波形钢腹板-钢底板-混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动频率的参数分析
冀伟 罗奎 马万良 王明宏
摘要：为计算和分析波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的纯弯曲竖向振动频率，在综合考虑剪切剪滞双重效应的基础上，运用Hamilton原理和能量变分法推导出波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动的控制微分方程和自然边界条件。根据自然边界条件，求解得出考虑剪切剪滞双重效应影响的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动频率的计算公式。纯弯曲竖向振动频率计算公式的可靠性得到了已建实桥的频率实测值和ANSYS空间有限元值的验证。最后对波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动频率的影响因素进行了分析。研究结果表明：随着高跨比的增大，波形钢腹板的剪切变形、箱梁的剪力滞效应以及其两者的耦合变形对纯弯曲竖向振动频率的影响程度依次减弱;波形钢腹板的剪切变形对纯弯曲竖向振动频率的影响较大，第4阶纯弯曲竖向振动频率的误差已经达到了52.38%，在实际工程计算中必须考虑其波形钢腹板的剪切变形效应。
关键词：箱梁桥;波形钢腹板;动力特性试验;剪切变形;剪力滞效应
中图分类号：U448.21+3;U441+.3文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）05-1053-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.020
1概述
自20世纪70年代，法国学者PierreThivans提出用可沿桥梁纵向伸缩的波形钢腹板替代传统的混凝土腹板，由此出现了波形钢腹板组合箱梁。国内学者为进一步降低波形钢腹板组合箱梁的自重，解决箱梁的混凝土底板易开裂的缺陷，对波形钢腹板组合箱梁进行优化，提出了波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合箱梁，其中波形钢腹板一钢底板的构造如图1所示。
目前，国外学者对波形钢腹板的研究较多，研究成果主要集中静力学方面。国内的学者针对波形钢腹板组合箱梁的动力特性也做了许多的研究工作：张永健等运用能量變分法推导了波形钢腹板组合箱梁桥的振动频率解析公式，并用模型试验梁进行了验证;郑尚敏等研究了体外预应力对波形钢腹板组合箱梁自振频率的影响，研究表明体外预应力对自振频率的影响可以忽略不计;陈水生等研究了结构参数对单箱多室波形钢腹板组合箱梁动力特性的影响;刘保东等根据其动力特性的特点制定试验方案，对其动力特性进行了实测;李宏江等通过文献调研和实桥调查，介绍了波形钢腹板组合箱梁的自振特性及动力响应研究的最新进展;任红伟等推导了波形钢腹板梁桥扭转振动频率的解析公式;李杰等研究了体外束对波形钢腹板简支梁自振频率的影响;冀伟等对波形钢腹板组合箱梁桥的振动频率进行了试验研究。
文献调查发现，国内外学者还未展开对波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合箱梁动力特性的研究。因此，笔者运用能量变分原理和Hamilton原理，推导出波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动频率的计算公式，最后对纯弯曲竖向振动频率的影响因素进行了分析，所得结论可为今后该类桥型的设计提供一定的参考依据。
2弯曲竖向振动方程的建立
2.1能量变分法的基本假定
（1）桥梁结构在弹性范围内工作，波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁符合“拟平截面假定”;
（2）波形钢腹板承担全部剪力，计算应变能时只考虑其剪切应变能;
（3）不考虑波形钢腹板和混凝土顶板连接处的层问滑移;
（4）忽略波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的扭转变形和普通钢筋的影响。
波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的横截面如图2所示，b和ζb分别表示混凝土顶板箱中部分长度的一半和悬臂部分的长度，hu和hb分别表示箱梁形心轴到混凝土顶板和钢底板形心轴的距离。
3动力特性测试与有限元模型的建立
3.1动力特性测试
选取甘肃省兰州市景中高速机场连接线的主匝道桥进行了动力特性实测，该桥为中国正在建设的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合箱梁，被交通运输部列为全国首批9座钢结构桥梁典型示范项目之一。计算跨径为29.22m，采用4箱单室的截面形式，单箱截面的具体尺寸如图4所示。箱梁混凝土顶板的弹性模量为3.5×104MPa，泊松比为0.20，混凝土的密度为2.5×103kg/m3。波形钢腹板为1200型，波高为20cm，波形钢腹板和钢底板的厚度分别为1cm和1.6cm，钢材的弹性模量为2.1×105MPa，泊松比为0.30，钢材密度为7.8×103kg/m3。在钢底板上设置两道纵向的加劲肋，高度为18cm，箱内每隔4.8m设置一道横隔板。
