周期胞元平面桁架结构等效动力学分析
柳剑波 王立峰 金栋平
摘要：基于能量等效研究了周期胞元构成的平面桁架结构等效动力学建模问题。通过相邻胞元应变协调条件，将胞元的应变场阶次降阶为Timoshenko梁对应的应变场阶次。根据周期胞元的中心位移，获得胞元应变能与动能，进而利用Hamilton原理得到平面桁架结构等效连续体动力学方程。基于等效连续体模型和有限元模型，对周期胞元桁架结构进行了固有特性分析，验证了等效连续体模型的正确性和精度。
关键词：结构动力学；平面桁架；周期胞元；连续体；能量等效
中图分类号：V414.2 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2018）01-0067-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.008
引言
桁架结构由于具有构造简单、质量轻、方便收拢及展开等特点而广泛地应用于航天领域，如作为卫星天线的框架、太空望远镜的支撑结构、空间站的骨架等。这些大型空间结构通常由多个几何形状、材料均相同的单元（简称为胞元）周期排列而成。如果能利用这种结构内部胞元周期排列特征建立简化等效动力学模型，则不仅可以降低动力学分析的计算量，而且可以为动力学控制提供降阶模型。
人们很早就考虑采用均匀化方法，建立具有周期排列胞元桁架的等效连续体模型。例如，Heki和Saka建立胞元与连续体相应微段力之间的关系，得到了各向异性结构的拉伸、弯曲、剪切刚度以及它们之间的耦合项，并讨论了不同胞元的稳定性。该领域的相关工作建立了不同构型桁架胞元的等效刚度矩阵和质量矩阵，比较了它们的有效刚度，即刚度与密度的比值。Noor和Russel建立了含周期排列胞元的长方体状桁架等效连续体模型。由于胞元的不对称性，该桁架的轴向变形与剪切变形，弯曲与扭转均存在耦合。Lee采用谱元法建立了一个含周期排列胞元的大型梁结构的连续体模型，通过组装胞元内每个构件的谱元矩阵得到转换矩阵。Burgardt和Cartraud基于能量等效，用平均化方法建立了平面梁型桁架的连續体模型，并对其进行了静力学分析。
近期，salehian和Inman研究了由周期排列胞元组成的直线式平面桁架的等效连续体模型。该桁架胞元由一个四边形单元（单隔间）构成，由单隔间组成的胞元对其横截面内应变分量进行Taylor级数展开时无需考虑二阶项的影响。他们基于能量等效得到等效连续体模型，分析了桁架面内振动的动力学特性。此外，他们研究了连续体等效动能计算时应变项对等效精度的影响、桁架中阻尼等效以及胞元中含绳索等动力学问题。郭宏伟和刘荣强针对由单隔间胞元构成的横截面为矩形的索杆铰接式伸展臂，研究了等效连续体模型，刘福寿和金栋平在研究大型环形桁架天线时，将单隔间胞元等效为一维空间梁，得到了由多个一维梁拼接而成的简化模型。
本文研究对象是一种由周期排列胞元组成的平面桁架，它在航天领域有广泛应用。与salehian和Inman的研究对象不同之处是，该桁架的胞元由两个四边形单元（双隔间）构成。为充分考虑横截面内的局部变形，Noor等在对这种类型胞元横截面内的应变分量进行Taylor级数展开时取到二阶项，本文则研究了其他高阶项的影响。郭宏伟等与刘福寿等在推导等效连续体模型时先计算胞元的动能和应变能，使之与等效连续体模型的动能和应变能分别相等，从而得到连续体模型的等效质量矩阵和刚度矩阵。本文在得到了胞元的动能和应变能后，直接运用Hamilton原理建立连续体模型的偏微分动力学方程，解析求解不同边界条件下桁架固有振动频率，通过与有限元结果对比，验证等效模型的正确性。本文还基于等效连续体模型，分析弹性模量对桁架各阶固有频率的影响，得到有助于结构动力学性能设计的结论。
