由一道高考解析题展开的思考
袁玉娟
【摘要】本文以一道高考解析题的一题多解、一题多变为例，通过背景探究、追踪溯源发现问题的本质，透过逻辑反思演绎出对称问题的结论.整体脉络上体现了从特殊到一般的逻辑推理的核心素养，达成了从一题多解到多题一解的化归.解析几何占据了高考压轴题的半壁江山，思维量大、难度高，所以学生学习时要做到“做一题、归一类、得一法”.
【关键词】解法探究;变式探究;等角定理;对称进阶
一、出示例题
设椭圆C：x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程.
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
分析：解析几何中证明角相等常用到斜率相等或互为相反数、角平分线定理、余弦定理等.观察图形容易看出∠OMB 恰好为直线MB的倾斜角，∠OMA恰好为直线MA的倾斜角的补角，所以只需证kMA+kMB=0.
（1）略.
（2）解法一：当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.
当l与x轴不重合时，设l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由x=my+1，x22+y2=1得（m2+2）y2+2my-1=0，
所以y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，Δ>0，
所以直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2=2my1y2-（y1+y2）（x1-2）·（x2-2）=0.
故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB.
评注：此种方法将角披上了三角函数家族中正切的外衣，将角相等转化为斜率互为相反数.先由角及“斜”，再通过数学运算由因导果.罗增儒教授说过，“问题一旦获解，就立即产生感情上的满足，从而导致心理封闭，忽视解题后的再思考，恰好错过了提高的机会，这无异于‘入宝山而空返”.解析几何可谓数学思想的战场，课堂教学不只要 “会” 解一题，更重要的是让学生“汇”解一题.学生要学会从多角度挖掘题目中潜在的深层结构，由一个问题能联想到不同的知识，这有利于学生形成优化的认知结构.
解法二：（原点到直线MA，MB的距离）由解法一可得MA：y=y1x1-2（x-2），MB：y=y2x2-2（x-2），
所以y1x+（2-x1）y-2y1=0，y2x+（2-x2）y-2y2=0，
所以dO-AM=2y1y21+（2-x1）2，同理dO-BM=2y2y22+（2-x2）2，
所以d2O-AM-d2O-BM=4y21y21+（2-x1）2-4y22y22+（2-x2）2=4（y1-y2）（y1+y2-2my1y2）[y21+（1-my1）2][y22+（1-my2）2]=0，
所以∠OMA=∠OMB.
评注：核心素养水平中“数学运算水平三”指出，“在综合的情境中，能够把问题转化为运算问题，确定运算对象和运算法则，明确运算方向.能够对运算问题，构造运算程序，解决问题”.实际教学中发現，大部分学生无法明确运算方向，明确不了运算对象，还有学生则是怯于运算.此种点斜式方程的设法也较为常见，利用了解析几何中点到直线的距离公式，从结论出发，充分调动了学生的逻辑思维及数学分析能力.
解法三：（角平分线定理）欲证∠OMA=∠OMB，
只需证AFBF=AMBM=y1y2=（x1-2）2+y21（x2-2）2+y22，
因为y21y21+（x1-2）2-y22y22+（x2-2）2=（y1-y2）（y1+y2-2my1y2）y21+（1-my1）2[y22+（1-my2）2]=0，
所以∠OMA=∠OMB.
评注：解析几何的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法.解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题;根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论对应的合理的几何解释，解决几何问题.解析几何是几何，得意忘形学不活.图形直观数入微，数学本是数形学.利用数形结合进行解题，形象、直观，但很多时候却不易想到，这就需要学生打破知识间的壁垒，充分发挥想象力.
二、背景探究
我们观察例题中点F与点M的横坐标，进一步展开思考，不难发现点F的横坐标与点M的横坐标之积等于a2，以及此题的出题背景是椭圆的等角定理，下面我们来证明椭圆的等角定理.
椭圆的等角定理：过椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0） 长轴上任意一点N（t，0）的一条弦的端点A，B与对应点Ga2t，0的连线所成角被焦点所在直线平分，即∠OGA=∠OGB（如图）.
证明：设直线AB的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线与椭圆方程联立x=my+t，x2a2+y2b2=1，得（a2+b2m2）y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0，
所以y1+y2=-2mtb2a2+b2m2，y1y2=b2t2-a2b2a2+b2m2，
所以kAG+kBG[ZK（]=y1x1-a2t+y2x2-a2t=2my1y2+t-a2t·（y1+y2）x1-a2t·x2-a2t=0，[ZK）]
所以∠OGA=∠OGB.
