N维阵研究及其地学应用

基金项目：国家自然科学基金项目(41172302,40672196)
摘要：提出了N维阵的概念和常用的几种定义和运算，包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积，给出了其性质及相应的说明；指出立体阵是N维阵的一个特例。N维阵方法的优势在于对多维数据表示更加简洁，理论分析较方便。最后，通过江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究和浙西地区铜多金属矿成矿预测，说明了N维阵在实际问题应用中的方法及步骤。N维阵在处理地学多维数据方面有着重要的应用前景。
关键词：数学地质；N维阵；方括号乘法；Hadamard积；立体阵；元素组合；成矿预测
中图分类号：P628；O189.12文献标志码：A
Study of Ndimensional Matrices and Its Application in Geology
SHEN Wei
(State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of
Geosciences, Beijing 100083, China)
Abstract: A new basic concept of Ndimensional matrices was presented by the cubic matrices conception. The definition and arithmetic （including addsubtract, bracket multiplication and Hadamard product） of Ndimensional matrices were studied and proved. The cubic matrices was a special case of Ndimensional matrices. The multidimensional data were expressed more brief and facility in theoretical analysis by the method of Ndimensional matrices. The geological examples, which included the research on CuZnAbAgSnAs element combination anomalies in the middlewest of JiangshanShaoxing matching belt and the metallogenic prediction of copper polymetallic ore in the western of Zhejiang, were given to illustrate the method and procedure of Ndimensional matrices in geological application.The method of Ndimensional matrices is considered as a good tool in exploration and forecast.
Key words: mathematical geology; Ndimensional matrices; bracket multiplication; Hadamard product; cubic matrices; element combination; metallogenic prediction
0引言
在地学研究中，经常遇到多维数据，例如对于许多复杂的地质现象，要考虑全局范围各个方向的平稳性，即区别各向同性或各向异性分布规律，同时它们包含多个因变量和层次，每个因变量和层次具有不同的统计特征，必须用多变量与多个参数（即多维数据信息）来描述，才能全面刻画其特征。在矿床预测研究中经常遇到以下难题：矿质运移及其空间展布具有多维性；矿床演变与控矿构造具有多层次、多阶段性等［19］。目前，对于地质模型研究常用方法有非线性逻辑回归模型、多维对数线性模型、多维标度法和数量化理论等［1011］，但这些方法主要用于处理二维数据，因此，提出和研究处理多维数据的新方法是非常必要的［12］。N维阵概念的提出和应用，为研究多维数据提供了一个有力的工具。笔者提出了N维阵的概念、常用的几种定义和运算，包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积，同时研究了其性质，认为N维阵在处理地学多维数据中有重要应用前景。
1N维阵的定义
定义1.1称r1×r2×…×rn的n维数组S为N维阵，S=(si1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。
例如，当n=4时，i4、i3分别表示横坐标与纵坐标（或经纬度），i2表示高度（或高程），si1i2i3i4表示第i1种地球化学元素（如金）在三维坐标(i2,i3,i4)处的数值，i1=1，2，…，r1。
定义1.2设S和T均为r1×r2×…×rn的N维阵，定义S与T之和（差）为S±T=(si1i2…in±ti1i2…in) ，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。
例如，当n=4时，si1i2i3i4+ti1i2i3i4表示两类地质变量数据（如物探数据和化探数据）si1i2i3i4与ti1i2i3i4在三维坐标(i2,i3,i4)处的数值之和，i1=1，2，…，r1。
定义1.3设A为m×r1阶矩阵，S为r1×r2×…×rn的N维阵，定义A与S的方括号乘法T=［A］［S］为一个m×r2×…×rn的N维阵，即tsi2i3…in=∑r1 k=1askski2i3…in，1≤s≤m，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，…，1≤in≤rn。
特别地，当n=4时，当A等于a，为一个r1维向量时，T=［A］［S］为r2×r3×r4的三维阵，即ti2i3i4=∑r1 k=1akski2i3i4，1≤i2≤r2，1≤i3≤r3，1≤i4≤r4。例如，a=（a1，a2，…，ar1），其中，ak是权数，∑r1 k=1ak=1，ti2i3i4表示r1种地球化学元素（如金）si1i2i3i4在三维坐标（i2,i3,i4）处的加权数值之和，i1=1，2，…，r1。
方括号乘法的基本性质为
［A±B］［S］=［A］［S］±［B］［S］（1）
［A］［S±T］=［A］［S］±［A］［T］（2）
式中：A、B为m×r1阶矩阵。
定义1.4设S和T均为r1×r2×…×rn的N维阵，定义S与T的Hadamard积ST=(si1i2…in·ti1i2…in)，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。
Hadamard积的基本性质为
ST=TS（3）
（ST）U=S（TU）（4）
（S+T）U=SU+TU（5）
式中：S、T、U均为r1×r2×…×rn的N维阵。
定义1.5设k为一个常数，S为r1×r2×…×rn的N维阵，定义T=kS=(ksi1i2…in)，为r1×r2×…×rn的N维阵，1≤i1≤r1，1≤i2≤r2，…，1≤in≤rn。
2立体阵的定义
立体阵的概念及运算最早由Bates等在1980年提出［13］，1983年Tsai在博士论文中对其进行了初步整理，1989年中国学者韦博成在Tsai博士论文的基础上进行了系统总结和扩充［14］。立体阵在非线性模型的非线性强度度量中有广泛的应用，在估计非线性模型的固有曲率和参数效应曲率时，起着关键的作用，在非线性回归分析、搏弈论与经济学等中都有广泛的应用前景。实际上，立体阵是N维阵的一个特例（n=3）。
定义2.1定义n×p×q的三维数组X=(xkij)为立体阵［13］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。其表达式为
X=X1
X2

