积累数学活动经验，发展学生数学思维
过心丽
[摘? 要] 数学基本活动经验，是指对具体形象的事物进行观察操作、归纳猜想、表达验证后获得的一种经验. 文章借助“勾股定理及其验证”，从唤醒、感悟、运用、升华四个方面阐述了积累基本活动经验、发展学生数学思维的方法.
[关键词] 亲自操作;活动经验;思维发展
在传统的数学课堂教学中，学生较少主动参与到知识形成的过程中去，不能深入理解知识，更不用说灵活运用知识解决问题了. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》将课程总目标从“双基”教学修改为“四基”教学，即基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，强调学习方式的变革和学生的主体性地位，教师只是学生学习的组织者和引导者，学生在课堂上获得了主动发现、探索、研究、总结的空间. 学生要适应这种更为灵活的课堂，就必须积累基本数学活动经验，这也是三维目标中的过程与方法目标所要求的. 那什么是基本数学活动经验呢？
数学基本活动经验是指，学生通过对具体、形象的事物进行一定的观察操作、归纳猜想、表达、验证或证明，所获得的一种经验. 由于数学的学科特色，有些知识无法通过传递训练直接得到，因此数学基本活动经验必须通过学生的亲身经历和感悟得到，是学生通过经历、感悟数学归纳推理和演绎推理后积淀出的一种思维模式，继而建立一定的数学直观，甚至达到更高的层次——形成数学的直觉. 学生的数学基本活动经验不仅是动手实践得到的经验，还是大脑实践后得到的数学思维经验.
只有通过长期积累数学基本活动经验的过程，才能帮助学生形成数学直观，才更易于学生理解、掌握和运用，才更有利于发展学生的思维能力，从而使学生领悟学习技巧. 笔者借助勾股定理及其验证，开展了关于学生积累数学活动经验的一次教学探索.
结合实际生活经验，唤醒已有
基本活动经验
数学来源于生活，渗透在我们生活的方方面面，其在生活中的应用更是数不胜数. 学生已有的数学基本活动经验，一方面来自之前数学学习中的不断积累，层层深入积淀;另一方面来自实际生活的潜移默化，从而自然而然地获得一些数学基本活动经验.
教学片段1
师展示PPT：这是古希腊曾经发行的一张邮票（如图1），其中的图案证明了一个非常重要的数学定理. 请你计算图中三个正方形的面积，看看能发现什么.
生：S■+S■=S■.
师：请大家在学案上的网格中任意画一个直角三角形，然后分别以三条边为边向外作三个正方形，计算这三个正方形的面积. 此时，刚才的结论还成立吗？
生投影展示：利用割补法，仍然有S■+S■=S■.
师：如果把直角三角形的两条直角边记为a，b，斜边记为c，你发现了什么？
生：三个正方形的面积分别为a2，b2，c2，所以a2+b2=c2.
师：非常棒！通过刚才的计算，我们发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们今天要学习的勾股定理.
设计意图？摇 笔者利用生活中常见的邮票，借由学生熟悉的网格，激活了学生已有的数学基本活动经验，为后续积累更高层次的经验做铺垫. 同时，依托生活中渗透的数学基本活动经验，激发了学生学习的主动性和积极性，通过学生的亲身经历和操作验证，引导他们发现勾股树相关结论并归纳得到勾股定理，加深了学生对知识的理解和掌握，帮助学生积累了更深一层的数学基本活动经验，同时激发了学生的思维，让学生知其然，更知其所以然，为后续学习勾股定理的验证和应用做铺垫.
经历知识形成过程，感悟数学
基本活动经验
数学问题光靠生搬硬套并不能解决. 让学生亲身经历知识的形成过程，可以帮助他们更好地理清思路，了解数学知识之间的结构体系，感悟更深一层的数学基本活动经验，从而正确地应用相关知识解决问题，这是学生积累数学基本活动经验、发展数学思维的一种有效手段.
教学片段2
师：请大家以小组为单位，将准备好的四个全等的直角三角形纸片拼成一个正方形，然后用不同的方式计算正方形的面积，你发现了什么？
生展示图2的拼法：由正方形的面积公式得大正方形的面积为（a+b）2，再由割补法得其面积为c2+2ab，所以（a+b）2=c2+2ab，化简后得a2+b2=c2.
师：还有其他拼法吗？
生展示图3的拼法：由正方形的面积公式得大正方形的面积为c2，再由割补法得其面积为（b-a）2+2ab，所以c2=（b-a）2+2ab，化简后可得a2+b2=c2.
师：刚才我们借助等积法验证了勾股定理，其实等积法在直角三角形内还有一个常见的应用——请大家思考“如果直角三角形的两条直角边AB=6，BC=8，那么斜边上的高BD为多少”.
生：容易求得直角三角形的斜边为10，利用等积法可得6×8=10×BD，所以BD=4.8.
师：非常棒！我们初中阶段要计算直角三角形斜边上的高，就是利用等积法.
