基于“认知行为目标”实现的数学教学研究

    【摘 要】 在数学教学法研究范畴，基于认知行为目标实施教学，有助于学生增长“学得好”的能力，具体涉及知觉模仿、变式操作、表象连贯和思维自动等维度要素。通过对认知行为目标的设置与研究，能让学生形成概念理解产生式，进而把握概念和增强学科认知情怀。

    【关键词】 认知技能;行为目标;教学研究

    认知行为目标作为课堂活动的思维“定盘星”，是教学目标的核心目标，支配着师生教与学的质量，有助于“三高课堂”（高质量、高效率和高品质）的有质量发生。一般情况下，教学目标是预期学生通过教学活动获得的学习结果。在教学中，教学目标有助于指导教师进行教学测量与评价，选择和使用教学策略、指导学生有效学习等功能。教学目标包括认知目标、情感目标和行为目标。这些目标需要依附于课程内容，在学习课程内容的行为环境下，落实知识技能目标及其目标体系。为此，我们需要针对学生的数学行为和已有经验，在关注课堂细节的思维背景下，让学生在认知中获得层次性行为目标（具体见表1），进而达成认知行为目标，让学生在“思考中”获得知识技能、思想方法及其背后的学科素养。

    一般来说，教学的细节是由课堂教学活动中学生的学习行为所决定的，这应该是数学课堂认知行为目标有效确立的“方向盘”。这里的“认知行为目标”主要涉及知觉模仿、变式操作、表象连贯和思维自动。本文以两节示范课为主要思维行为载体及其目标承担物，在“‘学字置顶”的思维环境下，使得“三学”（真学、深学和乐学）课堂目标得以有效着陆，发展有质量的数学课堂及其学生认知行为的适应性和泛在性。

    实践表明，任何认知行为目标的实现都需要课程内容的支撑，课程教育背后的东西才是行为目标落地的思维根基。笔者将课程内容目标分解为具体目标、产生条件、行为标准和行为变化等支持因素，并针对课程内容进行具体的目标陈述和维度划分。一般情况下，在数学课程的四个领域，即“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”与“综合与实践”，需要分别研究具体目标的适应性陈述、行为目标的产生条件、行为目标的行为标准、行为目标的行为变化。这里主要围绕“数与代数”领域的内容，结合具体目标、产生条件、行为标准和行为变化因素，进行有序的清样性实践研究，使得学生的认知行为目标能有效达成。事实上，任何一节好的数学课，过程性学习目标的达成，都是在认知技能目标有效达成的支配下完成的。就这一认识来说，研究行为目标的过程就是落实知识技能、数学思考、问题解决以及情感态度目标的思维综合，一方面有助于学生课程素养的培育，另一方面有助于教师提升课程能力，其研究意义可见一斑。

    1 知觉模仿，认知行为目标实现的“思维踏板”

    在认知心理学研究范畴，知觉是表象产生的思维前提、是感觉思维的综合。知觉模仿是学生认知心理发生的第一道思维工序，是认知技能目标实现的教学起点和思维踏板。比如，数学认知行为中的“举一反三”，就是知觉模仿的思维踏板。进一步来说，数学课堂教学中这样的发问，“你能再举出一些类似的例子吗？”“以前，我们使用这种思想方法还研究过哪些内容？”“你能再写出几个具有类似特征的式子吗？”等。这些都是知覺模仿的学习行为表现，有助于概念本质特征的抽象与把握，有助于学生知其然和知其所以然，进而在知觉模仿中实现认知技能目标的层级与缓存。

    当然，通常情况下，“知觉”是学生通过感官，对动作、物体、性质或关系等意识能力，以及进行心理、躯体和情绪等预备调节能力（如表现出外部的感觉动作），“知觉模仿”是学生获得知识技能不可或缺的思维通道，是学生获得心智技能的思维基础。因此，教学目标的确立必须遵循学生的年龄特征、认知规律以及已有经验，方能让学生在知觉模仿中获得真正的认知发展。正如奥苏贝尔的教育信念，“学生知道了什么，要探明这一点，并以此进行教学”[1]才是原本应有的教学起点。就这一认识来说，学习目标是学生思维行为的指南针，学习目标的确立需要以学生的“数学现实”和“思维事实”为根据，这样才能让学生得到应有的良好发展，也才能有效落实人人获得良好数学教育的课程目标。

    例如，我们在研究平方根起始概念的教学时，源于平方根的认知行为发生是以勾股定理及其逆定理为前提条件的，起到思维层面的承上启下作用，是链接“乘方”与“开方”关系的思维桥梁。目标的确立需要基于学生已有的数学经验和数学建模行为，因此，确立的具体目标是：在具体活动中，让学生经历平方根概念的抽象过程，知道平方根的意义，会用符号表示一个非负数的平方根，获得描述与表征概念的能力;通过具体的概念辨析活动，知道平方根的性质，并在使用平方根的概念行为中，获得深度理解概念的能力。这也为后续无理数以及实数概念的理解做好铺垫，增强学生把握概念的能力，以及知觉思维的正本清源能力，这就是认知行为目标的适应与定位。换言之，课堂行为目标的确立，必须能让好学生跳一跳够得到，思维比较薄弱的学生也能有话可说、有事可做，获得应知应会的个性发展。