1平面桁架的等效连续体模型
研究图1所示含有周期胞元的平面桁架结构，每个胞元由4根纵杆、2根斜杆及3根横杆组成，图中l，b和d分别对应于纵杆、横杆和斜杆。由于左右两侧横杆为相邻两个胞元所共用，因此计算横杆的截面特性时取为原值的一半。在建立桁架等效连续体梁模型时，需要推导胞元应变能及动能关于胞元中心处位移分量导数的表达式。将这些位移分量作为连续体梁模型的位移分量，利用Hamilton原理得到桁架的偏微分动力学方程。
1.1胞元应变能
对于图1中平面桁架的典型胞元，按照右手定则建立原点位于胞元中心的直角坐标系o-xz。对于小变形，胞元横截面任意点x和z轴上位移分量u和w沿x轴线性变化，因而可将横截面上任意点的位移表示为
2算例分析
根据式（29）解析求解不同边界条件下的固有振动频率。为验证梁等效模型的正确性，运用Patran建立平面桁架的有限元模型，采用bar单元离散桁架中的杆件。以有限元计算结果作为参考值，定义相对误差为
（31）式中fi和feqi分别为桁架有限元模型和梁等效模型的第i阶固有频率。表1和2分别为两端简支边界条件下9个胞元组成的平面桁架弯曲固有振动和轴向固有振动的频率对比。结果表明，采用等效模型解析得到的固有频率与有限元计算结果相互吻合。随模态阶次提高，梁等效模型的误差逐渐增大。这是由于低阶模态波长更大，单个波长包含的胞元数目更多，等效模型的误差就会更小。
为进一步验证等效连续体模型的精度，现对比分析连续体模型和有限元模型在两端自由边界条件下的弯曲固有振动频率和轴向固有振动频率，结果如表3和4所示，可见等效连续体模型具有较高精度。
两端简支含不同胞元数的桁架等效连续体模型计算精度如图3和4所示。由图4可见，当胞元数增加时，等效连续体模型的各阶模态等效精度逐渐增加，这是由于胞元数增加，单个波长包含更多的胞元数目，桁架的梁特征更加显著。
得到了等效连续体模型后，可比较方便地分析不同材料参数、结构参数对桁架固有振动特性的影响。图5给出了横杆、纵杆、斜杆弹性模量对两端简支桁架各阶弯曲振动频率的影响。纵坐标增大的百分比定义为
由图5可见，弯曲振动频率随着纵杆和斜杆的弹性模量增加而提升，而横杆弹性模量对弯曲振动频率基本无影响。此外，纵杆弹性模量对低阶弯曲频率影响大，而斜杠弹性模量则对高阶弯曲频率影响大。这是因为桁架弯曲振动时，主要是上下两根纵杆一根抗拉，另一根抗压，所以纵杆的拉伸刚度对桁架的弯曲振动频率影响更大。当杆件横截面积不变时，纵杆弹性模量对桁架弯曲振动频率影响更大。
3结论
基于能量等效原理，获得了周期胞元结构平面桁架的Timoshenko梁模型，证明了该双隔间胞元横截面内应变分量的Taylor级数展开式不仅二阶项为零，其余高阶项均为零。解析给出了不同边界条件下的桁架固有振动频率，通过与有限元计算结果对比，验证了桁架等效连续体模型的正确性和计算精度。结果表明，胞元越多，等效连续体模型计算精度越高；桁架低阶固有振动频率受纵杆弹性模量影响大、高阶固有振动频率受斜杆弹性模量影响大、横杆弹性模量对固有振动频率基本无影响。当对桁架动力学性能设计时，若需增大桁架的低阶固有振动频率可调节纵杆的材料参数，选择弹性模量更大的材料，而若需增大桁架的高阶固有振动频率则可相应调节斜杆的材料参数，从而实现快速结构设计。
