金融数学的学科危机与变革
高宏 梅圣烽
摘要：金融数学是一门运用数学模型和方法研究金融资产价格变化规律的学科。本文介绍了金融数学的发展历史和B-S期权定价公式导致多次重大金融危机的过程，分析了金融数学将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量，并用描述样本轨道集合发散程度的标准差来度量一条样本轨道波动程度的基本概念错误，指出金融数学建立的资产价格模型不能正确描述并预测金融市场的价格波动趋势，是导致金融数学产生学科危机的根本原因。
关键词：股票价格模型 B-S期权定价公式 金融危机
一、引言
金融数学是一门运用数学模型及方法研究金融市场资产价格变化规律，并解决资产定价、最优配置及风险管理等金融市场问题的一门学科。随着人类社会从工业社会步入信息社会，以股票、债券、金融衍生品等虚拟资本交易为主的虚拟经济规模已大大超过实体经济规模，仅全球股票市场每年的交易总额就超过全球GDP。由于金融市场的高度流动性、不稳定性、高风险性和高投机性会导致金融资产价格大幅波动，加大经济运行的风险并产生金融危机，给社会经济造成危害，因此研究金融市场数量关系及其运行规律的金融数学受到了全社会的高度关注。
令人遗憾的是，金融数学中的B-S期权定价公式在金融市场的大规模应用，却成为直接导致 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危机的罪魁祸首（Mackenzie，2018;Stewart，2012;Triana，2014）。被誉为“中国金融数学开创者”、获得2020年未来科学大奖“数学与计算机科学奖”的彭实戈院士，在《中国基础研究发展报告》第二章中国数学前沿进展中明确指出：B-S期权定价理论是造成以前历次重大金融危机的关键性原因（科技部基础研究司，2019）。
畅销书《黑天鹅》的作者塔勒布在2007年10月23日的《金融时报》上发表了题为“破坏市场的伪科学”专栏文章，对金融数学进行了严厉的批判。塔勒布在文章中指出：人们从一次又一次的金融危机中得出了“金融数学的有效性与占星术一样不靠谱”和“金融数学通过创造风险来危害金融系统”的结论。塔勒布痛斥金融数学是破坏市场的伪科学，金融数学理论获得诺贝尔奖不仅是对科学的侮辱，金融数学一直使金融体系面临崩溃的风险。
金融数学在金融市场中的失败应用使人们开始怀疑，数学模型究竟能否用来描述并预测金融市场的价格波动现象和趋势，金融数学因此陷入了严重的学科危机。本文指出金融数学将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量，并用描述样本轨道集合发散程度的标准差来度量一条样本轨道波动程度，是导致金融数学产生学科危机的根本原因。
二、金融数学发展历史
金融数学的发展历史最早可追溯到1900年。法国数学家巴舍利耶在其博士论文《投机理论》中，首先用概率方法对股票价格进行研究。巴舍利耶发现股票价格的变化是完全随机的，因此使用布朗运动模型来描述股票价格波动，这比著名物理学家爱因斯坦用数学语言描述布朗运动的时间早了5年。巴舍利耶的研究成果太超前，一直未能引起学术界重视，直至1955年才被美国第一位获得诺贝尔经济学奖的萨缪尔森发现，因而受到众多经济学家和数学家的大力推崇。
1952年，刚从芝加哥大学毕业的马科维茨将其博士论文浓缩为一篇题为“资产组合选择——投资的有效分散化”的论文发表在《金融杂志》上。马科维茨首次用均值和方差这两个随机变量数字特征来定量描述证券的收益和风险，建立了组合投资理论，并通过均值-方差分析来确定最有效的证券投资组合。马科维茨组合投资理论的建立，标志着数学在金融领域获得了成功应用，同时也引发了“第一次华尔街数学革命”，使多样化的投资策略在华尔街得到广泛应用。因此，马科维茨的组合投资理论在1990年获得了诺贝尔经济学奖。
