深度研读教材策略之二：再现数学知识的形成过程
周佳泉 李雪菲
【导读】
“体积和体积单位”是人教版数学五年级下册的内容。它是学生在“图形与几何”板块认知水平上的一次大飞跃，实现空间认知能力从“二维”到“三维”跨越的必经之路。
在這部分内容的实际教学中，我们常常发现这样一些问题：学生知道“长方体的体积=长×宽×高”，却无法解释为什么用“长×宽×高”;他们清楚1立方厘米、1立方分米和1立方米的定义，却不能大致估计一个书包、一个苹果的体积……学生在学习的道路上，哪些地方“掉链子”了？该怎样弥补？
来自昆明市盘龙区金康园小学的周佳泉老师，用实践探究的方式给我们呈现了不一样的“体积和体积单位”。希望能抛砖引玉，引起大家更多的思考。
【案例】
课堂实录：
一、情境导入
师（出示尺子）：1厘米的线段上有多少个点？2厘米的线段上呢？
……
师：既然它们都有无数个点，那他们相等咯？
……
师：也就是说，我们用点作单位无法比较两条线段的长度，当我们用厘米作单位的时候，就很容易比较它们的长短了，是这样吗？
……
二、认识体积
师：什么是体积？
生1：物体所占空间的大小，叫作体积。
师：那什么是空间呢？（生无语）
师：请坐。我们来看一段视频。（课件播放相同杯子装水再加土豆水溢出的视频）
（生观看）
师：同样大小的杯子，为什么第三个杯子装不了一杯水？为什么第一杯的水会溢出来呢？
……
三、认识体积单位
（一）建立体积单位的必要性
师（课件出示书包和文具盒）：谁的体积大？
生（齐）：书包的体积大。
师：书包的体积到底有多大？
……
师：所以我们就需要有一个体积单位来对它进行描述。常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。
（二）认识立方厘米
师（出示课件）：我们规定棱长1厘米的小正方体，它的体积就是1立方厘米。在你们学具盒里找一找，找出1立方厘米的小正方体。
（学生找到举起来）
师：1立方厘米的小正方体和身体的哪一个部分大小差不多？
生1：和一个指甲盖大小差不多。
师：比比看，我们的手指甲盖有1立方厘米大吗？
生2：没有，厚度不够。
……
师：生活中还有哪些物体的体积大约是1立方厘米？
……
师：看你们桌上的墨水盒，估计它的体积大约是多少立方厘米？
生（猜测）：20cm3、40cm3、80cm3、200cm3……
师：大家有什么办法能够知道这个墨水盒的体积是多少立方厘米？
生1：用体积是1立方厘米的小正方体来填充，能填充多少个，它的体积就是多少立方厘米。
……
师：一共能摆多少个？
生2：24×5=120个。
师：摆满了吗？
生（齐）：摆满了。
师：也就是说，这个墨水盒的体积大约是……
生（齐）：120立方厘米。
师：和自己的拳头比比，有什么发现？
生1：差不多。
生2：我们的一个拳头，大约就是120立方厘米。
……
（三）认识立方分米
师：学了立方厘米，那你知道1立方分米是多大吗？
……
师：它和我们身体的哪一部分大小差不多？
生1：和我们的两个拳头大小差不多。
生2：应该是4个拳头。
师：这位同学说1立方分米和我们的4个拳头大小差不多，大家同意吗？
生（用拳头比画）：是差不多。
师：真的吗？高度够吗？
生（恍然大悟）：高度不够，还要再来一层。（再加上4个拳头）
……
师：请估计一下一个书包的体积大约是多少立方分米？
……
师：刚才我们已经估算过，我们的一个拳头大约是120立方厘米。一立方分米大约相当于我们的8个拳头，那1立方分米大约等于多少立方厘米呢？
生：120×8=960立方厘米。
师：也就是快接近……
生2：1000立方厘米了。
师：那我们大胆地猜测一下，1立方分米会等于多少立方厘米？
生3：1立方分米=1000立方厘米。
师（用PPT演示）：
……
师：证明我们的猜测……
生（齐）：是对的！（师板书：1dm3=1000cm3）
（四）认识立方米
师：如果用立方分米做单位来测量我们这间教室内部空间的大小，合适吗？
……
师：想要真正见识一下1立方米的视觉效果吗？
生（齐）：想！
师（摆出1立方米的正方体框架）。
生（惊叹）：哇！
师：“哇”是什么意思？
生：太大了！
师：生活中哪些物体的体积大约就是1立方米？
……
师：大约能钻多少个人进去？
……
师：满了吗？
生（齐）：满了。
师：真的吗？
生5：还没有。如果人可以堆起来，还可以往上再摆。
……
师：这就意味着1立方米大约相当于几个同学的体积？
生（齐）：24个。
师：其实24个同学之间……
生6：还有空隙。
师：那把这些空隙也塞满呢？
……
师：已经快接近……
