优化参考答案 发挥导向作用

    白雪峰 宋月娟 任媛媛

    

    

    

    [摘? 要] 文章基于一道中考数学试题多种解题方法的比较研究，阐明了参考答案的价值和作用，结合中考复习解题教学改进的实际需求，提出了在教学评价中编制和使用参考答案的具体策略与要求.

    [关键词] 参考答案;导向作用;中考数学试题;一题多解;比较研究

    教学评价既是整体教学理念的引导，又是教学理念变化的反映，而评价的标准是整个评价的核心 [1]. 因此， 从标准的变化中我们可以看出教学理念的变化. 在各种考试评价中，都会提供参考答案，因此，参考答案对师生来说都是非常熟悉的. 在使用参考答案的过程中，师生都能感受到参考答案带来的便利：明确了数学表达的规范格式，有助于指导学生养成良好的书写习惯;提供了便于学生及时自我反馈检测情况的参考依据，有助于学生及时纠正错误;呈现了解题思路和主要方法，有助于教师备课，节省了时间等等[2] . 但是，由于使用参考答案不当以及参考答案自身存在一些缺陷，也带来了一些问题，使得参考答案失去了指导教学改进的导向功能，以及拓展师生解题思路、发现数学内容本质的实践价值. 本文以2019年成都市中考数学第19题为例，阐明了笔者对发挥参考答案价值导向作用的思考与实践，以期和同仁分享.

    问题与解析

    如图1，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=■x+5和y=-2x的图像相交于点A，反比例函数y=■的图像经过点A.

    （1）求反比例函数的解析表达式;

    （2）设一次函数y=■x+5与反比例函数y=■的图像交于点B，连接OB，求△AOB的面积.

    我们知道，在平面直角坐标系中，点的坐标是这样定义的：设A是平面直角坐标系上的一点，过点A作x轴的垂线AM，作y轴的垂线AN，M，N是垂足，则点M在x轴的坐标m和点N在y轴的坐标n一起，记作（m，n），叫作点A在平面直角坐标系上的坐标，简称点A的坐标，记作A（m，n），垂线段AM=m，AN=n.有了这样的理解，如果知道在平面直角坐标系内的三点A，B，C的坐标，那么求△ABC的面积就不必死记硬背那些所谓的公式，应用AM，AN为高线，依据“补形法”便可顺畅求解△ABC的面积.

    ■ 多解与比较

    如图1，（1）由y=■x+5，y=-2x解得x=-2，y=4.所以点A的坐标为（-2，4）. 将（-2，4）代入y=■，得到a=-8. 所以反比例函数的表达式为y=-■.

    （2）由y=■x+5，y=-■解得x=-2，y=4或x=-8，y=1. 所以B（-8，1）.在△ABO中，点A，B，O的坐标分别为A（-2，4），B（-8，1），O（0，0）.

    下面来求△ABO的面积.

    笔者认为，求一个三角形的面积，一般来说可以考虑从以下三个角度入手：第一，考虑这个三角形是否可直接求面积，即是否可以直接求出此三角形的一边及这一边上的高;第二，考虑能否将原三角形看成几个易求面积的三角形的和或者差;第三，考虑将原三角形转化为其他易求的等面积的图形来解决. 实际上，本题中的三角形或可补成其他图形以间接求其面积，但是一般来说，补成的图形边数越多，图形就会越复杂，求解相对也更加困难. 这里仅举几例，旨在说明方法，有兴趣的读者可以做更多尝试.

    解法1?如图2，直线AB：y=■x+5与y轴交于点（0，5），即在y轴上的截距为5，所以 OP=5，过点A，B分别作y轴的垂线AC，BD，垂足为C，D.

    因为点A，B的坐标分别为（-2，4），（-8，1），所以 AC=2，BD=8. 所以S△ABO=S△BOP-S△AOP=■OP·BD-■OP·AC？摇=■OP·（BD-AC）=■×5×（8-2）=15.

    说明解法1从直线AB与y轴相交这个条件出发，发现△ABO面积是△BOP与△AOP面积的差，且△BOP与△AOP有公共边OP，OP易求且长度为5.