Xn（6）
其中Xk=xk11 … xk1q

xkp1 … xkpq
例如，j、i分别表示横坐标与纵坐标（或经纬度），xkij表示第k种地球化学元素（如金）在坐标(i,j)处的数值，k=1，2，…，n。
定义2.2设X和Y均为n×p×q立体阵，定义X与Y之和（差）为X±Y=(xkij±ykij)［15］ ，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。
例如，xkij+ykij表示两类地质变量数据（如物探数据和化探数据）xkij与ykij在坐标(i,j)处的数值之和，k=1，2，…，n。
定义2.3设A为m×n阶矩阵，X为n×p×q立体阵，定义A与X的方括号乘法Y=［A］［X］［15］，为一个m×p×q的立体阵，即ysij=∑n k=1askxkij，1≤s≤m，1≤i≤p，1≤j≤q。
特别地，当A=a，为一个n维向量时，Y=［a］［X］为p×q阶矩阵，即yij=∑n k=1akxkij，1≤i≤p，1≤j≤q。例如，a=（a1，a2，…，an），其中ak是权数，∑n k=1ak=1，yij表示n种地球化学元素（xkij）在坐标(i,j)处的加权数值之和，k=1，2，…，n，1≤i≤p，1≤j≤q。
方括号乘法的基本性质(立体阵)
［C±D］［X］=［C］［X］±［D］［X］(7)
［C］［X±Y］=［C］［X］±［C］［Y］(8)
式中：X、Y为2个n×p×q立体阵；C、D为m×n阶矩阵。
定义2.4设X和Y均为n×p×q立体阵，定义X与Y的Hadamard积XY=(xkijykij) ［16］，1≤k≤n，1≤i≤p，1≤j≤q。
Hadamard积的基本性质(立体阵)
XY= YX(9)
（XY）Z=X（YZ）(10)
（X+Y）Z=XZ+YZ(11)
式中：Z为n×p×q立体阵。
定义2.5设k为一个常数，X为n×p×q立体阵，定义Y=kX=kX1
kX2

kXn为n×p×q立体阵。
3应用实例
3.1江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究
江绍拼合带中西段1∶200 000地球化学元素Cu、Zn、Ab、Ag、Sn和As的数据（每个元素的数据量为5 544个）可以组成6×56×99的三维数组X=(xkij)，即立体阵，1≤k≤6，1≤i≤56，1≤j≤99。通过成矿及伴生元素共生组合规律研究，确定相关性较强的元素组合。以相关性较强元素的地球化学观测数据为基础，计算多元素的累加指数值，定量表示和研究地球化学元素组合异常及其空间分布规律。最常用的方法是通过多元相关分析方法，确定成矿元素组合，然后用元素累加指数制作元素组合异常等值线图(图1)。
累加指数计算公式为
(zij)=∑6 k=1xkij ∑56 i=1∑99 j=1xkij/(56×99)=［a］［X］（12）
其中a=∑56 i=1∑99 j=1x1ij/(56×99)
∑56 i=1∑99 j=1x2ij/(56×99)

∑56 i=1∑99 j=1x6ij/(56×99)，
1≤i≤56，1≤j≤99。
3.2浙西地区铜多金属矿成矿预测
根据浙西地区1∶200 000地质图和相关矿种分布图，在对区域地质背景深入分析的基础上，针对
图1CuZnPbAgSnAs元素组合异常等值线
Fig.1Contour Map of CuZnAbAgSnAs Element Combination Anomalies
需要预测矿种与地质背景的关系，提取以下信息作为地质预测变量（图层）：有利地层面积百分比（X1）；地层组合熵（X2）；同熔型及重熔型花岗岩存在与否（X3）；燕山期岩体存在与否（X4）；断裂等密度（X5）；断裂交点数（X6）；银矿点数（X7）；金矿点数（X8）；铅锌矿点数（X9）；铁矿点数（X10）；成矿元素簇团因子异常得分（X11）。
将研究区划分为5 km×5 km的网格单元，共1 755个单元，每个单元可以看作平面上的一个点，计算11个地质预测变量（图层）的每个单元成矿有利度（即铜多金属矿发生的条件概率），其中安徽、江西单元部分（共301个）的有利度设为0。这样，11个地质预测变量（图层）Xk的成矿有利度可以组成11×39×45的三维数组X=(xkij)，即立体阵，1≤k≤11，1≤i≤39，1≤j≤45。其中，i、j表示单元的坐标。将11个地质预测变量（图层）的成矿有利度加权平均，得到浙西地区铜多金属矿成矿有利度等值线图（图2)。
成矿有利度加权平均值为
(yij)=∑11 k=1akxkij=［a］［X］（13）
其中X=X1
X2

X11，1≤i≤39，1≤j≤45
a=（a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，a11）=(012,0.08,0.05,0.09,0.06,0.01,0.19,021,0.01,0.05,0.13)
式中：ak为相应的地质预测变量（图层）权数，∑11 k=1ak=1。
4结语
（1）提出了N维阵的概念、常用的几种定义和
图2铜多金属矿成矿有利度等值线
Fig.2Contour Map of Oreforming Favorability of Copper Polymetallic Deposit
运算，包括N维阵的加减、方括号乘法和Hadamard积，并给出了其性质及相应的说明。
（2）通过江绍拼合带中西段CuZnAbAgSnAs元素组合异常研究与浙西地区铜多金属矿成矿预测，说明N维阵在实际问题中应用的方法及步骤，认为N维阵在处理地学多维数据中有着重要的应用前景。
（3）N维阵方法的优势在于对多维数据表示与分析更加简洁与方便。N维阵也是处理空间和时间地质空间多维数据的有效工具。
参考文献：
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