价值，是解题后的娱乐.利用“两边夹”的方法则可化解学生没有学过3倍角公式的尴尬，也进一步说明用这种方法具有一般性，且不依赖于问题的本身.
1.2用于求参数的取值范围
例3（2014年浙江高考理科22）已知函数f（x）=x3+3|x-a|，（a∈R）.（Ⅱ）设b∈R，若[f （x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.
解析（Ⅱ）的背景也是“两边夹”，是用两条三次曲线夹一条折线.
由题意得：-2≤x3+3|x-a|+b≤2，
即-x3-2≤3|x-a|+b≤-x3+2，③
图3不等式③表示折线h（x）=3|x-a|+b夹在函数g1（x）=-x3-2与g2（x）=-x3+2的图象之间.如图3所示，当折线h（x）的顶点（a，b）位于点C时，直线y=3x-2经过点A（1，1）.当折线h（x）的顶点（a，b）位于点D时，容易证明点B恰好是直线y=-3x与曲线g2（x）=-x3+2的图象的切点.直线y=-3x与y=3x-2交于点E（13，-1）.
如图的阴影区域（曲边三角形CDE）是折线h（x）的顶点（a，b）的“可行域”，根据线性规划知识，易知目标函数3a+b的最大值为0，最小值为-2.所以3a+b的取值范围为[-2，0].
这类问题的典型特征是“被夹”的函数还能在某个“可行域”内“活动”，问题即可转化为求解目标函数在该“可行域”内的最优解.
这就化解了高考压轴题的难点，使得考题变得平实，变得更能为学生接受.更为重要的是该方法简单易学，容易被学生复制.
1.3用于求扩张区间的最大值
例4 （2016年金华十校联考）设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R.
（Ⅰ）略；（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f （x）≤10恒成立，求实数b的最大值.
解析由1≤f （x）≤10，得1-bx-x≤a≤10-bx-x，设y1=10-bx-x，y2=1-bx-x.易知当0
图4如图4，画出函数y1和y2的图象，直线y=a为一条平行于x轴的直线，与函数y1的图象交于点A.根据图4，当直线y=a与函数y2的图象相切时，区间[0，b]的长度达到最大，此时b也取到最大值.
函数y1在区间[0，b]上的最小值为10-bb-b，函数y2在区间[0，b]上的最大值为-2b-1.
所以10-bb-b=-2b-1.解得 b=5.
通常的解法是通过分类讨论，分步获得结论，学生很难完成完整解答，学生常常是“望题兴叹”，两边“夹逼”做法，以“形”助“数”，把“区间的最大”转化为曲线的交点“最远”，使得区间的“扩张”问题变得简单直观.
1.4用于求比值
例5 已知存在唯一的实数对（p，q）使得不等式|r2-x2-px-q|≤t（其中r>0，t>0）对任意x∈[0，r]恒成立，求tr的值.
解析1由题意得：-t+px+q≤r2-x2≤t+px+q.
即弧夹在两条线之间，根据图5知：r-x≤r2-x2≤2r-x.
所以必定有：r-x=-t+px+q，
2r-x=t+px+q.
比较系数得p=-1，q-t=r，q+t=2r，
所以tr=2-12.
图5图6解析2由题意得：r2-x2-t≤px+q≤r2-x2+t，x∈[0，r] .
设y1=r2-x2-t（四分之一圆弧），y2=r2-x2+t（四分之一圆弧），y=px+q（线段），根据线段y=px+q（x∈[0，r]）的唯一性，
如图6所示，该线段只能被函数y1和y2的图象“夹死”，所以线段AB∶y=-x+t+r与函数y1的图象相切于点C，所以 dCD=|t+t+r|2=r，
即4tr2+4tr-1=0，解得tr=2-12.
2构造不等式两边夹
2.1利用三角形不等式構造两边夹
三角形不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|或|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，其中a，b既可以是实数或向量，也可以是代数式等.
例6（2014年浙江省数学竞赛试题）设f（x）是定义在R上的函数，满足|f（x）+cos2x|≤34，
|f（x）-sin2x|≤14，则函数f（x）=.
解析因为1=sin2x+cos2x≤|f（x）+cos2x|+
|f（x）-sin2x|≤34+14=1，
根据等号成立的条件知：
|f（x）+cos2x|=34，|f（x）-sin2x|=14，
去绝对值，易得f（x）=sin2x-14.
这是利用三角形不等式，构造两边“夹死”的一个典范，利用等号成立的条件求得函数f（x）的解析式.当然也可以从解不等式的角度，利用两边“夹死”方法求解：
-34-cos2x≤f（x）≤34-cos2x，
sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，
即-74-sin2x≤f（x）≤sin2x-14，
sin2x-14≤f（x）≤sin2x+14，
所以sin2x-14≤f（x）≤sin2x-14，
即f（x）=sin2x-14.
两种解法的本质是一致的.
2.2利用赋值构造不等式
已知fi（x）≤（或≥）M，（i∈N*，M∈R），构造形如a≥（或≤）∑ni=1λifi（x）=a（λ∈R）的不等式，则利用等号成立的条件，可以确定其中参数的取值.
例7（2015年北大自主招生试题）已知|x2+px+q|≤2对x∈[1，5]成立，则不超过p2+q2的最大整数是.
解令x=1，3，5得
|1+p+q|≤2，①
|18+6p+2q|≤4，②
|25+5p+q|≤2，③
则8≥|（1+p+q）-（18+6p+2q）+（25+5p+q）|=8.
等号成立的条件当且仅当p=-6，q=7时成立，此时p2+q2=85，故答案为9.
类似的问题很多，如2012年浙江高考试题：
设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=.
只需要令x=2，得（2a-3）（3-2a）≥0，
即0≤（2a-3）2≤0，所以a=32.
随着课程改革的深入，命题技术的成熟，两边夹逼这样一类在高等数学中常见的方法，已悄悄的渗透到高考中来了.解题研究也因此需要与时俱进，通过函数图象的夹逼培养学生的几何直观素养，通过代数不等式的夹逼培养学生数学运算素养.通过比较不同类型夹逼的特征，从而拓展夹逼原理的内涵.
参考文献
[1]李金兴.数形结合解函数问题的几个操作策略[J].数学通讯，2016（3）：26.
[2]童其林.“确定变量的范围”在解题中的应用[J].数学教学，2015（2）：27.