1956年，美国海军研究实验室的高能物理学家奥斯本利用业余时间开始研究股票市场，发现巴舍利耶的算数布朗运动模型存在股票价格会变为负数的严重缺陷，与实际情况明显不符。奥斯本将巴舍利耶的算数布朗运动模型改进为几何布朗运动模型，并在《运筹学》杂志上发表了题为“股票市场上的布朗运动”论文。《运筹学》并不是一本经济学杂志，但是很多经济学家和数学家都看到了这篇论文，奥斯本的研究很快就引起了广泛的关注。
1964年，法玛获得了美国芝加哥大学商学院的博士学位，其博士论文为《股票市场价格走势》。1965年，法玛将其博士论文浓缩为题为“股票市场价格随机游走”的论文发表在《金融分析家杂志》上，法玛使用随机游走模型描述股票价格变化，并提出了著名的EMH（Efficient Markets Hypothesis）有效市场假说。有效市场假说提出后，迅速成为金融学研究领域的实证研究焦点课题和解释资本市场运行规律的重要工具，同时也发展成为现代金融学，尤其是现代资本市场理论的重要基石，法玛也因此被称为金融領域的思想家，并获得了2013年诺贝尔经济学奖。
1965年，萨缪尔森发现奥斯本几何布朗运动模型无法描述和解释实际股票市场中的长期线性趋势，萨缪尔森没有从几何布朗运动模型本身去寻找原因，而是直接添加了线性漂移项，建立了带漂移的几何布朗运动模型，金融数学理论从几何布朗运动模型推导出了与事实不符的“股票价格服从对数正态分布”性质。
上世纪70年代，随着金融创新的不断进行，用数学模型进行金融产品定价成为理论研究的重点。 1970年，布莱克和斯科尔斯首先假设股票价格服从萨缪尔森的几何布朗运动模型，推导出了著名的B-S期权定价公式，利用数学工具解决了股票、债券、货币、商品等金融衍生产品的合理定价问题，实现了金融理论的又一大突破。1973年，布莱克和斯科尔斯将基于B-S期权定价公式的期权定价理论写成了题为“期权定价和公司债务”的研究论文发表在《政治经济学杂志》上，这篇文章很快成为经济学领域最重要的几篇论文之一。
1970年， 斯科尔斯在麻省理工学院的新同事默顿看到布莱克和斯科尔斯的研究报告时，立刻领会了这项成果的潜力。默顿是当时唯一掌握随机微积分的经济学家，他用随机微积分方法也推导出了B-S期权定价公式，并对B-S期权定价公式所依赖的假设条件做了进一步减弱，同时给几何布朗运动模型增加了泊松跳跃过程，扩大了B-S期权定价公式的应用范围，所以，B-S期权定价公式又被称为B-S-M期权定价公式。
HP（Hewlett-Packard）公司和TI（Texas Instruments）公司很快开发出了内置B-S期权定价公式来计算期权价格的手持计算器，B-S期权定价公式迅速被广泛应用于金融市场，直接导致了“第二次华尔街数学革命”，使金融市场的创新工具和创新产品的数量迅速增多，金融市场获得了空前规模的发展。1997年，斯科尔斯和默顿因此获得了第二十九届诺贝尔经济学奖，布莱克不幸英年早逝，没有与斯科尔斯和默顿一起领奖。
三、B-S期权定价公式导致金融危机
作為研究金融市场数量关系及其变化规律的科学理论，金融数学与其它科学理论一样，应具有如下基本功能：
一是解释功能。建立的数学模型应能正确描述金融市场资本价格的波动现象及规律，得出的结论必须与客观事物及运动相一致。
二是预见功能。数学模型能够预测事物的发展趋势和变化结果。理论预见和经验推测不一样，它是可靠、必然的。
三是指导实践功能。借助数学模型解决在不确定环境中，如何在时间和空间上优化配置金融资源的问题。
如果金融数学建立的价格模型与实际价格波动现象和趋势不符，若将其广泛应用于金融市场，必然会给投资者带来巨大的风险和亏损。
1987年10月19日，华尔街遭受了有史以来最大的一次灾难：“黑色星期一”。当日全球股市在纽约道琼斯工业平均指数带头暴跌下全面下泻，纽约证券交易所损失了近25%的价值，引发全球金融市场恐慌，随之而来的是1980年代末的经济衰退。造成这次灾难的罪魁祸首是：由B-S期权定价公式衍生出的计算机股票交易策略不能预测市场波动趋势。
