可转债的价值发现与非理性投资的实证研究
孙明元
摘 要：可转债的发行丰富了金融市场的投资渠道，然而投资者在进行可转债投资时对于转股时机的选择会因为其能力而体现出不同的结果。基于简化的近似模型体系下的可转债定价模型，对我国可转债的实证研究结果表明，可转债的实际价格与理论值差异较大，其价值发现功能只存在于股票性质较强的债券，市场波动性大。这反映出市场的非理性投资问题比较严重。
关 键 词：价值发现；可转债；投资理性；近似定价模型
中图分类号： F830.2 文献标识码：A 文章编号：1006-3544（2014）01-0051-07
一、引言
普通的可转换公司债具有债权性和期权性两种性质。对于债权性质而言，可转债是一种公司债券，属于固定收益类证券，债券的期限和债息率都已在合约条款中规定，债券投资者得到的定期债息和债券到期时的本金赎回表明可转换公司债具有比较明显的债券属性。期权属性主要表现在可转债为投资者提供了在一定的时间点将该债券转换成股票的权利，让投资者既可以行使转换权得到对应的公司股票，也可以放弃转换的权利，而此权利是否被执行取决于投资者如何衡量该公司的两种证券分别在债券市场和股票市场的表现。此外，有些可转换公司债还具有提前赎回和回购等特征，这些条款在发行定价时会左右最终的价格，而条款规定越多，所带来的不确定性风险也就越大。
可转债的定价问题一直是学界和实业界的关注焦点， 反映在市场中的实际价格不但受到技术层面的影响，而且也受到投资者心理决策的影响。定价模型的准确性直接影响到投资决策的结论是否正确，这些问题从相关的文献中可以找到答案。关于可转债的转股是否理性的问题 [1] ，本文认为可转债的转股决策实际上更加直接地体现在投资决策上，从而也就直接体现在可转债的价格上， 当然这也是基于可转债的市场是完全有效市场的基本假设。 此研究是针对定价模型的， 毫无疑问定价模型的准确性就影响到了转股的理性问题。
本文所讨论的投资理性是基于市场中的现实证据所做出的判断，它不是从转股理性的角度，而是在可转债的价格方面宏观考虑投资理性问题。 从投资者的角度对可转债的投资价值理性问题进行实证探讨， 一方面研究可转债的标的股票价格对于可转债的价值发现功能， 另一方面基于价值发现功能对于市场的投资理性进行评述。
二、可转换债券定价模型回顾
由于可转债的持有人拥有在必要的时刻转换为股票等有价证券的权利， 那么这部分权利体现在可转债的定价中可以表现出一种超过普通债券的溢价。在可转债的定价方法探究上，学者们通常是将可转债权利溢价看成是一种期权， 正是这个溢价隐含了持有这个期权的权利。由于性质的近似性，美式期权更常常被应用于可转债的定价模型。
过去学者对于可转债的定价问题主要考虑影响可转债的各个重要因素， 例如McConnell，Schwartz（1986）曾提出以发行可转债的公司股价作为定价参考的变量 [2] ；Tsiveriotis，Fernandes（1998）提出的信用利差模型将外生性代入其中，在该模型中利率的随机波动性对于债券的价值影响很小[3] ；而在双因素模型方面，Ho，Pfeffer（1996）曾提出可转债的价值应该由股票价值和利率价值共同决定，并采用了动态的利率模型 [4] ；基于双因素模型，Davis和Lischka（2002）提出股价、利率和违约风险三个因素都能影响可转债的价值，将违约风险补偿加入模型中以修正股票价格的漂移率 [5] 。
作为期权定价的核心问题，对随机微分方程的诸多求解方法也是各学者所讨论并研究应用于可转债定价的关键问题之一。数值分析方法是被广泛应用的方法体系，包括有限差分方法、二叉树方法以及混合期权近似模型等。然而数值分析方法通常较为复杂，从而应用性较差，得不到有效推广，使得可转债的定价研究多徘徊于技术环节。
