转化运动条件，分段构建模型
万春
[摘? 要] 几何动点问题的难点集中体现在“动”字，包括处理动态条件、求解动态线段、转化动态模型. 实际解题时可围绕运动公式，由点求线、以线建模，合理利用分类讨论思想，把握运动临界点来构建模型，实现动态模型的具体化. 文章将以一道几何双动点问题为例，探究解题过程，开展教学微设计，反思解题教学.
[关键词] 几何;动点;函数关系
几何动点问题是中考常见问题类型，该类试题往往以动点为依托，引出动线，然后构建动态图形. 设问常以一个或多个动点作为变量，探究变量之间的关系，或以动态图形为重点，探究图形特性. 问题突破时需要关注点的运动过程，分析图形的变化，然后把握图形的特殊时刻来构建模型，分步讨论. 下面以2020年黑龙江省的中考数学卷考题为例，开展解题突破，进行解题反思.
问题呈现
考题：（2020年黑龙江中考卷）如图1所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2-3x-18=0的根，连结BD，∠DBC=30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止;点M沿线段DA以每秒 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t>0）.
（1）线段CN=________;
（2）连结PM和MN，求△PMN的面积S与运动时间t的函数关系式;
（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标.
思路探究
本题目以矩形为背景，涉及双动点沿着不同的方向，以不同的速度進行运动，由于点P和M的运动，使得以其为顶点构建的图形呈现动态变化状态. 后续的分析需要把握运动过程的特殊时刻、特殊位置，构建问题模型，利用基础知识求解.
第（1）问——解析方程，几何探究
该问求线段的长，考查几何基础知识. 设定AB长是方程x2-3x-18=0的根，则可求出AB的长，点N是直角三角形的直角顶点，利用直角三角形特性即可逐步求出CN的长.
AB是方程的解，变形方程可得（x-6）（x+3）=0，线段长为正值，则AB=6. 根据矩形特性可知AD=BC，AB=CD=6，∠BCD=90°. 又知∠DBC=30°，则BD=2CD=12，BC= CD=6 ，所以CN=? BC=3 .
第（2）问——分类讨论，构建模型
该问构建了△PMN，解析三角形面积与运动时间t之间的函数关系. 可将△PMN视为是以点M为顶点，PN为底的三角形，则点P的位置变化将影响到底PN的表示方法，故需要对点P的位置进行讨论.
如图2所示，过点M作BD的垂线，设垂足为点H，则MH就为△PMN的高，可将其面积表示为S= PN·MH. 由运动条件可知MD= t，在Rt△MDH中，已知∠DBC=30°，则MH= MD= t，可求得BN= CN=9. 需分点P位于BN段、点N处和ND段三种情形讨论△PMN面积的构建.
情形一：当点P位于BN段上时，0<t<
情形二：当点P位于点N处时，t= ，此时P、N、M三点无法构建三角形，故其面积S=0;
情形三：当点P位于ND段时， <t≤6，此时PN=2t-9，则S= PN·MH= （2t-9）· t= t2-? t;
综上，当0<t< <t≤6时，s="t2-?"
第（3）问——把握特性，充分讨论
该问讨论△PMN是以PN为腰的等腰三角形时点P的位置，虽然设定PN为腰，但结合等腰三角形特性，可知存在PN=PM和PN=NM两种情形. 后续解析点坐标可结合勾股定理来构建方程，求解点P的运动时间，进而确定点P位置.
如图3所示，过点P作BC的垂线，设垂足为点E. 显然若PN为等腰三角形的腰，则点P一定位于线段BN上，此时PN=9-2t.
当PN=PM=9-2t时，在Rt△PHM中使用勾股定理，可得PM2=MH2+PH2，则（9-2t）2= t +12-2t- t ，可解得t=3或t= ，所以BP=6或 . 当BP=6时，由于∠DBC=30°，则PE=sin30°·BP= BP=3，BE=cos30°·BP= BP=3 ，所以点P的坐标为（3 ，3）;当BP=? 时，同理可求得点P的坐标为 ， ;
当PN=NM=9-2t时，在Rt△NHM中使用勾股定理，可得NM2=MH2+NH2，则（9-2t）2= t + t-3 ，可解得t=3或24（舍去），则BP=6，所以点P的坐标为（3 ，3）;
综上可知，点P的坐标为（3 ，3）或 ， .