为了验证所推导的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁纯弯曲竖向振动频率计算公式的正确性，在没有进行桥面铺装之前，采用脉动法对景中高速机场连接线主匝道桥的弯曲竖向振动频率和振型进行了测试，如图5所示。在桥梁的1/4跨、跨中以及3/4跨的桥梁中心线处和两侧对称放置9个竖向拾振器，拾振器的布置图如图6所示，采样频率为256Hz。
通过脉动试验测得的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的功率谱图如图7所示，将脉动试验的实测信号输入东方所的INV3060S型24位信号测试分析系统软件进行分析，识别出各阶弯曲竖向振动频率和振型，本试验主要测得了在建实桥的前3阶弯曲竖向振动频率和振型。
3.2波形钢腹板-钢底板-混凝土顶板组合简支箱梁有限元模型的建立
运用ANSYS 18.0空间有限元软件建立了景中高速机场连接线的主匝道高架桥的三维模型。根据波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的特殊构造，采用SOLID 45实体单元和SHELL 63壳单元两种单元对三维模型进行模拟。波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的混凝土顶板为钢筋混凝土结构，采用SOLID 45实体单元进行模拟，采用SHELL 63壳单元对波形钢腹板、横隔板以及钢底板进行模拟。
波形钢腹板的壳单元与简支箱梁混凝土顶板的实体单元以及钢底板的壳单元，在连接处整排节点共用结点，波形钢腹板的壳单元与混凝土顶板的实体单元连接处，以波形钢腹板壳单元的1排节点为主节点，以体单元的节点为从节点，根据主从节点的自由度建立约束方程，形成刚性连接。波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁三维模型的边界条件为：左端为固定铰支座，即对简支箱梁左端钢箱最底下的1排节点的竖向、纵向以及横向位移进行约束;右端为活动铰支座，即对简支箱梁右端钢箱最底下的1排节点的竖向和横向位移进行约束。AN-SYS有限元模型一共211512个单元，其中SOLID45实体单元58752个，SHELL 63壳单元152760个。建立好的景中高速机场连接线的主匝道高架桥三维有限元模型如图8所示。
4对比验证
4.1不同方法计算的弯曲竖向振动频率比较
将本文所推导的弯曲竖向振动频率求解公式的计算值与已建实桥的实测值和ANSYS三维有限元值进行比较，其对比结果如表1所示。
从表1中可以看出：本文所推导的弯曲竖向振动频率求解公式的计算值、ANSYS三维有限元值以及已建实桥的实测值吻合良好，证实了笔者所推导的弯曲竖向振动频率求解公式的正确性。
4.2不同理论公式计算的弯曲竖向振动频率比较
把景中高速机场连接线的主匝道高架桥的弯曲竖向振动频率分别按照笔者所推导的计算公式、欧拉梁和铁木辛柯梁理论计算前6阶弯曲竖向振动频率值，并进行对比分析，如图9所示。
从图9可以看出，按欧拉梁计算的弯曲竖向振动频率值与笔者所推导的弯曲竖向振动频率公式的计算值差别较大，2阶弯曲竖向振动频率的差值已经达到了23.21%，产生这种现象的原因是本文推导弯曲竖向振动频率计算公式时考虑了剪切剪滞双重效应，欧拉梁并未考虑剪切剪滞双重效应，剪切剪滞双重效应会降低波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的抗弯刚度。按铁木辛柯梁理论计算的弯曲竖向振动频率值与笔者所推公式的计算值差别不是很大，且前6阶弯曲竖向振动频率的差值在1.79%以内。
4.3不同混凝土底板厚度计算的弯曲竖向振动频率比较
把景中高速机场连接线的主匝道高架桥的钢底板改为混凝土底板，分别将其混凝土底板的厚度取为160，180，200，220和240mm，用本文所推导的弯曲竖向振动频率求解公式计算其弯曲竖向振动频率值，讨论其弯曲竖向振动频率值与混凝土底板厚度的关系。根据本文计算公式采用MATLAB自编程序计算不同混凝土底板厚度下的弯曲竖向振动频率值，如表2所示。
从表2可以看出，将波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的钢底板换成混凝土底板后，采用本文推导的公式计算的弯曲竖向振动频率值均比箱梁底板为钢底板时的计算结果要小，说明如果保持其他的几何参数不变，仅将钢底板换成混凝土底板，箱梁的抗弯刚度与单位长度的质量比反而有所降低。
5弯曲竖向振动频率的影响因素分析
5.1波形钢腹板剪切模量是否修正对弯曲竖向振
动频率的影响
运用本文所推导的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的弯曲竖向振动频率求解公式，从是否考虑剪切模量的修正系数分别计算出该桥型弯曲竖向振动的频率值，计算结果如表3所示，两者的差值记为η1。