生（齐）：1000立方分米了。
……
生2：这和1立方分米等于1000立方厘米，道理是一样。
（师板书：1m3=1000dm3）
师：请大家估计一下我们这间录播教室内部的空间大约是多少立方米？
（生有些为难）
师：老师告诉大家：教室前后长15米。这就意味着一排可以……
生1：摆15个。
师：宽是8米。
生（多数学生激动）：可以摆120个！
师：摆满了吗？
生（齐）：没有，只摆满了一层。
师：这间教室的高度是3.3米，我们把它大约当作3米。
生：360个！
師：也就是说这间录播教室的内部空间大约是……
生（齐）：360立方米！
四、巩固练习
师：请猜一猜这是哪种东西的体积？
……
师（PPT出示大货车车厢数据）：你知道这个大货车车厢的内部空间是多少立方米吗？
……
五、知识整合
师：在学习了体积单位之前，我们还学过哪些关于图形的测量单位呢？
……
师（用PPT演示水龙头滴水）：很多个点聚集在一起，就形成了线段。这时候要测量它的长度，我们用什么来测量呢？
……
师（用PPT演示）：很多根线段排列起来就成为……
生：一个面。
……
师（PPT演示）：很多个面叠加起来就成为……
生：体！
……
六、小结
师：这节课我们学了哪些知识？
……
【思考】
“体积和体积单位”知识内容并不多，但抽象程度高，学生理解起来并不容易。来自昆明市盘龙区金康园小学的周佳泉老师，本着“让学生经历知识形成的完整过程”这一教学原则，联系学生的生活实际经验，在动手操作的基础上，做到观察与推理相结合、在培养学生空间想象能力中渗透数感训练。牢牢抓住“占据空间”这一核心，多层次、多角度创设情境，让学生在丰富的体验活动中，最终突破从二维空间到三维空间的质变点——“高度”的理解。
具体说来，有以下四个方面值得我们借鉴：
1.在“占据空间”上做足文章。
物体占据空间的现象，对大家来说司空见惯。但要真正从数学的高度去深入理解，却非易事。从学生回答“一个指甲盖的体积大约是1立方厘米”“4个拳头大约相当于一立方分米”等真实想法来看，物体在高度方向上占据空间的特性常常被他们忽略。周佳泉老师通过水被土豆挤占空间而溢出杯外体会到了空间就是物体存在于现实中的“位置”，通过多次提问“装满了吗？”最终让学生明白“只铺满了底层”是不够的，还可以沿着高度再铺这样的若干层。从而，真正理解了从二维空间到三维空间的质变点是“高度”。
2.补足体积单位之间的“阶梯”。
教材中只给出了“1立方厘米”“1立方分米”和“1立方米”的体积单位概念，很多老师在实际教学中也仅限于这三个体积单位尺度的落实。但在实际生活中，体积尺度在几十立方厘米、几百立方厘米的物体随处可见，估测这些物体的体积并形成个性化的参照标准，对于帮助学生建立体积单位表象具有无可替代的作用，进而能对推算立方分米与立方厘米之间的进率做出大胆而合理的猜测。估测书包和自己身体的体积，也有同样的价值。从“看体积猜物体”的活动可以看出，学生对体积单位的表象建立已经很牢固，并形成了良好的数感。
3.理解体积测量的本质是“单位累加”。
在本节课中，周佳泉老师并没有刻意地去讲解长方体体积的“计算公式”，但实际上学生已经会计算了。最根本的原因在于：老师牢牢抓住体积“占据空间”这一基本特性，通过多次的操作、体验活动，让学生理解用体积单位去“占据”一个长方体时，从长、宽两个维度可以占据这个长方体的底层，再向高度发展才能完全占据这个物体内部的全部空间。即：用每排个数×排数得到底层的体积单位数，再×层数就可以得到体积单位的总数。理解了这一点，“长方体的体积=长×宽×高”这一算法已经呼之欲出了。到此为止，学生已经完全理解了体积测量（计算）的本质就是单位累加——一个长方体里能包含多少个体积单位，它的体积就是多少。
4.初步归纳了“点、线、面、体”之间的关系。
“积点成线，积线成面，积面成体”，这些抽象的数学关系到了高中或大学，理解起来可能非常容易，但对小学生来说，它们似乎是“不同世界”的独立存在。本案例中，周佳泉老师采用现实生活中最常见的例子——“水龙头滴水”“织布机织布”“纸张叠放”生动形象地使学生理解了点、线、面、体之间可以互相转化的几何特性，为后续学习埋下了理性的种子。这个部分的设计，绝对不是可有可无的点缀，而是对整节课的一个高度升华。渗透辩证唯物主义思想的启蒙教育，绝不是一句空洞的口号，它就实实在在地存在于我们的教学行为之中。
完整经历知识的形成过程，表面上看似乎是“把一个简单的知识教得过于费力了”，但从深层次观察，对同一个思维点用不同的载体、形式去不断呈现，才能充分照顾学生的个体差异，使学生对概念的理解真正达到应有的思维高度。
