渗透变式教学 提升复习质量
程龙军 李韦丽
摘要：数学复习课既要巩固基础知识和基本技能，又要加深对数学思想方法的理解，培养学生应用数学知识解决各种问题的能力。复习教学要善于利用问题变式串联章节知识，整合数学思想与方法，建立合理、有效、有度的整体结构，发展学生的数学核心素养，提高学生的学习兴趣，提升复习质量。
关键词：复习课? 变式教学? 知识结构
章节复习是数学教学的常规性工作。只有经过复习，才能巩固基础知识和基本技能，加深对数学思想方法的理解，建立良好的数学知识结构，培养应用数学知识解决问题的能力。然而，通常使用的讲练结合复习模式，虽然兼顾了知识点复习和知识应用训练，但“就知识点练习知识点”的形式割裂了知识内在的逻辑联系，忽视了数学知识本身具有的生长力以及对重点知识的拓展。因此，笔者提出在章节复习课中渗透变式教学，将知识复习与技能训练有机结合，拓展复习的深度与广度，提升复习的质量。
一、何为变式教学
变式教学，是指教师在教学过程中从一个问题出发，有目的、有计划地变换问题的非本质特征，变换条件或者结论，变换问题的内容和形式，在“变”的过程中保留原命题中的本质属性，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中归纳总结“变”的规律。数学变式教学包括数学概念的变式和技能性变式，而章节复习课通常采用数学技能性变式。变式教学视角下的章节复习课，以一道题为依托，通过变式以点带面，将知识间的内在联系呈现出来，在技能训练的同时融合单元知识点和数学思想方法，避免因“题海战术”给学生带来的压力，提高了课堂教学效率，实现了减负增效。
二、教学案例与分析
教学内容：中考复习——一元一次不等式与不等式组。
教学目标：
1.了解不等式（组）的有关概念，会解一元一次不等式（组）;
2.会解不等式（组）中字母参数的取值范围，能运用不等式（组）解决实际问题;
3.增强数学运算能力和数学抽象能力，感悟数形结合思想。
教学重点：一元一次不等式（组）的解法。
教学难点：利用数形结合思想求解字母参数的取值范围。
教学过程：
1.回顾练习
（1）若分式12x-1有意义，则x应满足的条件为_________。
（2）在实数范围内2-3a有意义，则a的取值范围_________。
（3）已知一次函数y=3k+6x+1，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。
（4）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有实数根，m的取值范围是_________。
（5）三角形的三边长分别为4，k+2，5，则k的取值范围是_________。
（6）如果a<b，下列结论未必成立的是（
A.a+1<b+1
B.3a<3b
C.a2<b2
D.a2<b2
【设计意图】本环节的第1-5题分别从分式、二次根式、一次函数、一元二次方程和三角形三边关系等知识点入手，其中包含了不等关系的多种表现形式，通过背景不同的问题体会不等式的广泛应用，梳理一元一次不等式（组）的有关概念。第6题的目的是复习不等式的基本性质，为下面解一元一次不等式奠定基础。
2.典例精析
问题：解下列不等式，并将解集表示在数轴上。
（1）5x-2≥x+2
（2）1-x-36>x3
【设计意图】本环节通过具体问题回顾了一元一次不等式的一般步骤，总结了解题过程中的易错点，提升了学生的运算能力和数学思维。具体达成以下两个目标：
（1）总结一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
（2）识别解不等式过程中的易错点。易错点一：去分母时常数项容易漏乘;易错点二：去分母时分子漏添括号;易错点三：系数化为1时，搞错不等号的方向。
变式1：求不等式组5x-2≥x+21-x-36>x3的整数解。
变式2：分别改变两个不等式中不等号的方向，得到如下不等式组，利用数轴直接说出不等式组的解集。
5x-2≥x+21-x-36x3，5x-2≤x+21-x-36<x3
【设计意图】承接原问题，变式1直接将不等式联立为不等式组，求解并归纳解不等式组的步骤，之后通过变式2，改变两个不等式的符号，产生新的不等式组，观察数轴总结解集的四种情况。问题设计的目的是通过一题多用、一题多变、以点带面，既回顾了不等式组解集，又提高了复习效率。