从表3可以看出，波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的弯曲竖向振动频率与波形钢腹板的剪切模量是否修正关系不大，前4阶弯曲竖向振动频率的差值在3.06%以内，且两者的差值随着频率阶数的升高而出现一种增大的趋势，且增长趋势缓慢。
5.2波形钢腹板剪切变形对弯曲竖向振动频率的影响
只考虑弯曲竖向振动频率求解公式里面波形钢腹板的剪切变形项的计算值与本文公式计算值进行对比，对比结果如表4所示，两者的差值记为η2。
从表4可以看出，波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的弯曲竖向振动频率受波形钢腹板的剪切变形效应影响较大，第4阶弯曲竖向振动频率的差值已经达到了52.38%，且两者的差值隨着频率阶数的升高而急剧增大。因此，在计算该类桥型的弯曲竖向振动频率时波形钢腹板的剪切变形效应不可忽略。
5.3箱梁的剪力滞及其耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响
只考虑弯曲竖向振动频率求解公式里面的箱梁的剪力滞及其耦合效应项的计算值，并与本文公式计算值进行对比，对比结果如表5所示，两者的差值记为η3。
从表5可以看出，波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的弯曲竖向振动频率受箱梁剪力滞及其耦合效应的影响很小，前4阶频率的差值在4.42%以内，且两者的差值随着频率阶数的升高而出现一种增大的趋势，增长趋势较平缓。
5.4高跨比对修正系数βn的影响
为分析波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁在不同高跨比下的弯曲竖向振动频率，采用MATLAB自编程序计算出该桥型在波形钢腹板的剪切变形效应、箱梁的剪力滞效应以及其两者耦合作用下的弯曲竖向振动频率修正系数βn，其修正系数和高跨比的关系曲线如图10所示。
从图10可以看出：①当n（频率阶数）值一定时，修正系数βn随着高跨比的增大而减小，说明高跨比增大，波形钢腹板的剪切变形、箱梁的剪力滞效应以及其两者的耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响将会减弱;②当高跨比h/l一定时，修正系数βn将随n值的增大而减小，说明钢腹板的剪切变形、箱梁的剪力滞效应以及其两者的耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响将随频率阶数的升高而不断减小。
5.5钢底板厚度对弯曲竖向振动频率的影响
假定波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的截面高度、混凝土顶板厚度、波形钢腹板厚度以及横隔板的厚度和数量保持不变，仅仅改变其钢底板的厚度。分别将其钢底板的厚度取为15，16（实桥尺寸），20，25和30mm，用本文所推导的该桥型的弯曲竖向振动频率求解公式计算其弯曲竖向振动频率值，讨论其弯曲竖向振动频率值与钢底板厚度的关系。根据本文计算公式采用MATLAB自编程序计算不同钢底板厚度下的弯曲竖向振动频率值，如图11所示。
从图11可以看出，钢底板的厚度对其基频的影响较大，钢底板的厚度从15mm增加到20mm，20mm增加到30mm，25mm增加到30mm，竖向基频依次增大9.65%，6.83%，5.05%，随着弯曲竖向振动频率阶数的升高，钢底板的厚度改变对其弯曲竖向振动频率的影响程度依次减弱。
5.6基频与现行规范进行对比
2015年出版的《公路桥涵设计通用规范》（JTG D60-2015）第4.3.2条给出了简支梁桥基频的估算公式
采用式（33）对波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁的基频进行了计算，并将计算结果与本文公式所得基频进行比较，对比结果如表6所示。
从表6中可以看出，采用文献[16]中的基频公式计算所得值比本文推导的公式计算的基频值大6.30%。表明采用本文所推导的公式计算该类桥型的基频更加准确。
6结论
（1）本文推导的波形钢腹板一钢底板一混凝土顶板组合简支箱梁弯曲竖向振动频率求解公式的计算值与已建实桥的实测值和ANSYS三维有限元值吻合良好，从而验证了弯曲竖向振动频率求解公式的可靠性。
（2）波形钢腹板的剪切模量是否修正、箱梁的剪力滞以及两者的耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响很小，在实际计算中可以忽略不计。波形钢腹板的剪切变形效应对弯曲竖向振动频率的影响较大，第4阶频率的误差已经达到了52.38%，在实际计算中必须考虑波形钢腹板的剪切变形效应。
（3）当n（频率阶数）值一定时，修正系数βn随着高跨比的增大而减小，说明高跨比增大，波形钢腹板的剪切变形、箱梁的剪力滞效应以及其两者的耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响将会减弱;当高跨比h/l一定时，修正系数βn将随n值的增大而减小，说明波形钢腹板的剪切变形、箱梁的剪力滞效应以及其两者的耦合效应对弯曲竖向振动频率的影响将随频率阶数的升高而不断减小。
（4）钢底板的厚度对其基频的影响较大，随着弯曲竖向振动频率阶数的升高，钢底板的厚度增加对弯曲竖向振动频率的影响程度依次减弱。