评注：逻辑推理是数学学习中的基本的思维方式，也是生活中常用的思维方式.逻辑推理的一般过程是：首先，在熟悉的情境中，用归纳或类比的方法发现数量或图形的性质、关系;其次，在关联的情境中发现并提出问题;最后，用数学语言予以表达.在逻辑推理中，归纳、类比是发现和提出数学问题的重要途径.
三、背景演绎
提出问题：已知椭圆C：x22+y2=1，过椭圆C的右焦点F不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A，B两点（kl≠0），点M的坐标为（m，0），若x轴平分∠AMB，求m的值.
解：设l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=ty+1，x22+y2=1得（t2+2）y2+2ty-1=0，
所以y1+y2=-2tt2+2，y1y2=-1t2+2，Δ>0.
直线AM，BM的斜率之和为：
kMA+kMB=y1x1-m+y2x2-m=2ty1y2+（1-m）（y1+y2）（x1-m）·（x2-m）=0，
所以m=2.
问题进阶：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过长轴上任意一点N（n，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A，B两点（kl≠0），点M的坐标为（m，0），若x轴平分∠AMB，求m的值.
解：设l的方程为x=ty+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
由x=ty+n，x2a2+y2b2=1得（a2+b2t2）y2+2tnb2y+b2n2-a2b2=0，
所以y1+y2=-2b2tna2+b2t2，y1y2=b2n2-b2a2a2+b2t2，Δ>0，
所以直线AM，BM的斜率之和为：
kMA+kMB=y1x1-m+y2x2-m=2ty1y2+（n-m）（y1+y2）（x1-m）·（x2-m）=0，
所以2ta2b2=2tmnb2，所以mn=a2，即m=a2n.
进阶结论：
①过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）长轴上任意一点N（n，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A，B两点（kl≠0），点M的坐标为（m，0），若x轴平分∠AMB，则xM·xN=a2.
②过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）短轴上任意一点N（0，n）且不垂直于y轴的直线l与椭圆C交于A，B两点（kl≠0），点M的坐标为（0，m），若y轴平分∠AMB，则yM·yN=b2.（证明同①）
结论实操：
训练1：已知椭圆C：x22+y2=1，设过右焦点F不垂直于x轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一点M，记△AMF和△BMF的面积分别为S1，S2，使得S1S2=MAMB？若存在，求出點M的坐标;若不存在，请说明理由.
简解：因为S1S2=AFBF=MAMB，所以x轴平分∠AMB，
所以xM·xF=a2=2，∴M（2，0）.
训练2：设M（-4，0），直线y=kx+12与椭圆C：x2[]2+y2=1交于A，B两点，若直线MA，MB均与圆x2+y2=r2（r>0）相切，求k的值.
简解：设直线y=kx+12与x轴交于点N，
因为直线MA，MB均与圆x2+y2=r2（r>0）相切，
所以x轴平分∠AMB，
所以xM·xN=a2=2，所以xN=-12，
所以-12k+12=0，所以k=1.
训练3：已知椭圆C：x22+y2=1，设过N（-1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D（点D与点B不重合），证明：直线BD恒过定点，并求该定点的坐标.
简解：设直线BD与x轴交于点M，点A、点D关于x轴对称，由∠AMN=∠BMN，得xM·xN=a2=2，所以xM=-2，所以M（-2，0）.
训练4：已知椭圆C：x22+y2=1，过点P0，12的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A ）.证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标.
简解：设直线AD与y轴交于点M，点B、点D关于y轴对称，由对称知∠DMP=∠BMP，所以yM·yP=b2=1，所以yM=2，所以M（0，2）.
古人云：“集腋成裘，聚沙成塔”，强调的就是积累的作用，量的积累必然会带来质的变化，解析几何中的学习亦是如此，要多积累一些模型，多归纳一些方法，还要深谙其中的奥妙，那么此版块的学习才会别有洞天、一骑绝尘.
【参考文献】
[1]俞永锋.与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角定理[J].数学通报，2010（06）：43-44.
[2]曾建国.高观点下圆锥曲线一组性质的统一[J].数学通报，2012（08）：60-62.
