例谈小学数学课堂中的数学化思想
钱张培 刘效丽 李娜
摘 要：数学的教学内容是由数学基础知识、数学方法和数学思想组成的，将数学与生活联系是教师上课时都会采用的一种教学方法。但在此过程中，数学课堂还是需要回归它的本质。通过对数学化思想的解读，结合教学案例分析数学课堂教学中不可缺少的数学化过程，让学生在课堂上领会到数学的本质。
关键词：水平数学化; 垂直数学化
中图分类号：G623.5? ? ? ? ? ? ?文献标识码：A? ? ? 文章编号：1006-3315（2020）1-063-002
新课程改革提倡关注学生的生活经验，将数学与生活聯系越来越受到关注，但数学教育生活化只是数学学习的初级阶段。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对数学的定义是：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”同时在义务教育阶段数学课程的设计中指出，充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。1想要达到这些目标，在数学课堂中只联系生活是肯定不够的，还需要让学生学会数学化，让数学教育走向数学化。
1.“数学化”思想含义
“数学化”思想是由荷兰数学教育家弗赖登塔尔首次提出，并把它作为数学教学的主要原则之一。他认为用数学方法将实际材料组织起来，这在今天就叫做数学化。数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下不断变化、延伸和深化，这个过程就会继续下去。数学化的过程是一个渐进的过程，逐渐抽象化、形式化到现实世界的场景中。学生应当学习数学化，自然先在最低层次，对非数学的内容进行数学化，使之合乎数学精确性要求以保证数学的应用。接着还应进行到下一层次，至少能对数学内容进行局部组织。2
1.1水平数学化
在弗赖登塔尔的观点中，把生活世界引向符号世界，把一个实际问题转化为数学问题，这个过程就是水平数学化。在以水平数学化为主的数学教学活动中，主要运用“归纳推理”的思想来解决问题。学生需要经历从具体直观的实例到抽象概括数学知识的过程，在此过程中，他们需要应用相关的思维方法去分析、比较和总结上述实例的共同特点或本质属性;也就是说，通过这样的数学化的途径来进行数学的教学，引导学生把生活经验上升到数学知识，就能使他们不仅能了解、理解、掌握这些知识，而且能够进行应用。3
例如，教师在教授“字母表示数”这节课时，可以利用扑克牌中的J、Q、K、A这几张牌引入，让学生进行联想，在扑克牌中这几个字母分别表示哪几个数，由此引入新课“用字母表示数”。
1.2垂直数学化
在数学符号世界里，数学符号产生、变化和使用，而且是机械地、全方位地，这就是垂直数学化。在符号世界里，学生所经历的则是有关数学的抽象。它既可以是对数学知识本身进行深化，也可以是对数学知识进行分类、整理等以此形成系统的数学知识体系。在以垂直数学化为主的数学教学活动中，主要运用“类比推理”的思想去解决问题。通过已有的知识、方法，把握新旧知识的异同，分析比较，构建新旧知识之间的桥梁，通过同化或顺应的方法来丰富、发展学生的认知结构。
例如，在教授“乘法分配律”时，教师可以先通过两个算式“3×6”和“3×5+3×1”，让学生观察这两个等式有什么特点是否相等？若相等可以改写成哪种算式，从而推出3×（5+1）=3×5+3×1，由此展开教学。
水平数学化和垂直数学化不能简单地理解为从具体到一般或从一般到具体。如果“具体”指的是现实生活，从现实生活中抽象出数学符号，那么这个过程就是水平数学化;如果“具体”指的是数学模型，那么无论是归纳或是演绎，这个过程都是垂直数学化。4因此水平数学化和垂直数学化之间并没有明确的界限，同时这也与学习者有关，个人的经历或常识都有可能会影响其数学化，并不只局限于数学领域知识的运用。
2.教学案例——三角形内角和
2.1教学片断
师：三角形内角和都是180度吗？我们先来研究直角三角形，有什么办法可以来验证？
生：测量三角形的角。
师：同学们现在就用你们心中的想法来验证一下，直角三角形的内角和是否等于180度？（同学们动手进行操作）
师：量完了吗？同学们说说得到了什么结论？
生：一个角90度，另外两个角分别是53度和38度，加起来是181度。
生：一个角是90度，另外两个角分别是25度和65度，这个三角形内角和是180度。
师：有的同学量完得到180度，有的同学量完不是180度。老师提供一个方法，我这有一个直角三角形，180度是一个平角，我可以先画一个平角，然后把角撕下来再拼一下。（请学生上来进行操作）
师：拼完之后你发现什么了？
生：三个角拼在一起和平角重合了，说明这个三角形内角和是180度。