变式3：关于x的不等式组5x-2≥x+m1-x-36>x3有5个整数解，求m的取值范围。
变式4：将上述不等式组改为5x-2>x+m1-x-36>x3，答案有何变化？
【设计意图】变式3中增加了参数，这是本节课的难点所在。为了降低难度，本题直接将变式1中的有理数“2”换成参数“m”，由具体到抽象、由简单到复杂，拓展了问题的探究空间。解题时需要借助数轴使用逆推法分析字母参数的取值范围，具体包括四个步骤：解不等式组——画数轴——确定参数范围——验证临界点。解題过程中，既要依据原有的解不等式组的正向解题思路进行分析，也要根据不等式组整数解的个数，利用数轴直观，逆向观察和推断参数的范围，最后对临界点进行依次赋值验证。变式4承接变式3，通过改变不等号引导学生体会验证临界点的重要性，发展学生严谨的思维习惯。
变式5：一水果商某次按每千克4元购进一批苹果。销售过程中有20%的苹果正常损耗。问该水果商把售价定为多少时可以避免亏本？
【设计意图】变式5将含参的不等式问题融入实际问题情境之中，学生通过审题、提取信息，自行设置参数，建立不等关系式，体会了数学建模的思想与方法，也发展了符号意识以及分析问题、解决实际问题的能力。
3.巩固练习
（1）求不等式组x-5≥3（x-2）x-1<1+2x3的解集。
（2）关于x的不等式-1<x≤k有五个整数解，则k的取值范围_________。
【设计意图】本环节考查了教学重点——解一元一次不等式（组）、教学难点——含参数的一元一次不等式组、易错点——不等式性质3，问题设计层层深入。学生在练习归纳过程中，获得基本思想和基本活动经验，增强学好数学的信心。
4.课堂小结
（1）画出本章的思维导图;
（2）结合思维导图，说说其中蕴含的数学思想与方法。
三、教学思考
（一）利用变式教学为知识生长搭建脚手架
复习教学要给学生预留生长空间，而不仅仅是知识的简单重复。对于抽象内容、重点知识或难点问题，常常需要通过变式教学搭建脚手架。通过变式，引导学生在运用基础知识和基本技能的过程中，梳理章节知识结构，感悟数学思想方法。本节课以初中阶段不等式的各种运用为起点，利用一个问题进行五次连续的变式，在解决问题的过程中贯穿了以下知识点：不等式（组）的定义及解法、数轴上的解集表示、含参不等式（组）的解法、含参不等式的应用。这种方式以点带面，提高了课堂教学效率和学生的学习兴趣。
在设置变式问题时采用“低起点、小步走、缓上坡”的方式，如上图所示。首先求解一元一次不等式并归纳解题步骤，此为第一个生长点;解不等式组再进行变式，利用数轴感受不等式组的解集情况，此为第二个生长点;已知解集情况，利用数轴直观和类比思想确定参数的取值范围，此为第三个生长点;利用含参数不等式问题解决具体的实际问题，此为第四个生长点。上述问题的生长与变式，从学生现有知识水平出发，将每一个问题设置在学生的“最近发展区”内，并且难度适中、逐层递进，使多数学生借助脚手架就能够解决问题，在解决问题的过程中激发学生的积极主动性，有效促进知识水平和智力水平的发展。
（二）复习教学要注重知识结构生成
复习课要关注数学的知识结构，引导学生梳理知识结构图，把零散的数学知识置于整体知识结构中，从知识产生、演变的顺序及学生的认知水平出发架构课堂，引领学生经历整理、练习、对比、辨析的过程，把知识与方法串成链、组成块、结成网。具体来说，梳理知识结构是三位一体的过程：一是梳理知识点结构，例如不等式（组）的定义、解集的意义、基本性质、解法、模型应用等等（如图）;
二是梳理知识之间的相互关系，例如不等式与不等式组的关系、解集与公共解集的关系等;三是通过问题解决挖掘数学思想方法，例如解题过程中涉及的数形结合思想、数学模型思想、逆向思维的策略等等。
总之，复习教学需要查缺补漏，但也不仅是查缺补漏;需要面面俱到，但也不可能面面俱到。复习的内容应聚焦核心知识，注重课堂结构，让学生看清知识的本来面貌。复习教学要善于渗透变式教学，将知识点串联和整合，建立合理、有效、有度的整体结构，通过思维的自然生长发展学生的数学核心素养。
参考文献：
[1]鲍美佳.初中数学变式教学研究[D].哈尔滨：哈尔滨師范大学，2018.
[2]赵庆林.认知结构化视角下数学复习课的教学探索[J].江苏教育，2020（5）：33-36.
[3]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版社，2018.
