在猜想与探究活动中提高问题解决能力

    李树臣

    我国的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面对课程的“总目标”进行了具体的阐述，对“问题解决”的具体要求如下[1]：

    （1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.

    （2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.

    （3）学会与他人合作交流.

    （4）初步形成评价与反思的意识.

    普遍认为问题解决既是课程目标，又是一种数学能力.最近几年的中考题中常见考查学生问题解决能力的题目，这就“迫使”我们在教学中应加强对学生问题解决能力的教学和训练，为探讨提高学生问题解决能力的教学途径，我们在本文从河南省2019年的中考第22题为例谈起.

    1.5 试题简评

    （1）符合《课标（2011年版）》提出的基本理念要求

    《课标（2011年版）》基本理论的核心是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”[1].落实这个理念的主要做法就是教学中要面向全体学生，但在实际教学中，大多数教师的“课”主要还是面对“优秀生”设计并展开的，表现在“三个统一”（例题统一，练习题统一，要求统一）上，这必然导致“学困生”掉队.这样的教学根本不可能实现上面的核心理念.本题为我们开展面向全体教学提供了一个有效策略——着眼于过程设计教学活动.

    本考题能照顾到各个方面的学生，考题分三部分，大部分考生在解答这个问题时都能有收获：即使是学习比较困难的学生，通过阅读题意、观察图1，也能发现BD与CP分别在△ABD和△ACP中，凭直觉，这两个三角形“应该”是全等的，考虑到△ABC是等腰三角形以及α=60°，不难证明出△ACP≌△ABD.从而得到对问题（1）的解答.后面的“类比探究”与“解决问题”部分，主要是针对优等生设计的.因此，无论哪个层次的学生在思考、解答本题的过程中都能有所收获.

    这就要求我们在数学教学中应着眼于“活动过程”的设计来落实“面向全体”的理念：对于一个题目的条件，可以设计多个小問题，这些小问题之间有一定层次和联系，鼓励学生努力进行解答，但不要求所有学生都要完成对所有小问题的解答.

    （2）突出了对“四基”的考查

    本题属于“综合压轴题”，对于学生的考查也是多方面的：

    ①知识角度

    从解答本题的过程中，可以看出，解答时用到的知识比较多（见前面的1.2）.

    ②能力方面

    本题主要考查学生的阅读理解能力、观察能力、猜想能力、类比能力、探究能力，证明能力、书面表达能力等.

    ③思想方法角度

    解答过程主要体现了数学转化思想、类比思想、数形结合思想、模型思想、特殊到一般的思想以及分类讨论的思想等.

    例如，在“观察猜想”部分，题目给定的点P在△ABC内;在“类比探究”部分，点P在△ABC外面，这两种情况“暗示”出在“解决问题”部分，需要对点P分为在△ABC内、外两种情况进行讨论.这就导致“解决问题”部分中 AD CP 的值有两个，这一点学生往往由于考虑不全，容易出现“漏解”现象，从而导致错解.

    学生通过解答本题，提高了他们综合运用数学有关知识与方法解决问题的能力，对于问题意识、创新意识的形成与发展也是非常有益的.是落实《课标（2011年版）》提出的“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1]课程目标的具体体现. ?2 ?培养学生问题解决能力的主要措施

    学生问题解决的能力是在解决具体数学问题的过程中逐渐形成和发展起来的，提高这种能力的途径有很多，实践证明下面的几条措施至关重要.

    2.1 强化“四基”教学

    《课标（2011年版）》关于课程的“总目标”提出了三条要求，其中第一条是“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”[1].这就是我们常说的“四基”.“四基”之间密切联系，互相促进，这种关系可用图6直观的表示[4].

    由此可见，引导学生参与数学活动是他们掌握数学基础知识、形成基本技能、感悟数学基本思想、积累数学基本活动经验的“源泉”.

    根据《课标（2011年版）》的要求，在“四基”的教学时，应认真研读课程内容，并对教学内容进行“二次改造”，将其创设成引导学生进行多种数学活动的问题系列，让学生经历下面三个过程并参与一个活动[5]：

    （1）经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握有关数与代数的基础知识和基本技能.

    （2）经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能;

    （3）经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能.

    （4）参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.

    2.2 重视数学猜想能力的培养

    数学猜想是依据题设中给出的已知条件、图形，以及推证的结果，运用联想、类比、归纳等多种思维方法，结合所学数学知识，对未知量、图形及相互关系所作出的一种推断或判断，它是综合运用逻辑思维方法和形象思维方法、直觉思维方法的结果，在进行数学猜想的过程中，表现出丰富的想象力和深邃的洞察力[6].

    牛顿曾说：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.可见，培养学生的数学猜想能力，对于提高他们的问题解决能力，从而提高学生的数学素养至关重要.在数学教学中，应结合具体的教学内容，可以通过下面的途径培养和提高学生的数学猜想能力：