设计意图？摇 学生利用4张全等的直角三角形纸片进行拼接，在操作—思考—交流—归纳的过程中亲自验证了勾股定理，对勾股定理有了更深层次的认知. 同时，学生在勾股定理的验证过程中，对等积法也有了更深入的理解. 笔者顺势引出等积法的另一个常见应用，引导学生归纳、发现求直角三角形斜边上的高就是利用等积法，帮助学生进一步积累了数学基本活动经验，也拓宽了学生的數学思维. 学生由此积淀出关于等积法的一种初步思维模式，这能为后续利用等积法解决其他类似问题做铺垫.
观察问题共性特征，运用数学
基本活动经验
通过感悟得到的数学基本活动经验，不能只停留在纸上谈兵层面，我们还需要培养学生将其运用到有共性的问题中的能力. 学生要能够在复杂的条件中判断出解题的关键点，与已经积累的数学基本活动经验相匹配，找到不同问题中的共性特征，并迁移已有的活动经验，举一反三，从而建立起属于自己的解决问题的一套经验体系.
教学片段3
师：已知直角三角形的两条直角边AB=5，BC=12，点O是∠BAC，∠ACB的平分线的交点，求点O到AB的距离. 这题如何解决？看到角平分线你有什么想法？
生：过点O作直角三角形三条边的垂线段OD，OE，OF，由角平分线的性质可得OD=OE=OF（如图4）.
师：那如何求垂线段OD的长呢？
生：容易求得AC=13. 因为S■=S■+S■+S■=■OD（AB+BC+AC）=30，所以OD=2.
师：更一般地，如果把△ABC的面积记为S，周长记为C，那OD可以如何表示？
生：OD=■.
师：那如果已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，如何求点O到BC的距离？
生：如图5，过点O作△ABC三条边的垂线段OD，OE，OF，由角平分线的性质得OD=OE=OF，利用等积法同理可得OD=■.
师：等腰三角形的面积怎么求？
生：如图6，过点A作AG⊥BC，垂足为G，则BG=CG=5. 由勾股定理得AG=12，故S■=60，OD=■=■.
师：三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，要求这个距离，可利用等积法得到OD=■，然后求出三角形的面积和周长即可.
设计意图 ？摇笔者先将问题设置到直角三角形中，从角平分线的性质出发，引导学生发现三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，而垂线段放在三角形中可以看作高，所以利用等积法计算大三角形的面积即可求得这个距离. 接着将题目背景设置到等腰三角形中，引导学生发现两个问题的共性——同样利用等积法可以求得这个距离，关键是作高后结合“三线合一”求等腰三角形的面积. 学生通过对不同问题共性特征的观察，将感悟到的数学基本活动经验进行迁移，拓宽了学生的思维，形成了关于等积法的更系统的一种思维模式，帮助学生积累了更加全面的数学基本活动经验.
建立数学直观思维，升华数学
基本活动经验
积累数学基本活动经验的最终目的是帮助学生建立数学直观，发展学生的数学思维. 只有通过长期对数学基本活动经验的积累、运用和升华，才能从特殊到一般，帮助学生积淀一种数学直观，甚至形成一定的数学直觉，这样学生在面对数学问题时就能快速地择优解决.
教学片段4
师：更一般地，在△ABC中，AB=13，BC=15，AC=14，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，求点O到边AB的距离.
生：过点O作△ABC三条边的垂线段OD，OE，OF，由角平分线的性质得OD=OE=OF，再利用等积法得OD=■.
师：那如何求这个任意三角形的面积呢？
生：如图7，作AC边上的高BD.
师：如何求BD？
生：设AD=x，则CD=14-x. 于是可以列出方程132-x2=152-（14-x）2.？摇？摇？摇
师：设未知数表示出AD和CD，然后在有公共边的两个直角三角形中借助BD2两次运用勾股定理列方程. 然后呢？
生：解得x=5. 利用勾股定理得BD=12，所以S■=84，OD=■=4.
师：很好！已知任意一个三角形三条边的长，只要作高后利用勾股定理列方程即可求出这个三角形的面积，再结合等积法就可以求出这个三角形的角平分线的交点到一边的距离了.
设计意图？摇 通过前面一系列数学基本活动经验的唤醒、感悟和运用，学生的数学基本活动经验已经上升到一定的抽象高度，获得了许多有价值的思维活动经验. 在此基础上，笔者继续将问题背景设置得更为一般，放在普通的三角形内让学生研究，试图帮助学生建立一定的数学直观. 从直角三角形到等腰三角形，再到任意一个三角形，笔者通过这三个运用的层层递进，从特殊到一般，发展学生的思维，帮助学生建立起一种数学直观——求三角形角平分线交点到三边的距离的本质就是利用等积法.
結语
总之，数学基本活动经验的积累在现今的数学教学中越来越重要. 教师作为教学活动的组织者和引导者，要充分发挥学生的主体作用，调动学生的积极性和主动性，唤醒已有的数学基本活动经验. 同时，在知识的形成过程中，引导学生感悟数学归纳推理和演绎推理，帮助学生进一步积累数学基本活动经验，并将其运用升华，积淀出一种思维模式，形成一定的数学直观.