通常的可转债都具有普通债券所应有的性质，其中最基本的性质之一就是债息的发放。债息无疑会对可转债的价格产生影响，同时也会影响持有人的转股决策。基于上述考虑，本文的目的就是要阐释可转债的债息对于转股提前执行的影响是否显著，通过模型的设定和实证模拟来对其进行明确表达，一方面为可转债的发行人提供定价的独特参考角度，另一方面也为投资人的投资决策提供依据。
本文运用的模型是借鉴MacMillan（1983） [6] 、Barone-Adesi和Whaley（1987） [7] 所提出的美式期权近似定价模型。由于美式期权与可转债的相似性和行为的趋同性，本文根据可转债的特殊性质，综合考虑后应用于可转债定价的解析解的分析。
三、定价模型设定
（一）美式期权定价微分方程
根据无套利假设，可构造投资组合：一个单位的看涨美式期权和一个单位的标的证券。因为这样的一个组合形式是无风险的， 因此它所带来的收益不大于相同规模的资产在无风险利率下所得的收益。具体表示如下：
d？装=dV-？驻dS=r？装dt （1）
其中？装表示投资组合，V代表期权的价值，S为标的证券价值，r是无风险收益率，t代表时间。
根据Ito微分方程， 期权价值的变化量和标的证券价值的变化量可以表示出来并代入上面公式，得到：
■dt+■dS+■？滓2S2■dt-？驻dS=r（V-？驻S）dt
（2）
再根据delta对冲，可以使得？驻=？坠V/？坠S，从而消去dS项，可以得出下式：
■dt+■？滓2S2■dt+r■S-rV=0 （3）
（3）式是Black-Scholes微分方程 [8] 的经典表达法，但在本文模型中需要强调的是，美式期权具有的特殊性质要求美式看涨期权的标的证券必须要有股利发放，否则期权将不会被执行，直到行使期限结束时为止， 因为提前执行不是利益的最大化行为 [9] 。所以在本模型中需要增加股利的条款，在式中用D代表股利率，从而（3）式变为：
■+■？滓2S2■+（r-D）■S-rV=0 （4）
（二）应用于可转债定价的近似解析解
若将可转债与普通债券的差价（或称为溢价）视为期权带来的额外价值， 那么这笔额外价值的定价就服从美式看涨期权的行为模式， 以下的讨论将可转债与普通债券的差价统一称为转股权溢价。 用？自代表转股权溢价， 并且它也是标的证券和时间的函数，即？自=？自（S，t），则此差价服从（4）式。
对于（4）式，两边同时乘以2/？坠2，得到下式：
S2■+■S■-■？自+■■=0 （5）
为了简化计算，特别设定一些变量的代换：
b=r-D P=2r/？滓2 Q=2b/？滓2
由此（5）式可转化为：
S2■+QS■-P？自+■■=0 （6）
时间变量也需要替换， 用？子代替从可转债的发行到执行转股之间的时间间隔， 即令？子=T-t，那么？坠？自/？坠？子=-？坠？自/？坠t，从而（6）式可转化为：
S2■+QS■-P？自-■■=0 （7）
转股权溢价也可用另一个函数形式所代换，即？自（S，？子）=K（？子）f（S，K），其中K（？子）=1-e-r？子，因此（7）式就转化为：
S2K■+QSK■-PKf-■（■f+K■■）=0 （8）
再经过简化，得到：
S2■+QS■-Pf1+■■（1+■■）=0
（9）
此时将K（？子）作为确定函数形式代入（9）式，经过一系列变化得到如下方程：
S2■+QS■-■-P（1-K）■=0 （10）
方程（10）就是本文建立的定价模型的最终形式，但需要经过近似的化简才能得到常微分方程，否则依然不能得出精确的解析解。需要考虑下面情况：当时间间隔？子趋近于0时，方程（10）的最后一项将满足下面的条件：
■■=0■（1-e-r？子）=0
