“一次函数图像是一条直线”的教学处理及启示

2022.07.21

林松

[摘? 要] 在一次函数教学中，如何让学生从感性和理性上认识到“一次函数图像是一条直线”，一直困扰着一线教师. 画函数图像的方法是以点概面的，由此归纳得出的结论是感性的、不完全的，因此需要以数解形，即对函数表达式进行研究，实施从函数表达式到图像的代数推理，从而达到证明“一次函数图像是一条直线”的目的.

[关键词] 一次函数图像;直线;归纳;推理

问题的提出

一次函數图像是学生在函数学习过程中遇到的第一类函数图像. 通过对教材的学习，学生能够从感性的角度接受“一次函数图像是一条直线”，从而利用此结论简化一次函数图像的画法. 但是，如何让学生从理性的角度确定无疑地接受“一次函数图像是一条直线”，一直是一次函数图像教学的难点，也是学生一次函数图像学习绕不过去的坎.

以点概面：基于感性认识的归

纳概括

1. 常规方法——淡化处理

一般情况下，教师都遵循教材内容，引导学生对不同函数表达式按列表、描点、连线三个步骤进行画图. 当师生观察到所描出的点在一条直线上时，教师一般会提问学生“这些点有什么样的特征”，学生一般也会默契地回答“这些点在一条直线上”，然后教师指导学生将这些点进行连线，轻松得到结论“一次函数图像是一条直线”. 在整个教学过程中，教师重在让学生进行直观感受，而对“一次函数图像为什么是一条直线”做淡化处理，不进行说明和解释.

淡化处理在实际教学中较为常见. 究其原因，一是因为此法简洁方便，可以让学生很快得到结论;二是教师也没有什么好方法能向学生解释清楚. 通过分析画函数图像的三个步骤可知，“列表、描点”是用有代表性的数据和点解析函数表达式的过程，它实现了从无限个数据和点到有限个数据和点的转化;连线是依据点的变化趋势进行“补点”的过程，它实现了从有限个点到无限个点的转化，从而得到一次函数图像. 因此，淡化处理法存在的问题也是明显的：列表选取的值不能代表所有值！描出的点不能代表所有点！连线过程中增加的点不一定就是图像上的点！画出的图像感觉是直线却不一定是直线！

2. 方法改进——加密处理

如何让学生信服“一次函数图像是一条直线”？教学中有不少教师采用的是增加图像上点的密度的处理方式，即在学生动手画出图像后再通过电脑软件进行演示，用电脑画出更多的点，且让这些点足够密集，所有这样的点就构成了视觉上的“直线”（如图1）. 相比而言，这种方式更能增加学生的直观感受，但也有学生提出疑惑：电脑生成的图像是真实的吗？电脑会不会骗人？

无论是常规方法，还是进行加密处理，都是以部分点的特征来概括所有点的特征，属于以点概面，是基于感性认识的归纳概括，没有理性的演绎推理.

3. 以数解形：从表达式到图像的代数推理

通过基于感性认识的归纳概括，学生已经直观感受到“一次函数图像是一条直线”. 但“一次函数图像是一条直线”可以证明吗？之前的常规方法和加密处理方法解决了部分点从视觉上看在直线上的问题，却没有严密地证明这些点一定在同一条直线上. 为了解决此问题，可以对函数表达式进行研究，实施从函数表达式到图像的代数推理. 现有如下两个推理方案.

方案1：若已有函数图像，先证此函数图像上的所有点都在同一条直线上（完备性），再证此直线上所有点都是此函数图像上的点（纯粹性）.

方案2：若已确定直线，先证此直线上所有点都是函数图像上的点（纯粹性），再证函数图像上所有点都在此直线上（完备性）.

（1）方案1：点共线法

如图2，设A，B，C为函数y=kx+b（k≠0）图像上任意三点，设A（x，kx+b），B（x，kx+b），C（x，kx+b），不妨设x<x<x.

（长度法）在Rt△AMB中，由勾股定理可得AB==（x-x）. 同理可得BC=（x-x），AC=（x-x）. 所以AB+BC=（x-x）+（x-x）=·（x-x）. 所以AB+BC=AC. 所以A，B，C在同一条直线上.

若再有函数图像上的任一点D，同理可证A，B，D也在同一条直线上. 因为A，B两点确定一条直线，所以A，B，C，D四点在同一条直线上. 依此类推，图像上的其他点也在这条直线上. 所以，一次函数图像上的所有点都在同一条直线上. 又因为一次函数自变量的取值范围为一切实数，所以一次函数图像上的所有点在此直线上是连续的，也就是说，此直线上所有的点都是函数图像上的点. 因此，一次函数图像是一条直线.

（角度法）由已知可得，AM=x-x，BM=kx-kx=k（x-x），BN=x-x，CN=kx-kx=k（x-x），所以==k. 又∠AMB=∠BNC=90°，所以△AMB∽△BNC. 所以∠BAM=∠CBN. 又∠AMB=90°，∠MBN=90°，所以∠ABM+∠MBN+∠CBN=180°. 所以A，B，C三点在同一条直线上. 以下证明同长度法.