    解法2?类似于解法1，如图3，直线AB：y=■x+5在x轴上的截距为-10，所以OQ=10. 过点A，B分别作x轴的垂线AM，BN，垂足为M，N. S△ABO=S△AOQ-S△BOQ=15.

    说明?解法2是从直线AB与x轴相交这个条件出发，将△ABO面积看成是△AOQ与△BOQ面积的差，借助于A，B，Q三点坐标求解. 解法2相较于解法1，需先求出Q的坐标，计算量略微增多，难度也略有增加.

    解法3?如图4，过点A，B分别作x轴的垂线AM，BN，垂足为M，N. 由模型可知： S△ABO=S梯形AMNB. 所以S△ABO =■（y1+y2）（x1-x2）=■（1+4）[（-2）-（-8）] =■×5×6=15.

    说明?实际上，在解法3中，应用反比例函数 y=-■解析式得x·y=-8，所以x·y=8，所以S△AOM =S△BON=4. 去掉其公共部分的△POM，S△AOP =S梯形BNMP，应用题目中反比例函数图像及其特殊的性质，割去△MOP而补成梯形BNMP，这种解法计算难度不大，不过对于学生来说不易想到.

    解法4?如图5，过点A，B分别作y轴、x轴的垂线AM，BN，垂足为M，N，设AM，BN交于点Q. 这样所求△ABO的面积就转化为从矩形MONQ的面积中，减去三个三角形，即减去△AOM、△BON和△ABQ 的面积.

    说明?解法3和解法4采用的都是典型的“割补法”，其中解法3是将△ABO补成梯形进行求解，而解法4则是将△ABO补成矩形进行求解. 应该说，解题思路是比较简单的，但计算量较解法1和2有所增加.

    解法5?如圖6，因为点B（-8，1），所以直线BO：y=-■x.

    过点A作AN⊥x轴，垂足为N，且交BO于点C，则yC=■. 所以 S△ABO=■AC·（xO-xB）=■4-■（0+8）=15.

    说明?实际上，我们还可以拆分△ABO成两个具有公共边的三角形. 如图6，如果过点B作AN的垂线，垂足为M. 作BP垂直x轴于点P，OP=8. 这样原△ABO被分成两个三角形△ABC和△AOC，公共边为AC. 所以S△ABO = S△ABC+S△AOC=■AC·BM+■AC·ON=■AC·（BM+ON）=■AC·OP=15.

    解法6?如图7，因为点B的坐标为（-8，1）. 过点B作BC⊥y轴于点C，交AO于点D. 将y=1代入y=-2x，解得x=-■. 所以D-■，1，所以BD=■. 所以S△ABO=■×■×4=15.

    说明在上述解法中，基于过点B作垂直于y轴的直线，将△ABO分成了两个三角形△ABD和△BOD，且两个三角形具有公共边为BD. 实际上，如图7，我们还可以过点A作AF⊥x轴于点F，与BD交于点E，则EF=OC. 于是S△ABO=S△ABD+S△BOD=■BD·AE+■BD·OC=■BD·AE+■BD·EF=■BD·AF. 即S△ABO =■BD（yA-yO）=15.

    事实上，笔者认为解法5和解法6都是通过分割△ABO求得结果，解题中所产生的计算既复杂又不易理解，不如利用点A，B的坐标和补形法相结合而产生的解法1和解法2来得简单. 实践出真知，数学的解题也是如此.

    解法7 如图8，过点B作BC∥OA，可设直线BC的解析表达式为y=-2x+b，且过点（-8，1），易求b=-15，所以可得直线BC：y=-2x-15. 直线BC与x轴的交点为（-7.5，0）. 所以S△AOB=S△AOC=■OC·yA=■×7.5×4=15.

    解法8?类似地，如图9，如果过点A作AC∥OB，并设直线AC的解析表达式为y=-■x+b，由于AC过点（-2，4），则可得直线AC的解析表达式为y=-■x+■，它与y轴的交点为0，■. 进一步由S△AOB=S△BOC求解.

