任意形状固支板横向振动的边界保角映射解法
袁运博 李宏亮 刘洪达 郭宜斌 王东华 率志君
摘要：基于边界保角映射法建立了任意形状固支板横向振动特性分析的半解析方法。在极坐标系下，以一般弹性薄板横向振动的位移解析函数为基础，引入边界保角映射的概念，将任意形状板中面的外边界线映射为映射平面内的单位圆周线，在映射平面内推导了任意形状板横向振动转角函数的统一表达式。根据固支边界条件，在映射平面内建立了用于确定任意形状固支板横向振动固有频率和模态振型的特征方程。椭圆板、矩形板和马蹄形板3个算例分析结果与现有公开发表结果及有限元结果的对比表明，所提方法能高精度地获得任意形状固支板横向振动的固有频率和模态振型。
关键词：横向振动;任意形状板;边界保角映射法;固支边界
中图分类号：0326;0327文献标志码：A 文章编号：i004-4523（2020）05-0921-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.007
引言
弹性板结构广泛地应用于船舶与海洋工程、航空航天工程、车辆工程和建筑与桥梁工程等众多工程领域。常见的弹性板结构除矩形和圆形外，还包含其他复杂形状，如椭圆形和马蹄形等。熟悉各种形状弹性板的振动特性是合理且正确地利用这些板结构的前提条件。
弹性板的横向振动问题自上世纪以来得到了广泛的研究。chakraverty和Kumar分別回顾了近些年弹性板结构横向振动方面的研究进展。虽然关于弹性板结构横向振动的研究众多，但主要集中于矩形板和圆形板等简单形状板，而针对任意形状弹性板横向振动的研究相对较少。
有限元法和边界元法是分析任意形状板横向振动的一般化商业方法，有少数学者利用不同的数值方法研究了任意形状弹性板横向振动问题。Bucco等采用有限条法和挠度等值线法的结合获得了圆环板的前两阶固有频率和其他形状板的基频固有频率。Geannakakes利用梁的特征多项式来表征板的位移函数，分别基于有限条法和瑞利一里兹法研究了任意形状板的横向振动特性。Kang等提出了一种利用无量纲动态影响函数法分析任意形状板的横向振动特性的离散化方法，该方法采用与边界元法相似的离散化方法，但是不需要插值函数，因此通过少量的数值计算，即可得到近似解。然而，Kang等指出当选取的分析节点过多时，他们的方法可能存在系统矩阵病态的严重缺点。
虽然学者们提出了很多用于矩形板和圆板等简单形状板横向振动特性研究的解析和半解析方法，如分离变量法、改进傅里叶级数法、积分变换方法和辛叠加方法等。但是对于其他形状更为复杂的弹性薄板，由于无论在极坐标系、直角坐标系，还是椭圆坐标系下都难以根据边界约束条件列写统一的控制方程，因此，针对任意形状板横向振动特性的研究，主要为数值近似方法，如：有限条法、瑞利一里兹法和无量纲动态影响函数法。另外，部分学者利用保角映射法与能量法或伽辽金法相结合的方法，研究了不同形状板的横向振动特性。在这些文献中，保角映射法仅被用于将复杂的形状映射为简单形状，而固有频率仍需利用其他方法求解得到，如：伽辽金法、瑞利法和瑞利-里兹法，因此其本质仍是数值近似方法。
针对目前对于任意形状板横向振动的研究缺少解析和半解析方法的问题;以及在极坐标系、直角坐标系和椭圆坐标系下，难以根据边界约束条件列写任意形状板横向振动控制方程统一表达式的难题。本文借鉴经典保角映射的概念，提出了一种基于边界保角映射法的用于任意形状固支板横向振动特性分析的半解析化方法。所提方法直接以任意形状板横向振动在极坐标系下的位移解析函数为出发点，从而可保证本文方法具有较高的求解精度。
1理论模型
1.1控制方程和横向位移
表2给出了贝塞尔函数展开截断项N=16时固支矩形板的前25阶无量纲固有频率Ω。由表中数据可知，本文方法计算结果与文献[4]的结果及有限元分析结果吻合良好。与表1相似，表2中的偏差均为本文方法结果与有限元（ANSYS）结果之问的偏差，对于本算例中的固支矩形板而言，前25阶无量纲固有频率Ω的最大偏差为-0.90%。
本文方法和有限元计算得到的固支矩形板前9阶模态振型对比如图6所示。由于本算例的矩形映射函数式（24）为具有一定截断误差的近似映射函数，导致由映射函数获得的矩形的4个尖角处为小曲率半径的弧线过渡，该现象可直观地从图6（a）中看出。在这种近似处理情况下，本文算法仍可高精度地获得固支矩形板的固有频率和振型，前25阶固有频率最大偏差为-0.90%;对比图6（a）和（b）可可以发现，本文方法计算得到的前9阶模态振型与有限元结果吻合良好。
理论上而言，为使由映射函数获得的矩形的形状与实际形状吻合度更高，可以增加映射函数式（24）的项数。但是在实际计算中，在满足一定精度的条件下，再增加映射函数的项数是没有意义的，反而会增加计算时长。
2.3马蹄形板
表3给出了贝塞尔函数展开截断项N=14时固支马蹄形板的前25阶无量纲固有频率Ω。由于尚无公开发表结果，本算例中，本文方法计算结果仅与有限元分析结果进行对比，对比分析可得两种结果吻合良好。对于本算例中的固支马蹄形板而言，前25阶无量纲固有频率Ω的最大偏差为-0.76%。
本文方法和有限元计算得到的固支矩形板前9阶模态振型对比如图8所示。与2.2节中矩形板算例相似，本算例中的马蹄形板映射函数式（25）也是具有一定截断误差的近似映射函数。在这种近似处理情况下，本文算法仍可高精度地获得固支马蹄形板的固有频率，前25阶最大偏差为-0.76%。同时，对比图8（a）和（b）发现，在近似映射函数式（25）条件下，本文方法计算获得的前9阶模态振型与有限元结果基本一致。
3结论
根据经典保角映射的概念，提出了一种基于边界保角映射法的用于任意形状固支板横向振动特性分析的半解析化方法，通过椭圆板、矩形板和马蹄形板3个算例分析，验证了本文方法的正确性和可靠性，并得到如下结论：
（1）难以在传统直角坐标系、极坐标系和椭圆坐标系下给出统一数学函数表达式的任意形状板的转角，通过引入边界保角映射，可在映射平面内方便地给出。
（2）基于边界保角映射建立的半解析化方法，可以精确地获得固支椭圆板、固支矩形板和固支马蹄形板横向振动的固有频率和模态振型。本文方法获得的3种板的前25阶固有频率与有限元结果之问的最大偏差均小于1.00%，分别为-0.37%，-0.90%和-0.76%;本文方法获得的这三种板的前9阶振型与有限元得到的前9阶振型均吻合良好。
