一一对应揭示植树问题本质及数学模型的根本
许华庚 刘萍
【案例背景】
“植树问题”是人教版五年级上册第七单元“数学广角”的教学内容，本单元主要渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
“植树问题”的教学是五年级上册的一个重难点，而在平时的教学中，老师们的课堂会稍显局促，或是注重例题的讲解而忽略了学生的自主性与创造性，或是加强了练习的强度忽视了教会学生把握知识的本质。
【案例描述】
面对同样的“植树问题”，老师们的教法却是各不相同的：
1.有的老师是借助画图的方法进行教学，并让学生从中发现规律。“植树问题”是一种比较抽象、易错的问题，如果借助画图就比较简单、直观，只要学生掌握了画图的方法，就一定能找到正确答案。
2.有的老师是创设情境把问题留给学生，让学生在解决问题的过程中摸索找到三种不一样的植树方法，进而根据方法的不同来依次探讨解决问题。
3.有的老师是从较小的植树棵数和间隔数起，不断增加两个量，让学生在两个量的不断变化中找到其中蕴含的规律，并熟悉规律后运用规律来解决类似问题。
4.有的老师是借助“植树问题”的三个模型直接来理解植树棵数与间隔数的关系，学生在理解数量关系的基础上进行解决问题的练习与巩固。
……
那么，究竟什么样的方法对学生而言，既能够解释知识的本质，又能开发学生的思维？既对植树问题具有一个全面的了解，又能在学生想不起来的时候伸出手掌就知道植树问题怎么解答呢？究竟是应用数形结合中通过圈一圈、一一对应思想解开学生心目中“间隔±1”是怎么得来重要，还是学生粗枝大叶、迷迷糊糊、被动接受植树问题的数学模型重要？
【案例解决】
一、在“一一对应”中引入课题
1.两棵小树十个杈，不长叶子不开花。能写会算还会画，天天干活用到它。（打一人体器官）
2.猜到“手掌”的同学把你的小手举起来。
3.在手指之间能找到间隔吗？（图①）
4.什么是间隔？（图②）
5.存在间隔或者间距的地方，生活中有许多，如图③，那么，什么是植树问题？
小结：生活中与间隔（数）有关的类似问题，就叫“植树问题”。
二、用“一一对应”的思想探究植树问题模型
1.按照“一一对应”的方法，圈一圈、数一数、填一填，创造两端都栽的数学模型。
师：按从左到右的顺序一个人和一个间隔对应为一组、一个人和一个间隔对应为一组圈在一起，最后还剩下（1）位小朋友。即：①总人数=间隔数？茌（1）
【在学生明确如何应用“一一对应”圈的基础上，放手让学生探索总人数与间隔数之间的关系。学生很容易根据自己圈的结果得出总人数=间隔数+1。即后来所归纳的植树棵数=间隔数+1。】
②总站数=间隔数？茌（1）
③总棵数=间隔数？茌（1）
④我发现“植树问题”形式一：（条件：两端都栽）植树棵数=间隔数+1。
小结：我们利用一一对应圈一圈的过程中验证创造出“两端都栽的植树问题模型”：植树棵数=间隔数+1。
师：这个1代表的究竟是什么？
生：1代表的是“1个人”“1个车站”“1棵树”。
师：1个人加上4个间隔得到的应该是5个人？还是5个间隔？还是5个间隔人？还是5个人间隔？好像单位不对耶？
生：“1个人”加上“4个间隔”得到的应该是5个人。
师：为什么“1个人”加上“4个间隔”得到的是5个人，“4个间隔”可以换成“4个人”？
生：因为我们在圈一圈的过程中已经确认了“4个间隔”和“4个人”存在“一一对应”的关系，所以，“1个人”加上“4个间隔”得到的是5个人。
师：谁来对照课件回答一下：“1个车站”加上“4个间隔”为什么会得到5个车站？“1棵树”加上“4个间隔”为什么会得到5棵树？（学生回答：略）
2.按照“一一对应”的方法，圈一圈、数一数、填一填，创造两端不栽的数学模型。
学生交流汇报。
【由于学生已经有了第一次“一一对应”圈一圈的活动经验，本次数学模型的创造，学生思维将更加活跃，学生很快能够创造出：（条件：两端不栽）植树棵数=间隔数-1。】
小结：我们利用一一对应圈一圈的过程中再次验证，并且创造出“两端不栽的植树问题模型”：植树棵数=间隔数-1。
师：这个1代表的又是什么？是“1盆花”，“1根电杆”，“1棵树”，还是“1个间隔”？
生：1代表的是“1个间隔”。