    一般情况下，为了落实知觉模仿目标，还需要做好以下两个层面的工作：第一是让学生经历数与代数的抽象过程，落实知觉初始状态的模仿目标。比如，让学生求出一个边长为3和4的直角三角形的第三边长的问题。经历这个问题的解决，学生能切身感受第三边（可能是5或者是无理数34）不是有理数的情况，这就引发学生获得新知的内在迫切性和内驱性，这就是良好的思维开端。一方面能让学生的思维与“面积为2的正方形的边长问题”直接衔接，另一方面能让学生在分类思想的作用下获得问题解决的基本方法和基本套路，同时还能让学生形成一种饱满的思维需求，迫切求探概念的来龙去脉，这就是最好的内驱思维行为。第二是让学生在概念发生中形成一定状态的模型能力，落实可观察和可测量的具体行为目标，这是认知目标得以实现的教学起点。比如写出、列出、解答等，旨在说明做什么。

    2 变式操作，认知行为目标实现的“预备思维”

    变式教学是中国数学教育的良好传统，有助于认知技能目标的形成，为中国数学教育的发展做出了不可或缺的贡献。尤其在“图形与几何”领域发挥的作用更为巨大，一方面表现在图形的运动与变化及其性质探讨维度，通过变化物体的位置或数量关系，实现对概念本质属性的把握。比如，我们在研究“平行四边形”的性质时，让学生画出一个平行四边形，在度量思维的帮助下，获得“平行四边形的对角线互相平分”“平行四边形的对边平行且相等”的性质，就是一种变式操作的生动样例，突出了“画→量→个体经验→公共经验”的“变式+操作”的物理属性的思考过程。另一方面是表现在图形的抽象与分类层面，比如，我们用吸管“搭三角形”，在具体变式操作中，能让学生感知“最短两边的和大于最长边就能搭成一个三角形”以及搭成直角三角形的条件就是“较短两边的平方和等于第三边的平方”以及搭成等腰三角形的条件（略）。这就使得分类思想在变式操作中得以生长，突出了“母分类→子分类”的特征，有助于概念属性的层层外显，为认知行为目标的实现提供了预备思维，提升了行为目标的动作指向性及其思维结果的科学状态。

    当然，变式操作本身就是一种行为目标的实现状态，规定着学生行为产生的条件，支配着学生的思维行为及其思维运动方向，能为学生获得概念的本质积累心理经验。数学教学中，这样的提问就是一种内驱认知条件发生的变式操作，即你能从这些图片中发现了什么？旨在说明在什么条件下做或怎样做。基于这一认识，并不是所有的变式操作都能促进学生的认知技能目标的达成，只有基于学生的经验心理水平，方能让学生获得应知应会的发展以及力所能及的发展。因此，在变式操作层面需要做好三个维度的工作。一是外源变式，让学生经历概念属性的提炼过程;二是内源变式，让学生经历概念非本质属性的“去伪”过程，实现对概念本质特征的把握;三是概括表征，让学生在概括中获得认知技能，在表征中获得概念本质，进而实现对概念的工具性理解。

    比如，我们在研究“一次函数的图像”这一内容时，就是突出“变式操作”特征，落实预备思维目标的铺垫。具体来说，首先，让学生观察蜡烛燃烧的状态，并进行静态的抽象，感知一次函数的图像是一条直线这一结论;其次，让学生通过“列表→画图→描点→连线”等系列性思维层面的变式操作，让学生验证猜想的结论;最后，让学生任意写一个一次函数表达式，并画出该函数图像，经过思维的聚焦与概括，结合已有的“两点确定一条直线”的几何经验，抽象出一次函数图像的画法，即用解方程的方法确立坐标轴上点的坐标，即可画出一次函数的图像，而确立原点和横坐标为1的点的坐标，即可画出正比例函数的图像，进而真正把握“一次函数图像是一条直线”的结论。

    如果把“蜡烛燃烧”的图像看成是一条直线，是一种工具性概念理解，那么变式画图则是认知技能目标实现的变式行为，思维分类则是一种行为表征与行为概括。毋容置疑，所有数学概念的学习都必须经历变式教学，才能让学生在不断的变式思维中把握概念的本质特征。基于这一认识，外源变式是一种数学直观，内源变式是一种思维抽象、表征以及分类，有助于概念从“工具性理解”到“关系性理解”[2]的把握，这就是认知技能获得的思维基础，铺垫了概念认知的思维地基。