    说明? 在解法8中，直线OB的解析式题目中没有直接给出，需要学生自己求解，相较于解法7略为复杂，感兴趣的读者可自行完成计算.

    解法9?由直线AB的解析式y=■x+5得kAB=■，由直线OA的解析式y=-2x得kOA=-2.

    因为 kAB·kOA=-2×■=-1，所以OA⊥AB. 所以△OAB为直角三角形. 经计算得OA=■=2■，AB=■=3■，所以 S△ABO=■OA·AB=■×2■×3■=15.

    说明?从直线AB与直线OA的解析式可以发现kAB·kOA=-2×■=-1，根据解析几何知识：如果直线l1的解析式为y=k1x+b1，直线l2的解析式为y=k2x+b2，同时k1，k2存在且k1k2≠0，那么k1=-■？圳l1⊥l2 . 可知△ABO为直角三角形，因此可以直接求这个三角形的面积. 但是，这个条件相较于图形信息而言较为隐秘，不容易被发现.

    另外，在函数与几何结合的综合题中，两条直线平行或垂直的问题属于常见问题. 在初三专题复习过程中，教师可以结合学生实际，在不增加学生学习负担的情况下，把部分解析几何的内容介绍给考生，并指导学生进行解题实践，这也是一种值得提倡的做法. 有了以上公式，学生再遇到垂直和平行的问题，应用上述公式便可使“直线型”问题得到顺畅而简明的解决.

    纵观上述解法，可以发现，解法1至4采用的都是“补形”的方法，通过借助显性的已知条件，将所求图形“转化”为易求面积的特殊图形，再用补成的大图形减去相应小图形从而得解. 此种方法选取的条件信息最为直观，计算比较简单，计算量略有区别，蕴含其中的重要数学思想就是“化归”的思想. 解法5、6对学生的数学能力有更高要求，需要借助已知条件合理“分割”这个三角形，然后再用分割图形的面积和来求解：比如，可以作平行于x轴的辅助线进行横向拆分或者作平行于y轴的辅助线纵向拆分;再如，可以过点A作辅助线拆分，或者过点B作辅助线. 当然，还需要学生理解平面内与坐标轴平行的直线上两点间的距离公式AB=x1-x2或CD=y1-y2. 而解法7、8主要利用转化思想，通过作△ABO中某一边的平行线，将原三角形问题转化为边落在坐标轴上的三角形的面积，这种方法对学生的能力要求更高，需要将函数解析式、几何图形之间的关系、坐标的运用综合思考，确实需要有较高站位才能实现这种解法的突破. 在上述解法中，解法9很好地利用了隱含条件kAB·kOA=-1，属于特殊解法，不具有一般性.

    ■ 实践与思考

    纵观上述四类九种解法，基于比较研究不难发现：在坐标系下解决问题，如何将点的坐标转化为线段长，是解题关键. 根据点坐标的定义，必然需要作平行（或垂直）于坐标轴的直线，据此产生多种思路，也是基于利用坐标转化成线段长的方法，将转化后的图形与所给坐标或可求点的坐标相互关联，通俗地说就是过已知点（或易求点）作平行（或垂直）于坐标轴的直线，从而实现图形的“割”或“补”. 另外值得一提的是，解法5和 6是不同教辅材料中给出的参考答案，而其他解法都是笔者在教学实践中收集整理的. 应该说每种解法都有它的优势，学生在运用中也会存在一些障碍点. 在具体的教学中，教师还要根据学生的认知基础、接受程度和发展要求以及复习教学实际，适当展开对解题方法的研讨，因材施教效果才会更佳.

    1. 把握数学本质，提供典型解题方法

    在解题教学中，教师如果固守参考答案所提供的思路或解法，在试题讲解中就会被局限，学生也就会缺乏灵活而创新的解题能力，甚至会因为解题思路窄化而“碰壁”. 事实上，参考答案不一定是标准答案，不一定就是最优、最简的解法，教师在使用参考答案时必须要有自己的思考，不能过分依赖参考答案. 在实际解题教学中，教师要善于基于学生，更要善于发展学生.