在满足上述条件的基础上，方程（10）的最后一项就变为一个无穷小量，在求解析解时可以将此项略去，因此就形成了一个二阶常微分方程：
S2■+QS■-■=0 （11）
自然地，将这个常微分方程的解的形式设定为f=aSh，代入方程可得：
ah（h-1）Sh+QahSh-■aSh=0 （12）
即：aShh2+（Q-1）h-■=0（13）
根据（13）式的形式很容易得出其解的形式：
f=a1S■+a2S■ （14）
其中，h1=■<0，h2=■>0，又由于？子和S同时趋近于0时，可转债的价值应该与普通债券的价值相同，也就是说其二者之间的转股权溢价为0。 但如果两个系数a1和a2均不为零，f无法取值，这也就与事实相矛盾，所以系数a1必为0。那么解析解的确定就转化为确定系数a2的问题。
（三）系数的确定
由上推出的微分方程解析解为：
？自=（1-e-r？子）a2S■ （15）
此解析解是对于转股权溢价的一个确定表示，由于无套利假设是模型的前提， 也就是说对于这个转股权的行使应该恰好在平衡点上， 因此转股权的内在价值应该等于标的证券价值与转换价格之间的差额。若设转换价格为E，那么就有：
S-E=（1-e-r？子）a2S■
（16）
由于可转债的曲线在执行的临界点不仅与趋势线S-E相交，而且要与之相切，经过对S求导就形成了第二个等式，即：
1=Ka2h2S■ （17）
联立（16）式和（17）式就可以得到临界点股价S*和系数a2，即：
S*=■a2=■
因此系数a2可以由已知量求得，下面将以字母？追代表此系数。
（四）近似定价模型
根据（16）式可以得出可转债的近似定价模型，这个定价模型由普通债券的价值和转股权溢价共同组成，可以表示为
CB=B0+？自 （18）
其中B0代表普通债券的价值，或者可以认为是可转债在执行转股之前的债券价值，因为这时的证券仅具有债券的性质， 因此也仅表现出债券的行为模式。 溢价部分？自则代表具有期权性质的权利价值。
那么根据（18）式就可以从理论上了解可转债在每个时间点的理论价值， 因此对于理论价值时间序列的模拟可以得出可转债的价值运行轨迹。
四、投资价值评定指标
可转换债券的债息与普通债券债息类似也是每季度或每半年支付一次，在每一个付息日，都有跳跃条件如下：
CB（S，t-）=CB（S，t+）+C （19）
其中C代表债息，方程左右的可转债价格是债息支付日前后的价格。在债息发放日，可以看作是其价值的一次跳跃，从理论上说，在该日可转债的价值应该是不连续的。本文认为，在债息发放日所出现的价值不连续性，会对可转债的投资价值产生影响，也就是说在一定程度上构成了转股条件。对于这个转股条件进行量化探索可以给投资者提供一个明确的指标以优化投资决策，也可以考察其中是否存在套利机会。
（一）标的股票价格模拟
对于股票价格S的模拟主要是根据股票价格的行为模式，即dS=？滋Sdt+？滓SdX，其中dX代表维纳过程，精确表示为dX=？缀■。
将模型离散化，则有？啄S=St-St-1=？滋St-1？啄t+？滓St-1
？缀■，意味着股票价格的路径可以通过迭代方法逐一模拟。设定初始值后，股票价格路径模拟情况如图1所示。
从图1可以看出，模拟出的股票价格路径有一个上升趋势，股票价格伴随着上升趋势线而波动，这样的上升趋势一方面更接近于真实情况，另一方面也更有利于问题的说明。
（二）可转债的价格过程
为了计算方便，将股票初始价格和债券面值设为相等，因而转换比率为1。那么债券价格就是其转换价值E。如果不考虑转股权利，那么可以从图2中看出拟合之后的股票价格与债券价格的相对走势，二者明显地存在交叉点，也就为转股权利的执行提供了条件。
可转债的价值是一个分段函数，股价与债券转换价格的大小对比是这个分段函数的参考条件，从分段函数的形式上看，如下式所示：
