一个杠杆问题的解法及推广
【摘要】用对函数求导确定驻点的方法，探究一个力学问题中两物体间作用力的变化规律，并将解决问题的方法作一推广.
【关键词】钢板；圆柱体；压力；杠杆平衡；三角函数
例题1如图1所示，一密度均匀的长钢板OA左端O点用铰链固定于地面，从钢板右方底下沿水平地面向左推进一个圆柱体铁桶，若不计摩擦，在铁桶缓慢左移的过程中，钢板对铁桶的压力[假设铁桶刚进入时钢板与水平地面的夹角足够小]（）.
A.逐渐变小B.逐渐变大
C.始终不变D.先变大，再变小
作为选择题，考虑“极端值”并采用淘汰法，很容易确定本题的答案是选项D——由题目条件“铁桶刚进入时钢板与水平地面的夹角足够小”可知，若铁桶直径相对钢板的长度足够小（只有这样才能保证开始“钢板与水平地面的夹角足够小”），铁桶刚进入时，钢板对铁桶的压力接近于钢板重力的一半，当铁桶向左前进相当长的距离后（比如前进的距离是钢板长度的一半），则相对于支点，铁桶对钢板压力的力臂几乎减小一半，而钢板与水平面的夹角可以几乎不变（我们可以设想钢板有铰链的一端在北京，另一端在上海，铁桶只是直径为30cm的普通铁桶，就可以想象出在铁桶向左推进过程中钢板与水平地面夹角的变化情形了），所以，开始的过程，铁桶与钢板间的压力应该不断的增大，而当钢板与水平地面的夹角接近于90°时，钢板与铁桶之间的压力趋向于0，变得很小，所以，我们可以将题目所给4个选项中的前三个淘汰，而得出本题的正确选项D.
图1图2然而，如果本题不是选择题，而是一道问答题——“在钢板从右端缓慢推进过程中，钢板对铁桶的压力如何变？”，或者，题目虽然依然是选择题，但作为教师的我们想弄清楚在铁桶的整个运动过程中，钢板与铁桶间压力的变化规律，那么，就需要对两者间的压力进行定量分析.下面，我们将本题作为问答题进行解答.
分析在铁桶向左缓慢移动的的过程中，铁桶对钢板压力的作用点位置和方向都在不停的变化，而且钢板与水平面的夹角也在不断增大.设钢板与水平地面的夹角为θ，显然，当钢板的长度、重力和铁桶的直径大小等物理量确定之后，对于每一个确定的θ值，铁桶都有唯一的位置与之对应，此时，铁桶对钢板压力的大小便唯一确定下来了，所以，铁桶与钢板间压力的大小是钢板与水平面夹角θ的函数，函数关系式一旦确定下来，我们就可以确定铁桶与钢板之间压力的变化范围，当然也是钢板对铁桶压力的变化范围.
解析如图2所示，设钢板长为L，重力是G，铁桶直径为R，钢板与水平面的夹角为θ时铁桶对钢板的压力是F，以铰链点O为质点，由杠杆平衡条件可得：F·Rcotθ2=G·12Lcosθ.
所以F=GLcosθ2Rcotθ2=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）
F对θ求导，令导数为0，确定函数的驻点——
由F′=GL2R（-sinθtanθ2+12cosθsec2θ2）=0得：
sinθtanθ2=12cosθsec2θ2
所以tanθtanθ2=12sec2θ2
利用2倍角三角函数公式，将等式中的不同角度的三角函数转化为同一角度的三角函数，可得：
4tan2θ21-tan2θ2=sec2θ2
所以4sin2θ2cos2θ2-sin2θ2=1cos2θ2
所以4sin2θ21-2sin2θ2=11-sin2θ2
令x=sin2θ2，則有：4x1-2x=11-x
整理得：4x2-6x+1=0
所以x=6±208=3±54（将大于1的舍去），故有：sin2θ2=3-54
因为sinθ2>0，故有：
θ=2arcsin3-54=2arcsin6-258=2arcsin（5-1）28=2arcsin10-24
因为函数F=GL2Rcosθtanθ2（arctan2RL≤θ≤π2）在其定义域内只有唯一的一个驻点θ=2arcsin10-24，且当θ=π2，压力F=0最小，所以，驻点处的函数有最大值，因此，本题的正确选项是D——先变大，再变小.
那么，当钢板下的圆柱体铁桶改为其它形状的物体时，在不考虑摩擦的情况下，答案是否还是如此？
例题2如图3所示，一长度为L密度均匀的长钢板OA的重力为G，左端O点用铰链固定于地面，从钢板右方底下沿水平地面向左推进一棱长为a的正方体，若不计摩擦，在正方体缓慢左移的过程中，求钢板对正方体压力的变化范围[已知正方体的棱长a与钢板长度L间的关系为a<22L]
图3图4解析如图4所示，由于没有摩擦，所以正方体与钢板之间只存在正压力，不存在切向作用力，因此，正方体对钢板的作用力垂直于钢板.仿照例题1的解法，以O为支点，由杠杆平衡条件得：
F·asinθ=G·L2cosθ
所以F=GL2asinθcosθ=GL4asin2θ
所以F′=GL2acos2θ
由F′=GL2acos2θ=0得：θ=π4
由于在自变量的取值范围内，函数F=GL4asin2θ只有唯一的驻点θ=π4，而当θ→π2时，钢板与正方体间的压力F→0，所以，当θ=π4时，钢板与正方体间的压力存在最大值，此最大值Fmax满足：
Fmax·2a=G·L2·22
解得：Fmax=LG4a.