摘要：基于能量等效研究了周期胞元构成的平面桁架结构等效动力学建模问题。通过相邻胞元应变协调条件，将胞元的应变场阶次降阶为Timoshenko梁对应的应变场阶次。根据周期胞元的中心位移，获得胞元应变能与动能，进而利用Hamilton原理得到平面桁架结构等效连续体动力学方程。基于等效连续体模型和有限元模型，对周期胞元桁架结构进行了固有特性分析，验证了等效连续体模型的正确性和精度。
关键词：结构动力学；平面桁架；周期胞元；连续体；能量等效
中图分类号：V414.2 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2018）01-0067-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.008
引言
桁架结构由于具有构造简单、质量轻、方便收拢及展开等特点而广泛地应用于航天领域，如作为卫星天线的框架、太空望远镜的支撑结构、空间站的骨架等。这些大型空间结构通常由多个几何形状、材料均相同的单元（简称为胞元）周期排列而成。如果能利用这种结构内部胞元周期排列特征建立简化等效动力学模型，则不仅可以降低动力学分析的计算量，而且可以为动力学控制提供降阶模型。
人们很早就考虑采用均匀化方法，建立具有周期排列胞元桁架的等效连续体模型。例如，Heki和Saka建立胞元与连续体相应微段力之间的关系，得到了各向异性结构的拉伸、弯曲、剪切刚度以及它们之间的耦合项，并讨论了不同胞元的稳定性。该领域的相关工作建立了不同构型桁架胞元的等效刚度矩阵和质量矩阵，比较了它们的有效刚度，即刚度与密度的比值。Noor和Russel建立了含周期排列胞元的长方体状桁架等效连续体模型。由于胞元的不对称性，该桁架的轴向变形与剪切变形，弯曲与扭转均存在耦合。Lee采用谱元法建立了一个含周期排列胞元的大型梁结构的连续体模型，通过组装胞元内每个构件的谱元矩阵得到转换矩阵。Burgardt和Cartraud基于能量等效，用平均化方法建立了平面梁型桁架的连續体模型，并对其进行了静力学分析。
近期，salehian和Inman研究了由周期排列胞元组成的直线式平面桁架的等效连续体模型。该桁架胞元由一个四边形单元（单隔间）构成，由单隔间组成的胞元对其横截面内应变分量进行Taylor级数展开时无需考虑二阶项的影响。他们基于能量等效得到等效连续体模型，分析了桁架面内振动的动力学特性。此外，他们研究了连续体等效动能计算时应变项对等效精度的影响、桁架中阻尼等效以及胞元中含绳索等动力学问题。郭宏伟和刘荣强针对由单隔间胞元构成的横截面为矩形的索杆铰接式伸展臂，研究了等效连续体模型，刘福寿和金栋平在研究大型环形桁架天线时，将单隔间胞元等效为一维空间梁，得到了由多个一维梁拼接而成的简化模型。
本文研究对象是一种由周期排列胞元组成的平面桁架，它在航天领域有广泛应用。与salehian和Inman的研究对象不同之处是，该桁架的胞元由两个四边形单元（双隔间）构成。为充分考虑横截面内的局部变形，Noor等在对这种类型胞元横截面内的应变分量进行Taylor级数展开时取到二阶项，本文则研究了其他高阶项的影响。郭宏伟等与刘福寿等在推导等效连续体模型时先计算胞元的动能和应变能，使之与等效连续体模型的动能和应变能分别相等，从而得到连续体模型的等效质量矩阵和刚度矩阵。本文在得到了胞元的动能和应变能后，直接运用Hamilton原理建立连续体模型的偏微分动力学方程，解析求解不同边界条件下桁架固有振动频率，通过与有限元结果对比，验证等效模型的正确性。本文还基于等效连续体模型，分析弹性模量对桁架各阶固有频率的影响，得到有助于结构动力学性能设计的结论。