CB=
Bt=∑■■■+■， S （20） 其中Par代表债券的面值，C为固定债息。在股票价格与转换价格相等时， 可转债的转股权也就达到转换的临界点，从理论上讲，在此临界点上转股与不转股所带来的收益是相等的。 这时在临界点前最后一次付息将会对投资者的决策产生重要影响。 （三）可转债的定价理性 1. 价值发现的导向作用 可转债的理性定价问题可以通过理论值和实际值之间的差额反映出来。作为一个重要的参考因素，转股价的高低决定着可转债的价值中转股权利的价值占有多少比重。简单来说，若转股价远远高于实际股票价格的话，转股权就不会得到执行，此时可转债的性质更多反映的是纯债券的价值。 因此本文考虑的可转债是转股价与实际股价相近的案例， 保证了可转债的转换意义和投资者的投资意义。 可转债的理论价值与标的股票价值之间的关系可以建立起一个模型，需要说明的是，这个模型只存在于可转债的转换价值小于或等于标的股价之时。在下面的实证检验中将会看到，如果可转债的转换价值远大于股价，那么这种关系就无法存在。 价值发现模型可体现为上一期的自变量影响着下一期的因变量形式，因此模型设定为如下形式： CBt=？茁0f（St-1）+？茁1CBt-1+？着 （21） 从价值发现模型中就可以用本期的股票价格作为参考标准来预测未来的可转债的理论值。 然而理论值毕竟是未经过人为因素影响的数值， 诸如偏好、情绪等非理性成分并不能反映到理论值当中，这就需要探讨投资的非理性过程。 2. 非理性投资 投资过程是最终体现在投资者的行为决策上的，非理性的投资掺杂了投资者对于价值的误判、对于未来预期值的错误估计以及对于宏观市场的盲目跟从等等， 这些行为不但反映在可转债的实际价格上，而且也反映在成交量和成交额上，也就能够作为相应证券换手率的表达变量。 五、实证检验 （一）数据选取 本文以当前市场交易的可转债作为例证进行分析。需要说明的是，选取的数据按照不同可转债在模型指标中的表现，可以判断出在不同的宏观条件下可转债的投资价值以及抗风险能力。纯债券溢价率是可转债的价格超过纯债券价值的程度， 这可以显示出可转债的债券性强弱，纯债券溢价率越高，则表明可转债的债券性较弱， 其风险也就接近于标的股票的风险。 我们采用纯债券溢价率把可转债分成债券性强、中、弱三个等级，并在每个等级之内进行比较。结果见表1。 另外由于涉及到可转债的转股价问题， 为了讨论方便，在本文的理论框架内将可转债的转换比率都设定为1， 意味着转股价在发行可转债时与债券的面值相同。在实际的讨论中，转股价需要遵循常规的定价原则：初始的转股价是公司发布募集说明书公告日前20个交易日公司股票的算术平均收盘价格和前一交易日公司股票的交易均价的较高者。可以看出，转股价的高低与公司发行时机有很大关系，若公司在股票运行高位时发行转债，那么当股票价格下跌时，可转债的转股价值也就逐渐降低。因此公司应该在对经济形势的准确预测下进行可转债的发行。因此我们在实证检验阶段引入转股比率，将转股价与实际情况保持一致。 （二）价值发现模型的评估 现根据确定时间段内的不同股价和其他变量来确定转股溢价的大小（见表1），所选取的债券例证都是具有转股价值的可转债，因此转股溢价基本都为正数。之后再根据价值发现模型，验证二者之间的传递发现系数。 检验结果可以看出， 价值发现功能只能存在于债券性较弱的可转债案例当中， 也就是只能存在于股票性较强的案例中。 债券性较强则表明可转债的行为模式与股价并不完全形成特定的对应关系，而理论价格在纯债券收益率较低的情况下并不适用的原因就在于转股的溢价为零， 因此这就使得上一期股价（前一个时间间隔，比如前一个交易日的股价）的预测能力就变得没有意义。 