1994年，被誉为能“点石成金”的华尔街天才人物梅里韦瑟与斯科尔斯和默顿合伙成立了长期资本管理公司（简称LTCM）。LTCM以斯科尔斯和默顿推导出的B-S期权定价公式为基础，用计算机进行数据处理并预测债券及衍生产品的价格走向，形成了一套完整的计算机自动组合投资系统。在1994年3月至1997年12月的三年多中，LTCM凭借这套系统在市场上一路高歌，其资产迅速增长到1000亿美元，年回报率超过40%，与量子基金、老虎基金、欧米伽基金一起被称为国际四大“对冲基金”。1997年，斯科尔斯和默顿一同获得了诺贝尔经济学奖，LTCM成为华尔街最耀眼的明星基金。默顿自豪地宣称：“长期资本管理公司从成立到现在的独特经历，体现了金融数学与金融实践的高效结合。”
然而天有不测风云，1998年随着亚洲金融危机的爆发，金融市场波动趋势刚好与斯科尔斯和默顿的数学模型相反。出人意料的是，LTCM过分相信自己的数学模型，不但未及时撤出资金，反而投入了更多的资金以期反败为胜，就这样越陷越深，LTCM首次出现了巨额亏损。短短的150天，LTCM资产净值就下降了90%，走到了破产边缘。LTCM直接涉及的金额超过1000亿美元，间接牵连的金额竟高达1万亿美元，几乎将整个华尔街都拖下了水，LTCM不得不求助于美联储。美联储出面组织安排美林、摩根为首的15家国际性金融机构注资购买了LTCM的90%股权，共同接管了LTCM，以免LTCM彻底破产而引发全球金融危机。
至于两位诺贝尔奖得主——斯克尔斯和默顿，他们的故事还没完。斯克尔斯在LTCM事件后去斯坦福大学任教，并于1999年创立了一家名为Platinum Grove的对冲基金，默顿不久后也加入出任顾问，两人决心东山再起。他们吸取了上次LTCM的教训，高度重视风险管理，公司很快站稳脚跟，并在2007年达到50亿美元的资产规模。斯克尔斯和默顿万万没有料到，在2007年次贷危机引发的金融风暴中，LTCM的悲剧再次发生在他们身上，他们的脚居然踏进了同一条河流，公司再次遭遇灭顶之灾，两人各奔东西。
LTCM和Platinum Grove危机事件由于对金融市场影响巨大，且涉及两位诺贝尔经济学奖得主的金融数学研究成果，因而震惊了全球金融界和学术界。人们开始怀疑金融数学究竟能否正确描述或解释金融市场的波动性，金融数学面临严峻的挑战。
数学家史都华（Stewart）在《改变世界的17个方程》书中写道：B-S期权定价公式改变了世界，它不仅创造了一个金额难以估计的产业，而且也造成了人类历史上最大的金融体系崩溃。
畅销书《致命数字》作者、具有20多年投资经历的全球顶级金融专家特里亚纳在《教鸟儿飞行：量化模型是否会摧毁金融市场》一书中，对金融数学理论及数学模型存在的问题进行了全面的解读，严厉批判了华尔街盲目迷信数学模型，而不相信市场趋势的投资方式。特里亚纳从大量的金融市场案例分析中得出结论：B-S期权定价公式是造成金融危机的罪魁祸首，金融数学在金融领域的应用是失败的，金融工程应该为人类历史上最严重的金融危机负责。
塔勒布在《教鸟儿飞行：量化模型是否会摧毁金融市场》一书的序言中写道：B-S期权定价公式是有害的，现代金融数学理论的有效性与占星术一样不靠谱。默顿在《连续时间金融》一书中曾经339次提及“定理”或“公式”等词，而平均一本相同厚度的物理学书籍也不过提及此类词语25次。金融数学模型正如它已经表现出来的那样，并没有比随机猜测或出租车司机的直觉更出色。骗子通常是以他们的装扮、组织或语言来掩饰其真实身份，现在又多了神奇的数学来助阵。塔勒布还在《金融时报》上发表专栏文章，斥责金融数学是“破坏市场的伪科学”。
四、金融数学的两个基本概念错误
（一）价格数学抽象错误
解决实际问题或建立科学理论的第一步，是将实际问题抽象为数学问题，然后应用演绎推理方法得出揭示事物运动规律和特征的结论或解决问题的方法。如果在数学抽象过程中出现基本概念错误，则会得出一系列与事实不符的错误结论。
数学概念是人脑对客观事物的数量关系和空间形式的思维反映，也是建立数学理论和其他科学理论的基石。数学概念虽然远离了直观的经验世界，但却能更深刻地反映客观世界的本质。数学学科通常运用定义的形式来明确数学概念的内涵——对象 “质”的特征，及其外延——对象 “量”的范围。如果对数学概念所表达的内涵和外延出现误解和误用，则建立的科学理论就像基础不牢的高楼大厦一样，迟早会发生地动山摇般的坍塌。