教学微设计
在实际教学中建议采用教学微设计的方式，由易到难引导学生逐步剖析问题，帮助学生构建解题思路. 以上述考题为例，可分如下四个环节.
环节（一）——读题审题，信息处理
问题条件：如图4所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2-3x-18=0的根，连结BD，∠DBC=30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止;点M沿线段DA以每秒 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t>0）.
设问①：求出边AB的长，分析△DBC与△NCD的关系;
设问②：提取条件中的动点运动要素，用含有t的参数表示BP和DM的长.</t</t
教学引导：①教学中引导学生通过解方程求出AB=6，关注△DBC与△NCD的内角关系，确定△DBC∽△DCN，则∠DCN=30°，可在Rt△DCN中使用三角函数直接求出CN的长.
②引导学生处理动态要素，即点P，B→D，v=2单位长度/秒;点M，D→A，v= 单位长度/秒. 后续利用运动公式可得BP=2t，MD= t.
环节（二）——动静结合，分段讨论
在环节（一）的基础上添加如下条件：连结PM和MN，构建△PMN，过点M作BD的垂线，设垂足为点H.
设问①：将△PMN视为是以点M为顶点，PN为底的三角形，则如何表示其面积，MH为PN上的高，试求其长度.
设问②：点P在BD上运动，请以点N为临界点，分别计算其运动时刻及PN的长度.
教学引导：①引导学生根据设问构建合理的面积模型，即S= PN·MH，后续只需要分别求PN和MH的长即可表示面积. 在Rt△MDH中，已知MD= t，∠MDH=30°，则MH=MD·sin∠MDH= t.
②求△PMN面积的难点主要集中在求PN上，结合点P移动位置分段求解. 引导学生分BN、点N、DN三段，计算出点P运动到点N的时刻：t= = ，运动到点D时刻：t= =6. 然后在此基础上求解PN的长，即当0<t< <t≤6时，点p在dn段上运动，此时pn="2t-9."
解后探讨
上述是关于双动点的几何探究题，考题共分三小问，分别解析线段长，求面積函数，讨论等腰三角形特性，问题难度由浅入深. 首先引导学生处理动点条件，然后联系动点构建面积模型，最后深入结合几何特性讨论动点位置. 考题的分层设问旨在引导学生合理处理动点条件，灵活利用动点条件构建模型，联系特殊图形性质. 上述考题的解析过程有如下几点启示.
启示一：把握点动要素，构建与线段关系
点的运动过程必然涉及三大要素：速度、时间、方向，结合三要素可将其转化为线段长，即根据物理上利用点动的速度和时间推导路程. 因此在已知点动速度的前提下，可将线段长表示为关于时间t的函数，这也是几何动点问题的常见处理方法. 教学中建议引导学生回顾运动公式，联系动点条件建立与线段长的关系，掌握动点条件的转化方法.
启示二：考虑动点位置，分段构建模型
点动过程必然会影响到图形的形状，在分析几何特性时需要充分考虑动点位置，尤其是求解双动点问题. 如上述讨论三角形面积，考虑动点位置的影响，分段构建模型;解析等腰三角形，结合等腰特性来分情形讨论. 问题解析通常结合动点对图形的影响进行位置分段，一般考虑两点：一是对线段函数的影响;二是对图形形状的影响，适用于面积类问题. 教学中建议引导学生关注动点轨迹，探究点动对线段的影响，采用分段的策略构建模型.
启示三：重视解题策略，利用思想方法
动点问题是几何动态问题类型之一，问题的难点有两个：一是转化动态条件，二是构建几何模型. 动态问题与常规问题的区别体现在“动”，因此需要采用合理的解题方法实现化“动”为“静”. 上述解析时围绕点动的特殊位置，分段求解线段长，采用数形结合、分类讨论的思想方法构建几何模型，该解题策略在解析动点问题时十分有效. 因此，教学中建议重点放在解题策略的探究上，引导学生把握动静结合的临界点，将动态模型具体化，同时注重思想方法渗透，让学生逐步感悟方法的思想内涵，提升数学素养.</t