1平面桁架的等效连续体模型
研究图1所示含有周期胞元的平面桁架结构，每个胞元由4根纵杆、2根斜杆及3根横杆组成，图中l，b和d分别对应于纵杆、横杆和斜杆。由于左右两侧横杆为相邻两个胞元所共用，因此计算横杆的截面特性时取为原值的一半。在建立桁架等效连续体梁模型时，需要推导胞元应变能及动能关于胞元中心处位移分量导数的表达式。将这些位移分量作为连续体梁模型的位移分量，利用Hamilton原理得到桁架的偏微分动力学方程。
1.1胞元应变能
对于图1中平面桁架的典型胞元，按照右手定则建立原点位于胞元中心的直角坐标系o-xz。对于小变形，胞元横截面任意点x和z轴上位移分量u和w沿x轴线性变化，因而可将横截面上任意点的位移表示为
2算例分析
根据式（29）解析求解不同边界条件下的固有振动频率。为验证梁等效模型的正确性，运用Patran建立平面桁架的有限元模型，采用bar单元离散桁架中的杆件。以有限元计算结果作为参考值，定义相对误差为
（31）式中fi和feqi分别为桁架有限元模型和梁等效模型的第i阶固有频率。表1和2分别为两端简支边界条件下9个胞元组成的平面桁架弯曲固有振动和轴向固有振动的频率对比。结果表明，采用等效模型解析得到的固有频率与有限元计算结果相互吻合。随模态阶次提高，梁等效模型的误差逐渐增大。这是由于低阶模态波长更大，单个波长包含的胞元数目更多，等效模型的误差就会更小。
为进一步验证等效连续体模型的精度，现对比分析连续体模型和有限元模型在两端自由边界条件下的弯曲固有振动频率和轴向固有振动频率，结果如表3和4所示，可见等效连续体模型具有较高精度。
两端简支含不同胞元数的桁架等效连续体模型计算精度如图3和4所示。由图4可见，当胞元数增加时，等效连续体模型的各阶模态等效精度逐渐增加，这是由于胞元数增加，单个波长包含更多的胞元数目，桁架的梁特征更加显著。
得到了等效连续体模型后，可比较方便地分析不同材料参数、结构参数对桁架固有振动特性的影响。图5给出了横杆、纵杆、斜杆弹性模量对两端简支桁架各阶弯曲振动频率的影响。纵坐标增大的百分比定义为
由图5可见，弯曲振动频率随着纵杆和斜杆的弹性模量增加而提升，而横杆弹性模量对弯曲振动频率基本无影响。此外，纵杆弹性模量对低阶弯曲频率影响大，而斜杠弹性模量则对高阶弯曲频率影响大。这是因为桁架弯曲振动时，主要是上下两根纵杆一根抗拉，另一根抗压，所以纵杆的拉伸刚度对桁架的弯曲振动频率影响更大。当杆件横截面积不变时，纵杆弹性模量对桁架弯曲振动频率影响更大。
3结论
基于能量等效原理，获得了周期胞元结构平面桁架的Timoshenko梁模型，证明了该双隔间胞元横截面内应变分量的Taylor级数展开式不仅二阶项为零，其余高阶项均为零。解析给出了不同边界条件下的桁架固有振动频率，通过与有限元计算结果对比，验证了桁架等效连续体模型的正确性和计算精度。结果表明，胞元越多，等效连续体模型计算精度越高；桁架低阶固有振动频率受纵杆弹性模量影响大、高阶固有振动频率受斜杆弹性模量影响大、横杆弹性模量对固有振动频率基本无影响。当对桁架动力学性能设计时，若需增大桁架的低阶固有振动频率可调节纵杆的材料参数，选择弹性模量更大的材料，而若需增大桁架的高阶固有振动频率则可相应调节斜杆的材料参数，从而实现快速结构设计。