随机过程X（ω，t）是定义在Ω×T上的二元函数。对于固定的时间t，X（ω，t）是状态ω的函数，称为随机变量，记为X（t）;对于固定的状态ω，X（ω，t）是时间t的函数，称为样本函数或样本轨道，记为x（t）。
一个样本函数x（t）对应着随机试验中的一次“测量结果”，例如股票分析软件显示的股票价格随时间变化过程，因此x（t）也被称为随机过程的一个“实现”，
图2为随机过程X（ω，t）、随机变量X（t）和样本函数x（t）三者之间的关系示意图。
图2中的三条样本函数曲线x1（t），x2（t）和x3（t）可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线，所有质点在t时刻的位置（图中红点）就是随机变量X（t）在t时刻的状态。随机过程X（ω，t）既可看成是所有样本轨道x（t）的集合，也可看成是所有随机变量X（t）的集合。从图2可以看出，随机变量X（t）用来描述大量质点的空间统计特性，样本函数x（t）则用来描述一个质点的时间运动规律，随机变量X（t）和样本函数x（t）是具有完全不同定义域和值域的两个函数。
观察股票价格s（t）随时间t的变化过程，对于任一个时间值t，都有唯一确定的s（t）与t对应，股票价格与时间之间的数量关系为“一一对应”的函数关系，因此，股票价格s （t）是时间t的函数（高宏，2019）。根据随机过程定义，股票价格s（t）是固定ω时的随机过程S（ω，t），只能被抽象为随机过程S（ω，t）中的一条样本轨道s（t），而非随机变量S（t）。
金融数学将股票价格s（t）抽象为随机变量S（t），无形中将研究对象从一条样本轨道改变为样本轨道的集合，导致金融数学的研究对象发生错位，因而建立的价格模型无法正确描述股票价格现象，并得出了“股票价格服从对数正态分布”的谬误。
（二）波动率定义错误
波动率是B-S期权定价公式里一个非常重要的输入变量。期权定价理论首先假设资产价格服从对数正态分布，然后将描述正态分布离散程度的标准差定义为波动率，用正态分布标准差来度量资产价格的波动程度（高宏，2020）。
从随机过程的定义看，标准差是描述样本轨道集合发散程度的统计参数，与一条样本轨道的波动程度没有直接的关系。因此用随机变量的标准差来预测股票价格波动程度，就如同物理学用温度来度量一个分子的动能一样荒谬，必然无法正确预测金融市场波动，会给金融市场带来巨大的灾难。
此外，金融数学用随机变量的方差来度量风险，意味着金融数学将股票价格向上的大幅波动或投资者获取超额收益的情况也视为风险，无怪乎畅销书《黑天鹅》作者塔勒布说“金融数学通过创造风险来危害金融系统”。
五、展望
现有的金融数学理论由于将股票价格与时间之间的数量关系假设为随机变量，并用描述样本轨道集合发散程度的标准差来度量一条样本轨道波动程度，因此建立的价格模型无法正确描述并预测金融资产价格波动趋势，在应用时会给金融市场带来巨大的风险和灾难。未来金融数学将面临重大范式变革，首先将股票价格与时间之间的数量关系正确地抽象为时间函数，然后在样本函数基础上重建价格模型和金融數学理论，这为中国的金融数学学科进入世界一流前列提供了千载难逢的历史性发展机遇。
参考文献：
[1]Dana Mackenzie.无言的宇宙：隐藏在24个数学公式背后的故事[M].李永学译.北京： 北京联合出版公司，2018.
[2]Ian Stewart.17 Equations that Changed the World[M].London：Profile Books，2012.
[3]Pablo Triana.教鸟儿飞行：量化模型是否会摧毁金融市场[M].林丽萍 译.北京：中国人民大学出版社，2014.
[4]科学技术部基础研究司.中国基础研究发展报告[M].北京：科学出版社，2019.
[5]高宏.股票价格白噪声积分模型及时域和频域特性研究[J].当代经济，2019（9）：31-33.
[6]高宏.期权波动率定义的理论错误及纠正[J].时代金融，2020（30）：75-79.
作者单位：高宏，清华大学;梅圣烽，英国格拉斯哥大学
