股票随机模型及其衍生品期权定价理论研究

    崔占豪　王雷雷　刘晓俊

    摘 要：基于相关理论研究，并结合近几年在金融衍生品特别是期权定价方面的研究成果，利用随机分析理论，在股票混合过程的随机模型下，给出带有特殊股票红利支付的欧式看跌期权的定价公式，进而对金融衍生品定价的前景进行展望。

    关 键 词：股票随机模型；期权定价；金融衍生品

    中图分类号： F830.9 文献标识码：A 文章编号：1006-3544（2014）01-0058-05

    股票模型及期权定价问题是金融市场中一个重要的研究课题，也是金融创新的一个重要方向。特别是1973年Black-Scholcs期权定价公式[1] 的问世，在金融衍生品定价研究中具有里程碑的意义。 之后1979年Harrison & Kreps在论文 [2] 中对风险中性定价方法进行了系统阐述，为期权定价研究提供了新方法。再后来鞅理论的发展，极大地推动并发展了期权定价理论的研究方法。本文在上述理论研究基础之上，结合近几年在金融衍生品，特别是期权定价方面的研究成果，利用随机分析理论，在股票混合过程的随机模型下，给出带有特殊股票红利支付的欧式看跌期权的定价公式，进而对金融衍生品定价的前景进行展望。

    一、理论基础

    （一）泊松（Possion）过程是到达时间间隔为独立且同时服从指数分布的随机变量

    在实际生活中，如果假设顾客到达商场的时间间隔是独立随机变量的话，那么顾客到达商场的时间分布就是一个随机过程。由于该随机变量概率分布的不同，决定着随机过程不同。但是广泛地说，分布为任意分布时得到的过程为计数过程， 也称为更新过程。 Possion过程是特殊的更新过程， 是我们模拟股票瞬时跳跃的较为理想的过程， 也是进一步研究股票衍生产品定价的基础。

    定义（Ti）i≥0是独立同服从？祝（a，？姿）（a>0，？姿>0）的随机变量序列，令？子n=■Ti，则计数过程Ni=sup{n|？子n≤t}，t≥0为时间间隔服从伽马分布的更新过程，称之为伽马更新过程。 伽马更新过程在实证分析中更能真实地模拟股票跳跃， 而其特殊情况即为Possion过程。

    如果（Nt）t≥0是伽马更新过程，则P（Nt=n）=■■xna-1e-？姿xdx-■■x（n+1）a-1e-？姿xdx，n=0，1，2，…，当a为正整数时，p（Nt=n）=■■e-？姿t，n=0，1，2，…。

    特别地，当a=1时，p（Nt=n）=■e-？姿t，n=0， 1，2，…，此时为泊松过程。由于更新过程的强度 [1] 为■，这里E（T1）=■，故此更新过程的强度为■，其中？祝（s）=■xs-1e-xdx，s>0，。所以对于Possion过程，比如客户到达的时间间隔Tn的分布：

    F■=p（Tn≤t）=1-e-？姿t，t≥00， t<0

    其密度函数为：f■（t）=？姿e-？姿t，t≥00， t<0。

    （二）Wiener过程 [4]

    股票价格波动过程中，除了股票价格跳跃时刻，还有连续上升或下跌时段。后者在随机分析理论中经常用布朗运动模拟。

    当随机过程Bt，t∈[0，T]满足下列条件时，我们称随机过程Bt，t∈[0，T]为布朗运动。

    1. 该过程初始值为0，即B0=0；

    2. Bt具有固定的连续增量；

    3. Bt在时间t内连续；

    4. 增量Bt-Bs服从均值为0，方差为|t-s|的正态分布，即：（Bt-Bs）～N（0，|t-s|）。

    布朗运动模拟股票连续时段是一种理想状态模拟，多数情况下是用一般的带有漂移项和波动项的随机过程去模拟，即伊藤过程。

    （三）伊藤过程

    随机过程xt，如果其微分形式可以表示为：dx= a（x，t）dt+b（x，t）dz，其中dz是Wiener过程，我们称xt表示一个伊藤过程。而伊藤引理表明，如果随机变量x遵循伊藤过程，dx=a（x，t）dt+b（x，t）dz，设G=G（x，t）是x和t的二阶连续可微函数，则G（x，t）遵循如下过程：