师：“5个间隔”减去“1个间隔”应该得到的是“4个间隔”，为什么会得到“4盆花”呢？
3.重温植树问题的数学模型就在手上。
师：其实，我们刚才应用“一一对应”的思想圈一圈创造出的两种植树问题数学模型，就在我们的手掌上，当你想不起来的时候，你只要伸出手掌就会想到了。
【让学生在此表象的基础上，再深刻认识与理解记住植树问题的两种数学模型。】
三、应用自己创造出的两种植树问题数学模型解决问题
1.出示例题。
在全長100米的小路一旁每隔5米植一棵树（两端都栽），一共要植多少棵树？
课件提示：（两端都栽）：
①间隔数=（？）？謼？（？）
②共栽棵数：
2.变式练习。
在全长100米的小路一旁每隔5米植一棵树（两端都不栽），一共要植多少棵树？
课件提示：（两端都不栽）：
①间隔数=（？）？謼？（？）
②共栽棵数：
四、拓展练习延伸模型
再次应用“一一对应”思想圈一圈、数一数、填一填。
再创造：“植树问题”形式三：
植树棵数? 间隔数
条件：（? ? ? ? ?）
【学生再次亲历应用“一一对应”思想圈一圈，一番有趣的探索后，再次创造出（条件：一端栽、一端不栽）植树棵数=间隔数。】
【案例反思】
平时的教学，许多教师都侧重于植树问题数学模型的传授与应用，而忽视了植树问题数学模型的来源于学生的自主创造能力培养，特别是在植树问题数学模型的溯本求源上更是一个缺憾。那么，植树问题数学模型的灵魂到底在哪里呢？
1.“一一对应”是学生创造植树问题数学模型的基础。
本案例安排的三个环节，都是用“一一对应”的方法，圈一圈、数一数、填一填，然后，分别根据练习题让学生自我发现、自我创造出植树问题的数学模型：“条件为：（两端都栽）：植树棵数=间隔数+1”;“条件为：（两端不栽）：植树棵数=间隔数-1”;“条件为：（一端栽一端不栽）：植树棵数=间隔数”。试想，如果没有让学生采用“一一对应”的方法来圈、数、填、思，学生能自我发现植树问题的三种数学模型吗？
2.“一一对应”是学生揭开植树问题数学模型中“1”代表的究竟是什么的关键。
我们平时的教学，是不是看重学生会不会做这道题就行了？对于数学模型中的“加1”“减1”是不是一带而过？
本案例强调学生应用“一一对应”的学习方法自我创造，并对自我创造出来的“1”进行追问，可谓问得巧、问得妙、问得好。
在条件为两端都栽的情况下，植树棵数=间隔数+1，其中“1”代表的是：“1个人”“1个车站”“1棵树”。
在条件为两端都不栽的情况下，植树棵数=间隔数-1，其中“1”代表的又是什么？是“1盆花”，“1根电杆”，“1棵树”，还是“1个间隔”？
前面的“1”代表的是一个具体的数量，而后面的“1”只代表“1个间隔”。学生确确实实明白了这一点。试想我们平时教学后，学生能够明白这一点吗？也只有让学生明白了数学模型中“1”的含义后，才能为教师后面揭示植树问题的数学本质打下基础。
3.“一一对应”是揭示植树问题数学模型本质的落脚点。
我们都知道植树问题是许多学生头痛的知识点，也是学生的易错易混点，而易错易混的原因就在于三种条件下植树棵数与间隔数的关系是不相同的。本案例巧用一一对应思想让学生从具体的实例中建立表象，通过一一对应的圈一圈、数一数、填一填去亲历感悟体会三种条件下的植树棵数与间隔数的关系，进而自我创造植树问题的数学模型，然后再抽象出“植树棵数”与“间隔数”两个量之间的关系，加上老师两个层面的追问：“1”代表的究竟是什么？在公式中：1个人加上4个间隔得到的应该是5个人？还是5个间隔？还是5个间隔人？还是5个人间隔？“5个间隔”减去“1个间隔”应该得到的是“4个间隔”，为什么又得到“4盆花”呢？
在两个层面的追问过程中，正是一一对应发挥了巨大作用，并且也只有通过一一对应的方法，学生才能根据“同类量相加减后的单位置换”进行相互转化，这才是揭示植树问题数学模型本质的良好铺垫与最佳方法。即：在学生明确关系式中每个部分所代表的含义后，学生才能在解决问题的时候不模糊、不混淆、不犯錯。
总之，本案例给我们的最大启示是应用一一对应的数形结合思想为学生揭示植树问题数学模型的本质，这样带领学生建立植树问题模型，应该是更为有效的教学方式，它比我们让学生单独机械记忆植树问题的三种数学模型更为重要。