因此，在正方体缓慢左移的过程中，钢板对正方体压力的变化范围是0≤F≤LG4a.
作者简介王伟民（1964—），男，本科学历，中教高级.曾荣获太和县优秀教师、太和县师德标兵、阜阳市优秀教师等称号；在《物理通报》、《物理教学》、《物理教学探讨》、《物理教师》、《中学物理教学参考》、《中学地理教学参考》、《中学生物教学》、《中学数学教学参考》、《中学数学杂志》、《中小学数学》等期刊发表论文140余篇.
意外的提问精彩的生成
上海市宝山区教育学院201999王凤春
上海市通河中学200431张冰
在选修教学中，为了证明不等式aba>0，m>0），我作了如下教学设计.
1教学设计
例题若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.
分析本例实质上是化学问题，由浓度概念可知aba>0，m>0），即糖水中加糖甜更甜.
注保和溶液时，m有取值范围.
解师生合作给出了如下证明.
证法一（比较法）a+mb+m-ab=b（a+m）-a（b+m）b（b+m）=m（b-a）b（b+m）.
因为b>a>0，m>0，所以b-a>0，b+m>0，所以m（b-a）b（b+m）>0，即a+mb+m>ab.
证法二（放缩法）因为b>a>0且m>0，所以ab=a（b+m）b（b+m）=a+abmb+m图1证法三（数形结合法）如图1，在Rt△ABC及Rt△ADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE 瘙 綊 BD，
因为△ABC∽△ADF，
所以ab=a+mb+CF完成证明，师生共同给出如下推广：
设真分数a1b1则a1b1原来的教学设计是推广（*）后，讲解两道基本例题，便完成本课的教学.但是，学生甲追问（*）如何证明？这个提问既打乱了教学设计，也激发了学生的思考.课堂上片刻的沉静后，学生乙受生活模型，即上述糖水混合的启发，给出了如下证明.
2意外生成
2.1化学模型
有一种化学溶液，装在标号分别为1号，2号，…，n号的瓶中，其溶质和溶液的质量分别是（a1，b1），（a2，b2），…，（an，bn），且浓度满足a1b1若将1号，2号混合，其浓度为a1+a2b1+b2，所以有
a1b1将1号，2号，3号混合，其浓度为a1+a2+a3b1+b2+b3，
所以有a1b1依次类推，（*）式成立.
这个模型直观易懂，无需数学的逻辑推理，说出了（*）式的本质.
2.2几何模型
图2如图2，设AC1=a1，AA1=b1，A1D2=a2，A1A2=b2，A2D3=a3，A2A3=b3.
因为a1b1显然有a1b1a1b1经过一番讨论，学生甲给出这个模型，全班学生无言，同学们对他们竖起了大拇指，一种成功感溢于言表，我也为弟子们的精彩表现而自豪.
3精彩应用
学生的精彩发现，让我对学生的思维有了更高的预期，于是我改动了例题，把原本当做思考题的题目作为课堂练习.
练习（2013年北大保送生）
已知：正数a，b，c，满足a
应用公式，学生很快给出了上述解答.学生意犹未尽，但此时铃声已响……
课后反思本课由于一位学生的疑问，引发了全班学生的思考.两个模型的建立，让学生产生兴奋惊奇，无字的证明，将课堂气氛推向高潮，扣人心弦.其间，老师及时捕捉学生灵光闪现的思维火花，调动学生积极参与，充分暴露学生的思维过程，才有如此大的收获.模型二实质上是对不等式链的几何解释.如何落实中学数学核心素养，设计具有挑战性的问题，深度学习，启发学生的高阶思维是个有效的途径，新课程以学生发展为本的口号喊了多年，然而，课堂教学真正体现这种理念，还需经常反思自己的教学行为.学生带着自己的知识、经验、思考、兴趣参与课堂活动，可以独立思考、个性化理解、自由表达，可以质问、怀疑、批判教师观点或教材观点，从而使课堂教学呈现出多样性、丰富性和随机性.这样的教学对教师提出了新的要求，不仅要有新的理念，还必须具有深厚的学科底蕴，才能把握课堂，使课堂教学焕发出生命活力.
作者簡介王凤春（1962—），男，江苏徐州市人，上海市特级教师，上海师范大学数理学院硕士生导师.主要研究方向为中学数学教育和教育科研.出版《中学数学教育科研》等著作；解决了最优化问题中 Lagrange乘数法的相关问题，论文发表在《高等数学研究》.
张冰（1979—），女，湖北黄冈市人，中学高级教师，主要研究方向为高中数学教学和教育科研，宝山区学科带头人，宝山区教育学院高中数学兼职教研员.