    dG=■a+■+■■b2dt+■bdz

    如果股票价值过程遵循伊藤过程，即忽略股票的瞬时跳跃，而股票衍生产品的价值变化过程可用G（x，t）去模拟，于是股票衍生品的价格可通过解形如dG=■a+■+■■b2dt+■bdz的随机微分方程得到。该理论是我们在风险中性市场，对股票衍生产品无套利定价的基础。

    （四）鞅和等价鞅测度

    鞅理论使定价理论研究方便了很多，在金融衍生产品的定价当中起到举足轻重的作用，因此研究鞅的定义和等价鞅测度十分必要。

    如果随机过程[Zn，n≥0]满足以下两个条件：

    （1）对于n≥0的任何n，E|Zn|<∞；

    （2）E{Zn+1|Z0，…，Zn}=Zn

    我们称随机过程[Zn，n≥0]为鞅。在鞅理论中，关键问题就是找到鞅测度或者等价鞅测度，找到鞅测度或者等价鞅测度也就找到了金融衍生品的理论价格。

    等价鞅测度：定义在概率空间（？赘， ，（ ）0≤t≤T，P）上的随机过程{S（t），t∈（0，+∞）}对于信息结构

    和条件概率（ ）0≤t≤T是一个鞅。如果对任意t>0，满足以下三个条件：（1）S（t）在信息结构 下已知；（2）E|S（t）|<+∞；（3）Et[S（t）]=S（t），t

    在期权定价中，等价鞅测度的理论定价，表达的正是风险中性市场上的无套利定价原则， 即利用各阶段信息结构 决定的条件概率P*，所求的平均价值的现值总等于初始阶段的价值，这样就是运用鞅方法对期权在风险中性市场上进行定价的理论基础。

    二、市场假设

    在给定的市场及带流概率空间（？赘， ，（ ）0≤t≤T，P），假设：

    （1）市场为有效的无摩擦市场，即市场信息是公开的，各市场主体获得信息都是相对公平的。市场上有两类资产：一类是风险资产如股票，另一类无风险资产如债券；

    （2）股票交易连续进行，且不存在交易费用和交易税；

    （3）无风险类资产利率按连续复利r（r>0）计算；

    （4）股票特殊的连续分红利率q（r>q>0）。

    在上述市场假设下， 市场上其他任何资产都可以用这两类资产进行无套利复制。如果我们得到该市场假设下的风险资产和无风险资产的价格过程，那么其他资产的价格过程就可以用其进行无套利复制。 如何模拟这两类资产的价格过程成为我们进一步定价研究的前提。对于无风险证券债券，是具有固定收益的无风险过程。其价格过程用S■■表示，则满足微分方程：

    ■=rdt， S■■=1 （1）

    其中，0时刻债券价格为1单位，t（t>0）时刻的债券价格即为：S■■=ert。

    另外一类资产为风险证券，如股票。股票价格波动的数学模拟是一个复杂的课题。在随机分析理论中通常把股票的价格波动视为一个随机过程。如果可以表示成一个随机过程的随机微分方程，那么股票的价格可以通过解微分方程得到。下面分三步去完善带有红利支付的股票模型。