因三角形相似内容学习在一次函数学习之后，所以此法可用于学习相似内容之后.

（2）方案2：图像分析法

以正比例函数y=kx（k>0）为例，对其图像进行研究分析. 根据函数表达式可得如下三个预备结论：①当x=0时，y=0，所以函数图像一定过原点. ②因为k>0，所以x和y同号，即函数图像在第一、三象限. ③若k=1，即表达式是y=x，此时y是x的1倍，图像上每一个点都满足这样的规律：图像在第一、三象限，且图像上每一个点到x轴的距离与到y轴的距离相等，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”和“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，函数y=x的图像是第一、三象限的平分线，由此说明函数y=x的图像是一条直线. （注：人教版和苏科版在教材内容结构安排上已经学习过角平分线的性质和判定）</x

函数y=kx（k>0）的图像是否是一条直线呢？下面以y=kx（k>1）为例，使用方案2进行证明. 由上述预备结论③可知，函数y=x的图像是第一、三象限的平分线，设A（m，m）为直线y=x上一点，由题意，点O（0，0），B（m，mk）必定是函数y=kx（k>1）图像上的点，作直线OB，设直线BA交x轴于点M. 设P（x，x）为直线y=x上任意一点，过点P作PN⊥x軸于点N，直线PN交直线OB于点Q，则点Q的横坐标为x. 若可求得点Q的纵坐标为kx，则说明直线OB上的点都满足函数关系式y=kx（纯粹性）;倘若还能证明满足函数关系式y=kx的点都在直线OB上（完备性），这就说明直线OB由满足函数表达式y=kx（k>1）的所有点组成，这就证明了函数y=kx（k>1）的图像是一条直线. 现分3种不同的情况证明，如下：

①当0 <x1），且0 <x1），这与函数的定义“对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应”相矛盾，所以假设错误. 所以Q′ 不满足函数表达式y=kx.

②当x>m时（如图5），连接AN，AQ，作QH⊥OA交OA于点H，作NG⊥OA于点G. 因为===k-1，==，所以=k-1. 所以==k-1. 又=，所以=k-1. 所以QN-PN=（k-1）PN. 所以QN=kPN，即点Q的纵坐标为kx.（完备性证明同上）

③当x<0时（如图6），连接AN，AQ，过点Q作QH⊥OA于点H，过点N作NG⊥OA于点G. 因为=====k-1，==，所以=k-1. 所以==k-1. 所以==k-1. 所以QN-PN=（k-1）PN. 所以QN=kPN，即点Q的纵坐标为kx.（完备性证明同上）

根据以上方法，我们就证明了函数y=kx（k>1）的图像是一条直线，函数y=kx（0<k0）是一条直线.

函数y=kx+b（k>0）的图像是否是一条直线呢？可以根据函数表达式进行推理：一次函数y=kx+b（k>0）和正比例函数y=kx（k>0）相比，对于每一个自变量x的值，一次函数y=kx+b（k>0）的函数值都比正比例函数y=kx（k>0）的函数值大b（b>0），或者小b（b0）或向下（b0）的图像是一条直线.

问题提出及问题解决过程的价

值反思

1. 数学教学应让学生学会质疑

创新意识是学生的重要数学基本素养之一，培养学生的创新意识是数学教学的重要任务之一，培养创新意识首先要让学生学会质疑. 教学中，通过画图让学生直观感受到“一次函数图像是一条直线”，学生也会产生一些疑问：描出的点是不是真的在一条直线上？没有描出的点在这条直线上吗？图像为什么是直线？如何证明？为什么可以这样证明？此时应大胆鼓励学生提出质疑，并引导学生进行思考，尝试进行数学推理. 虽然我们可以选择不进行推理证明，而选择让学生知道并记住这个结论，但数学学习的核心价值是培养学生的理性精神，发展学生的思维能力. 掌握知识不是最终目的，发展认识力才是数学教育最大的目标.

2. 数学教学应在学生认知规律和数学学科特点间寻找平衡

数学教学既要符合学生的认知规律，让学生“吃得下”，也要体现数学学科的特点，掌握数学学科本质，让学生“吃得好”. “一次函数的图像是一条直线”的教学，既要让学生直观感受，也要引导学生进行严格的推理证明，从而让学生确定无疑地接受这一结论，感受数学的严谨性. 几种证明方法，还要注意学生当前的可接受性，教师应适时地、根据不同学情，引导学生用不同的方法加以推理证明.

3. 数学教学应将合情推理和演绎推理完美有机结合

恩格斯指出：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的. 不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方. 而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系、它们的相互补充. ”作为数学思维活动的两种基本方式，建立在事实基础上的归纳概括非常重要，它是发现结论;建立在理论基础之上的演绎推理也不可缺少，它是证明结论.

八年级学生的具体形象思维仍然占主导，处于形式运算思维发展时期，也正是逻辑思维能力、抽象概括能力、符号思维的形成时期. 因此，在一次函数图像教学中，教师更要将归纳和演绎进行有机结合——归纳先导，演绎跟进. 相信建立在直观感受前提下的理性论证定能使一次函数图像教学大放异彩，直达数学本质.