师：刚才我们采用了量的方法又采用了拼的方法。我再提供一个方法，这有三个任意的直角三角形，先看右边的这个三角形，看我怎么做的？
生：两个完全一样的直角三角形拼成了一个长方形。
师：长方形内角和是多少，能借助它来研究三角形内角和吗？（同学们进行讨论）
生：长方形四个角都是90度，它的内角和就是360度，其中一个直角三角形的内角和就是180度。
师：那我们就可以得出结论了，直角三角形内角和是180度。
2.2片断评析
教师在教学过程中，通过几个特殊的三角形内角和是180度提出问题，鼓励学生能够从生活中很常见的理所当然的事情中提出值得探索的数学问题，通过数学的现实性来实现数学化。教师之后再从简单的直角三角形入手进行研究，让学生自己进行动手操作探索，通过量、拼等方法，将直角三角形内角和的问题转化成了研究平角和长方形，这是因为学生先前已经学过平角是180度、长方形内角和是360度这几个知识点。其本质就是让学生把自己已有的知识经验，转化为新的数学知识。
在此教学过程中，教师设计了三种相对简单、不同的数学活动，引导学生用数学的思维思考和总结数学定理，以促进学生的认知发展。在这个过程中，学生们首先从动手操作开始，然后进行归纳，最后得出数学定理。这个简单的教学过程让学生的认知经历了从实践到概念和方法的不断发展，它也可以视为是深度垂直数学化的结果，这是数学活动的理想目标。
3.“数学化”课堂教学策略
《义务教育课程标准（2011年版）》在总目标中就明确指出通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与生活之间的联系，运用数学思维方式进行思考。数学是抽象的，这就需要通过“形象直觀”来帮助学生理解，但课堂最终还是需要回归到抽象的数学上。可见数学教学在联系生活、创设情境的同时，不能脱离数学本身，两者不能厚此薄彼。
3.1创设情境抽象出数学问题
小学生的智力发展还未完善，因此数学化的学习，应当从最低的层次开始，即首先对非数学内容进行数学化，与小学生的实际情况相符合。小学生的思维很活跃，但同时最主要的一个问题就是他们的思考都是建立在已有经验的基础之上。因此，教师可以在学生开始学习时为学生创设情境，引发学生的思考。
在“字母表示数”的教学中，教师利用“扑克牌”引入课题，将枯燥的数学内容变得有意思起来，也更容易让学生体会到数学知识其实离生活并不遥远。在教学中，教师可以将教学内容与生动的学习内容相联系，不论是呈现学生周围的生活素材，还是呈现有关数学本身的素材，都要能引起学生的学习兴趣，作为开启学生数学思维的垫脚石。但同时需要注意，不能为了“情境”而造出一个与数学学习内容无关的情境。它必须结合数学知识，突出数学的本质，使学生真正感受到数学源于生活但又高于生活。
3.2将数学问题与情境剥离
一节好的数学课真正打动人心的，应该是数学本身的魅力和力量。张奠宙教授曾说：“数学教育自然是以‘数学内容为核心，数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学为依归。”5一节数学课堂少不了情境的设置，但在这之后课堂还是需要回归到数学本身。
在“乘法分配律”的教学中，课堂可以直接围绕数学问题展开，通过对多个数学算式的研究，探索其中的运算规律，揭示运算规律的本质。目前，小学数学课堂并不缺乏情境创设，而是缺乏从情境到数学问题研究时的数学化。把数学问题从生活中抽象出来，为数学教学创造了一个良好的起点，学生数学思维发展的一个重要过程是对数学知识的观察、整理、辨析和联系，这在数学活动中应得到充分的开展。教师随着课堂的深入，不能再一味地与生活生硬的联系，可以直接运用数学符号让学生进行思考。
3.3回归实践中应用数学知识
义务教育数学课程是学生生活、工作、学习的重要基础，从数学回到实践是实现这一目标必不可少的过程。学生从物质对象到符号思维的数学化过程只是认知过程的一个方面;另一方面，更重要的是让学生真正理解数学符号的含义。因为只有当抽象的知识回归现实，数学才能实现自己的意义。不断寻求数学符号本身的意义，才有可能激发学生认知动机，提高学生的认知水平。教师在数学课堂中不仅要让学生学会从自己周围的生活中提出数学问题，而且要结合现实生活中的实际问题，让学生用数学知识和数学的思维方法对其进行分析和解答，使学生体验到数学的价值。培养学生的数学意识，提高学生的实践和应用能力，让学生真正认识到学习数学是为了更好地生活。
小学数学学习对促进学生智力发展具有积极作用，数学知识本身在这一过程中尤为重要。在小学数学教学中，教师要注重运用科学的教学方法和理念，增加学生的数学知识，将“数学化”最大化作为数学课堂的主要目标，使学生在数学课堂上的学习更具针对性，体会到数学思考的乐趣，享受数学思维的每一分钟，实质性的提高学生的数学思维能力。
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