    首先，假设股票价格过程遵循一般的维纳过程，且具有不变的期望漂移率及波动率。显然这样不实际，因为这意味着股票的百分比收益与股票价格以及股票增发数量无关，实际则不同。所以股票价格过程就不可能是一般的维纳过程。为此股票价格可用瞬时期望漂移率？滋S和波动率为？滓2S2的伊藤过程进行描述，即：

    dS=？滋Sdt+？滓Sdz或■=udt+？滓dz （2）

    其次，考虑股票具有连续红利支付的情况，那么该股票模型就等价于一个没有红利，且服从如下的几何布朗运动S■■：

    dS't=（？滋+q）S'tdt+？滓S■■dWt （3）

    S't（T）=S'texp（？滋+q-■）（T-t）+？滓（WT -Wt）

    =eq（T-t）S'texp（？滋-■）（T-t）+？滓（WT -Wt）

    其中，？滋，？滓为该股票的瞬时收益率和波动率，Wt为标准布朗运动，q为其连续分红利率。这样支付红利率q的股票S（T）在t时刻的价格为S（t）e-q（T-t）。有了这样的带红利股票，我们就可以将其股票贴现价格■'t=e-rtS't转化成一个鞅，即在鞅测度下■'t=e-rtS't满足微分方程：

    d■'t=■'t[？滓dWt+（？滋+q+■-r）dt] q（r>q>0）

    构造■t=Wt+？滓-1（？滋+q+■-r）t是一个Brown运动，在等价鞅测度下，又可以仿造简单的Black-Scholes模型 [3] ，将此鞅测度下微分方程（3）转化为：

    dSt=St[？滓dWt+（r-q-■）dt] （4）

    从而有解：St=S0exp[？滓dWt+（r-q-■）t]。

    最后，现在看来股票随机模型已经比较合理了，如果再考虑到股票在市场中带有瞬时跳跃的情况就更完美了。那么此时的模型又是如何？能否用一个特殊的随机微分方程模拟股票波动， 进而通过解随机微分方程得到股票价格？大量的实证研究表明，该数学思想在实证分析中是可行的。 下面我们给出一种混合过程的模型，把股票波动中的跳跃也加入其中。在风险中性概率测度下，其价格混合过程St满足随机微分方程：

    ■=（r-q）dt-vd■nPn（t）+？滓dWt+UdNt

    q（r>q>0） （5）

    其中：r是无风险利率；？滓是股票没有跳跃时的波动率；q（r>q>0）是标的股票的红利率；Wt为标准布朗运动；U（U>-1）（否则会出现负的价格）为股票价格发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度，它是随机变量；Pn（t）=■e-？姿t为与时间有关的Possion分布；vd■nPn（t）是由更新跳跃带来的平均增长，v=E（U），其中E为期望算子。

    由微分方程（3）的求解过程可进一步推导方程（5）的解为：

    St=S0■（1+Ui）exp

    r-q-■t-v■nPn（t）+？滓Wt，q（r>q>0）

    其中，Ui为？子i时刻股票价格的相对跳跃高度， [5] Pn（t）=■e-？姿t，U1，…，Un，…是独立同分布的随机变量。由于股票价格除了有大致的走势以外，大量交易数据表明，股票价格走势中存在跳跃。综合众多实践表明视股票价格波动跳跃为Possion过程的指数布朗运动的混合过程更符合实际。

    三、混合过程下欧式看跌期权的定价

    我们有了混合过程的股票价格过程以后， 股票资产的衍生产品期权的定价问题随之而来。 当今期权产品定价理论比较成熟，然而在实际应用时，往往会产生误差。这就给市场上一些投机分子较多的套利机会，给金融市场带来很大的风险。下面用随机分析理论，给出股票资产欧式看跌期权的定价公式。

    如果X为欧式看跌期权，其执行价格为K，到期日为T，记看跌期权在t时刻的价值为P（t，St），在等价鞅测度P*下，假定■t=e-rtSt为鞅，则可以提出命题：

    设St为满足随机微分方程（5）的股票价格过程，则其到期日为T，执行价格为K的欧式看跌期权P（T，ST），在t时刻的价格P（t，St）为：

    P（t，St）=■Pk（T-t）？着k[Ke■？椎（d2）-St■（1+Ui）e■？椎（d1）] （6）

    其中，d1=■，d2=d1-？滓■。

    证明：X为欧式看跌期权，则X=f（ST）=（K-ST）+，在等价鞅测度下