这时可转债的价格反映出了投资者的非理性决策。 虽然模型表明标的股价与可转债理论值之间的部分滞后模型具有存在的合理性， 但由于投资者并没有严格按照这一原则或类似的参考标准来进行决策，因此非理性的市场价格也就随之而出现。 （三）非理性投资讨论 与欧美证券市场相比， 我国证券市场中特别是可转债市场存在着严重的非理性转股行为 [10] ，这也就会间接地反映在可转债的价格上。用换手率作为可转债的流动性指标可以直观找出投资者的典型行为模式。 从成交额的角度看， 其往往表现出较大的波动性，表明换手率并不是稳定的时间序列，而经常会出现爆发点和沉寂期。 这也就反映出了投资者的非理性决策，在不同的时间内每日成交额差别很大，也就说明交易速度不稳定，如图3所示。这种不稳定的情况可以进一步通过与标的证券价格之间的相关关系来说明。由此，对于流动性较差的可转债，相对走低的价格趋势反映出投资者对于可转债的预期受到了流动性的影响，即投资者选择抛售流动性较低的可转债转而去购买流动性高的可转债。 定期出现极端值的行为模式也能从图3中看出，在多数时期处于低频交易的情况下，定期就会出现远超均值的极端值，表明投资者的爆发模式在集中的表现，而这种爆发模式往往带有较大的随机性，难以通过确定的模型来预测和估计。
从成交额与标的证券价格的序列相关性（见表2）可以看出投资非理性的程度，而与理论值序列的相关性可以与实际值序列进行对比。从理论值与标的股价的相关性可以看出，在理论值存在的样本中，股性越强所带来的相关程度越大。而在实际情况下出现了决策的偏差， 这主要是由于不同的决策主体进行投资规模、 投资方向的相异操作而造成价格的异象波动。
六、结论
通过对投资非理性的分析， 可以将投资者的非理性投资决策概括出如下几点特征：
1. 参考点评估。 实践证明在进行可转债的投资时， 专业的机构投资者可以根据自身的经验和技能来进行专业的投资，避免盲目性和规避一定的风险。而个人投资者在进行可转债投资时可能仅仅根据自身对于市场的认识来进行决策， 当专业知识储备较少的个人投资者缺少足够的市场信息时， 往往会将一定的参考点作为标准来进行价值的评估， 近期内交易日的成交价也就成为参考点。 无论是可转债的价格滞后模型还是其对应的标的股价的滞后模型，都一定程度地体现出近期价格是多数投资者进行投资的参考标准， 即使在实际价格远离理论价格的情况下也是如此。 这样的现象反映出众多的非专业投资者并不是在进行价值投资，因此，理论上合理的价值往往被非专业投资者所忽略掉， 而盲目地追高抛低不可避免地会给市场带来较大的波动性。
2. 流动偏好。 标的股票和可转债的换手率都可以反映出投资者以流动性作为追逐的重要指标，结论恰好反映出流动性与价格有不同程度的正相关效应，表现出投资者存在流动偏好。然而其中部分个案的正相关虽然存在，但从数值反应上看并不明显，可以得到的解释是部分专业的机构投资者参与其中，并不随波逐流地进行投机， 而是依靠合理的定价原则对可转债的价值进行评估，从而折中了相关系数。
3. 爆发点效应。 可转债的价格脱离理论值的另一个原因是市场中存在着爆发点和沉寂期。 与幂律分布类似的是，可转债的换手率存在着爆发点，也就是说可转债投资所遵循的模式是经过一段时间的低频交易之后就会出现一个换手率极高的交易日。从中可以推测出众多的投资者决策存在着类似的行为模式， 即持有某种可转债或包括可转债在内的投资组合通常会存续一定的时间， 当可转债的表现不能达到他们的预期状态， 投资者就会采取交易的行动，而这个存续期的长度往往是相近的，从而造成爆发点的出现。
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（责任编辑：李丹；校对：龙会芳）
