素材美中寻，设问动中找

    刘鑫

    

    

    

    [摘 ?要] 以60°、120°、60°、120°为内角的一般平行四边形和菱形，是教材中很常见的两种图形，它们组合起来的图形端庄、美观，用它们作为命题素材，从中能探究出有价值的结论.

    [关键词] 江西中考;动态探究;命题过程

    2019年江西省中考数学第22题是一道动态探究型试题，是几何压轴题. 现将该试题的命制过程展现出来，与大家分享.

    试题呈现

    在图1、2、3中，已知？荀ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.

    （1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=______°.

    （2）如图2，连接AF，

    ①填空：∠FAD______∠EAB（填“>”“<”“=”）;

    ②求证：点F在∠ABC的平分线上.

    （3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求 的值.

    命题过程

    （一）素材美中寻

    1. 素材的粗选——研究后的顿悟

    根据江西省近几年中考试题的特色、《考前指导》的精神和第22题的定位，它应当是一道平面几何探究题，是一道直线形几何综合题.

    一开始，根据命题组商定和双向细目表的安排，准备用图4作为素材命制这道题. 这个素材的产生，可以说是命题组的教师们对中考试题研究后的顿悟.

    图4中几何元素间的关系是：矩形ABCD中，点E为线段BC上的一个动点，连接AE，以AE为边向上作等腰三角形AEF.

    经过七稿的打磨后发现，用图4作为素材命制出来的试题单调、乏味;并且在查重时发现，图4与2018年其他省的一道试题的图形雷同，于是放弃用图4作为第22题的命题素材.

    2. 素材的加工——素材美中寻

    由于命题时间紧迫，命题组决定，不再另选素材，而是对图4进行改编、加工——把“矩形ABCD”改为“平行四边形ABCD”，把“以AE为边向上作等腰三角形AEF”改为“以AE为边向上作菱形AEFG”，其他不变，大致图形如图5所示.

    大家都知道，平行四边形和菱形因其“倾斜程度”不同，其形状千差万别，为了选取恰当的平行四边形和菱形，命题组用几何画板进行了一系列的比对、筛选.

    最后发现，当∠BAD=60°且∠EAG=120°时（即：平行四边形ABCD和菱形AEFG的内角都为60°、120°、60°、120°），图形最为美——比例协调、线条简洁、重心平稳，其中的两个平行四边形也是教材中最常见的平行四边形;而当∠BAD≠60°或∠EAG≠120°时，图形重心不稳、比例不协调.

    （二）设问动中找

    1. 规律性设问的来源——寻找变化中的不变性

    利用几何画板，对点E进行拖动，就会发现随着点E的运动，菱形AEFG的大小在变化，利用几何画板的追踪功能，对点F和点G进行追踪就会发现，它们留下的痕迹分别是两条线段l 和l （如图6）.

    如何理解线段l 呢？——认真观察、分析就会发现，线段l 就相当于是线段BC绕点B旋转60°得到的：因为点F可以看作是点E绕点A旋转60°得到的，这样，射线BF与BA，BC的夹角都是60°.

    于是，我们得到猜想：点F在∠ABC的平分线上.

    对于线段l ，命题组没有找到有价值的结论，也没有在上面进行深挖.

    2. 综合性设问的来源——抓住特定的瞬间

    为了寻找更综合的问题，命题组在图6的基础上删除线段l ，l 和射线BF，增加了两条射线：射线DG和射线BA，它们相交于点H，并连接线段GE（如图7）

    利用几何画板，拖动点E，就会发现有两处特殊的位置关系：一是线段GE∥HB（如图8），二是点D，F，G，H四点共线（如图9）.

    但是，单独拖动一个点E，不一定能使得GE∥HB和D，F，G，H四点共线同时出现;只有同时拖动点E，B两点，或同时拖动点E，C两点时，才会“偶尔”出现这种特定的位置关系，也就是说，既要改变BE的长，又要改变AB或BC的长，才能出现这种特定的位置关系.

    什么情况下会出现GE∥HB呢？

    执果索因，很容易倒推得到：因为∠AEF=60°，要使GE∥HB，就必须满足∠BAE=∠AEG=30°，此时BE=AB.

    什么情况下会出现D，F，G，H四点共线呢？

    初步分析可知，当D，F，G，H四点共线时，DH必须与AE平行.

    所以，问“什么情况下，GE∥HB和D，F，G，H四点共线同时出现”就等同于问“什么情况下，四边形AEGH是平行四边形”.

    作为几何压轴题，这个问题该怎么问呢？

    下面介绍我们命题组是怎样打磨这个问题的.

    我们按照图10至图13的顺序，进行手工画图：

    ①如图10，首先画好？荀ABCD的一部分（暂时不确定点C，D的具体、准确位置），使得∠ABP=120°，同时在射线BP上截取BE=AB（以保证GE∥AB）;连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，使得∠EAG=120°，并作射线BA.

    ②如图11，沿箭头方向分别延长线段GF和线段FG.

    ③如图12，直线GF交射线BA于点H，交射线AQ边于点D.

    ④如图13，过点D作DC∥AB交射线BP于点C，完成？荀ABCD的画图.

    利用图13，可以得到这样的结论——当 =3，且BE=AB时，四边形AEGH是平行四边形.

    （三）设问排列细斟酌

    综合种种因素，最后决定：在点E的“起步”位置设置一个简单的填空作为问题（1），并提供相应的图1;把猜想“点F在∠ABC的平分线上”作为第2问，为了降低难度，在它前面还增加一个铺垫性的填空“∠FAD______∠EAB（填“>”“<”“=”）”;把综合性的结论“当 =3，且BE=AB时，四边形AEGH是平行四边形”倒过来设问，并把它作为最后一问.

    试题题干采用“通览式”的表述：“在图1、2、3中……”，这样，就不再纠结图1与图2的排列顺序了.

    试题简析

    （一）综合性强

    本试题只有77个汉字，图文简洁、明了，表述准确，几何元素间的关系简单、清晰，综合地考查了线段、角度、三角形、全等三角形、四边形、平行四边形（特别是特殊平行四边形）等几何知识;考查了分类讨论、几何变换等数学思想方法;考查了综合应用所学知识分析问题、解决问题的能力和探究能力;考查了逻辑推理、直观想象等核心素养.

    （二）入手易，区分度好

    阅卷中发现，绝大部分学生都能正确回答问题（1）和问题（2）的第一小问，这说明达到了我们的送分目的.

    阅卷中还发现，考生在证明点F在∠ABC的平分线上时，思路广阔，思维灵活，方法很多.

    抽样调查发现，本试题平均分为2.72，说明入手易，有区分度，起到了压轴效果，体现了选拔功能.

    （三）导向性好

    本試题取材于教材，有力地考查了学生的数学活动经验，还体现了信息技术与学科的深度融合，表现了很好的导向性.