    3 表象连贯，认知行为目标实现的“度量标尺”

    在数学教学法范畴，表象是概念特征在人脑中形成的一种思维形象。表象连贯是认知技能目标得以实现的一种法定尺度，有助于概念关系的建立及其概念的关系性理解。有如我们既要让学生理解“古典概型”（用频率估计概率，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性都是0.5），也要让学生理解“几何概型”（超市有奖转盘的转动，指针指向获奖区域的概率就是“几何概型”的一个例子），这样才能在分析数据中实现对概念的整体把握，进而落实数据分析观念的培养目标。当然，表象连贯本身就是一种整体思维，是整体与局部的哲学关系，是抽象与具体的两个方面。在概念认知范畴，连贯是按照规定顺序和协调要求，去调整行为、动作等能力（如，准确规范地画图）。这里的连贯是指对局部概念的综合与概括，形成整体概念或系统概念。比如，在数学课堂教学中，我们常这样发问，“你是怎么知道的？”“举例说明你对概念的理解”“下一步，还需要怎样做？”“还有没有其他的方法或者更優化的方法？”这种让学生经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，就是概念表象得以连贯的行为表征，有助于概念特征的立体把握。

    当然，概念表象连贯的水平，自身无法掌控，都是依靠对认知技能目标实现的水平来显化。换句话说，表象连贯是一种内隐的知识或者说缄默的知识，需要通过认知技能目标达成的结果状态来认证。就这一认识来说，表象连贯是衡量认知技能目标达成的法定标尺。比如，在课堂教学过程中，我们常常提出符合每一个学生的行为要求的行为标准，在试卷讲评课上，要求大家交流5分钟、指出每道题考查哪个概念、方法，每道题的思想原型是什么？这些思维连贯的标准呈现，旨在说明怎么做或者说做什么等问题。就表象连贯层面来说，我们需要做好三个层面的工作：一是设置先行组织者，让学生在概念衔接中，实现对概念结构的认知把握;二是设置问题链，让学生在整体思维的帮助下，落实变换角度看问题的能力;三是问题解决，让学生在提出问题和分析问题中，获得对概念的使用与解释。

    比如，我们在研究“一次函数的图像”的使用与解释时，首先是让学生举例说明一次函数图像的特征（一次函数的图像是一条直线），并用“两点法”画出该函数图像;其次是让学生在同一平面直角坐标系内画出一次函数y=2x+1、y=2x和y=2x-1的图像，然后在观察与交流的背景下，抽象概括这些一次函数图像有怎样的位置特征，并概括出一般性的结论（k值相同，b值不同的一次函数的图像具有平行的位置关系）;最后是让学生任意写出两个简单的一次函数表达式，画出图像，并计算两条直线与横轴围成的三角形的面积（k值不同，两条直线相交于一点，在解方程的背景下，该点的纵坐标就是所围成的三角形的高，于是三角形的面积不难求）。并追问：经历上述活动，你获得了哪些结论，用语言描述你的发现。

    如果说，“写→画”是一种先行组织者，那么“画图→探讨位置关系”则是问题链的表现形式，则“写出→画图→计算→一般性的结论”是问题解决的通用技术，能让学生在问题解决中经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，实现对概念的解释和使用，形成一般化结论，使得概念的结构性知识转化为概念的认知结构，这就是表象连贯的外在表现。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，基于学生的已有经验，创设问题，让学生经历解决实际问题的过程，抽象出数学模型，并对结果进行讨论与解释，这就是概念表象连贯的例子。换句话说，让学生在建立模型的过程中，实现对模型的解释与迁移，这就是认知行为目标得以实现的具体表现。

    另外，自动思维是“学为中心”课堂教学的表现形式，是学生自主研修能力获得的关键行为，是认知行为目标得以实现的外在标志。一般情况下，学生自发或自觉地行动能力（自然稳定的行为就是思维自动表现），也就是学生能下意识地、有效率地将各部分动作协调一致地操作。比如，在数学实验过程中，学生能依据实验步骤和实验内容，有序地进行操作与交流，这就是思维自动的常见形式。一方面有助于学生获得自学能力和体验基本思维方式;另一方面，能让学生在思维自动中获得对概念关系的理解，即从概念的工具性理解到概念的关系性理解，也才能让学生把握“完形概念”，走向学好数学的美好未来。

    参考文献

    [1]胡秀明.思维悟中长，素养自然成——以“相似三角形”复习课为例[J].中国数学教育，2018（12）：33-37.

    [2]马复.试论数学理解的两种类型——从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-51.作者简介 许礼光（1963—），男，江苏凤凰科学技术出版社基础教育分社主任、苏科版初中《数学》教材责任编辑、副编审，主要从事初中数学教材编写、数学教学论、数学实验理论与实践研究。