二次曲线定比公式及其应用

众所周知，已知点P1（x1，y1），P1（x2，y2），直线l：Ax+By+C=0，直线P1P2与直线l相交于点P，若P1P=λPP2，则λ=-Ax1+By1+CAx2+By2+C.如果将直线l换成圆，椭圆，双曲线或者抛物线，结论如何？本文旨在给出上述问题的解答，给出对应的定比公式，得到如下有趣的命题.
命题1已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），圆C：x2+y2=r2（r>0），直线P1P2与圆C相交于点P.若P1P=λPP2，U=x22+y22-r2，V=x1x2+y1y2-r2，W=x21+y21-r2，则λ=-V±V2-UWU.
证明将点P1和P2的坐标代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ.将点P的坐标代入x2+y2=r2得x1+λx21+λ+y1+λy21+λ=r2，整理得x22+y22-r2λ2+2（x1x2+y1y2-r2）λ+（x21+y21-r2）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因为直线P1P2与圆C相交于点P，所以关于λ的方程有解，由求根公式得λ-V±V2-UWU.
例1设圆O：x2+y2=5，过圆心O作直线l交圆于A、B两点，与直线x=-3交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为.
解由题意设P（-3，t）.因为A恰好为线段BP的中点，所以PA=2AO.
由命题1得U=-5，V=-5，W=4+t2.由-5U=-5，V=-5，W=4+t2.由-5×22+2×（-5）×2+4+t2=0得t=±6.
当t=6时，P（-3，6），kPO=-2，直线l的方程为y=-2x；当t=-6时，P（-3，-6），kPO=2，直线l的方程为y=2x.故直线l的方程为y=-2x或y=2x.
命题2已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），直线P1P2与椭圆C相交于点P.若P1P=λPP2，U=x22a2+y22b2-1，V=x1x2a2+y1y2b2-1，W=x21a2+y21b2-1，则λ=-V±V2-UWU.
证明将点P1和P2的坐标代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，将点P代入x2a2+y2b2=1并整理得b2x22+a2y22-a2b2）λ2+2（b2x1x2+a2y1y2-a2b2）λ+（b2x21+a2y21-a2b2）=0，则（x22a2+y22b2-1）λ2+2（x1x2a2+y1y2b2-1）λ+（x21a2+y21b2-1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因为直线P1P2与椭圆C相交于点P，所以关于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.
例2设椭圆C：x2a2+y2a2=1（a>b>0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且AP=85PQ，求椭圆C的离心率.
解设Q（x0，0），F（-c，0），由A（0，b）及直角三角形中射影定理得|AO|2=|OF||OQ|，则x0=b2c，Q（b2c，0）.由AP=85PQ及命题2得U=b4a2c2-1，V=-1，W=0.由（b4a2c2-1）×（85）2+2×（-1）×85=0得b2ac=32，从而2c2+3ac-2a2=0，2e2+3e-2=0，于是e=12或e=-2（舍）.故椭圆C的离心率为12.
命题3已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），直线P1P2与双曲线C相交于点P.若P1P=λPP2，U=x22a2-y22b2-1，V=x1x2a2-y1y2b2-1，W=x21a2-y21b2-1，则λ=-V±V2-UWU.
证明将点P1和P2的坐标代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，将点P代入x2a2-y2b2=1并整理得（b2x22-a2y22-a2b2）λ2+2（b2x1x2-a2y1y2-a2b2）λ+（b2x21-a2y21-a2b2）=0，则（x22a2-y22b2-1）λ2+2（x1x2a2-y1y2b2-1）λ+（x21a2+y21b2-1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因为直线P1P2与椭圆C相交于点P，所以关于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.
例3已知F是双曲线C：x2-y28=1的右焦点，P是C的左支上的一点，A（0，66）.当△APF的周长最小时，该三角形的面积为.
解设F1是双曲线C的左焦点，则F1（-3，0），|AF1|=|AF|=15.由P是C的左支上的一点，得|PF|=|PF1|+2，△APF的周长等于|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2≥|AF1|+|AF|+2=32，等号当且仅当点A，F1，P三点共线时成立，并且点P在线段AF1上.
设AP=λPF1，由A（0，66），F1（-3，0）及命题3得U=8，V=-1，W=-28.由8λ2-2λ-28=0得λ=2或λ=-74（舍），此时AP=2PF1，S△APF=23S△AFF1=23×12×6×66=126.故△APF的周长最小时，该三角形的面积为126.
命题4已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），抛物线C：y2=2px（p>0），直线P1P2与抛物线C相交于点P.若P1P=λPP2，U=y22-2px2，V=y1y2-px1-px2，W=y21-2px1，则λ=-V±V2-UWU.
证明将点P1和P2的坐标代入P1P=λPP2得Px1+λx21+λ，y1+λy21+λ，将点P代入y2=2px并整理得（y22-2px2λ2+2（y1y2-px1-px2）λ+（y21-2px1）=0，即Uλ2+2Vλ+W=0.因为直线P1P2与抛物线C相交于点P，所以关于λ的方程有解，由求根公式得λ=-V±V2-UWU.
例4已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线l：x=-1，点A是直线l上的一个动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B.若FA=-3FB，则|AB|=（）.
A.20B.16C.10D.5
解由题意得F（2，0），设A（-1，t），B（x1，y1），由FA=-3FB得AB=-4BF.由命题4得U=-16，V=2（2-4）=-4，W=t2+8.
由（-16）（-4）2+2（-4）（-4）+t2+8=0得t2=216，則t=±66.
当t=66时，A（-1，66）.由FA=-3FB得x1=3，
y1=-26，则B（3，-26），所以|AB|=（3+1）2+（-26-66）2=20；当t=-66时，同理有|AB|=20.故选择答案A.
作者简介刘才华，男，山东省宁阳第一中学教师，中学高级教师，泰山名师，泰安市优秀教师，泰安市学科带头人，在《中学数学杂志》、《数学通报》、《数学传播》等30余种报刊上发表论文180余篇.