“APOS”模式下的 “一元二次方程”教学探索
李雪琼
[摘? 要] “APOS”理论认为，学生针对概念的学习实际上是以概念为对象，促进自身完成对概念自我心理建构的过程. 基于此，文章以“一元二次方程”的教学为例，以理论四阶段在概念教学中的应用展开全方位探索，并针对教学成效以及注意事项展开深入反思，希望能为其他一线教师提供教学借鉴.
[关键词] “APOS”模式;概念教学;一元二次方程
杜宾斯提出的“APOS”概念教学模式主要包括4个阶段：活动、过程、对象以及图示. 这一概念教学模式的核心是为学生营造良好的学习情境，使学生能够置于情境中自主完成对概念的建构，从而更精准地把握概念的本质. 在初中数学概念教学中，教师要对学生的思维进行引导，使他们亲历概念的探究过程. 将“APOS”模式应用于初中数学概念教学中，能够达到事半功倍之效.
■ “APOS”模式下的“一元二次
方程”教学案例
1. 活动阶段：借助问题情境，引导列出方程
（1）呈现问题情境
情境1：一块长方形铁皮，已知面积是5000平方厘米，长为100厘米，那它的宽是多少厘米？
情境2：分别在上述铁皮的四个角上切割相同大小的4个小正方形，由此做成一个无盖的长方体铁皮盒，得到底面积为3600平方厘米的铁皮盒. 求剪下的小正方形的边长是多少厘米.
情境3：一座人体雕像高2米，上、下部分的高度之比与下部和全部的高度之比相同，则下部是多少米？
（2）引导列出方程
让学生根据情境列出方程：对于情境1，假设所求的宽为x厘米，则所列方程为100x=5000;对于情境2，假设小正方形的边长为x厘米，則所列方程为（100-2x）（50-2x）=3600;对于情境3，设下部是x米，则所列方程为4-2x=x2.
（3）组织小组讨论
让学生在小组内对列方程的等量关系进行讨论.
设计意图？摇 “APOS”模式的第一阶段为活动阶段. 在这一阶段，根据教学内容设置问题情境引出活动学习内容是关键. 以上教学片段，通过三个问题情境引出三个方程，紧扣学生的原有认知基础，且能够有效地激活学生原有的学习经验，从而为接下来的自主探究学习奠定基础.
2. 过程阶段：组织学生讨论，引导对比分析
（1）呈现讨论问题
上述三个方程有什么相同点和不同点？哪些方程是你们没有学过的？
（2）组织讨论分析
让学生在小组内分别对3个方程进行讨论分析，学生得出以下结论：①这3个方程的相同点是都只有一个未知数. ②第一个方程的未知数的次数是1，第二个方程和第三个方程的未知数的最高次数都是2.
（教师板书：一元一次方程？摇 一元二次方程）
设计意图？摇 “APOS”模式的过程阶段强调的是引导学生在自主活动中引出新概念. 这一环节的设计是为了有效唤醒学生已有的认知经验，让他们在对比3个方程异同的过程中自主生成“一元二次”方程的概念. 这样，基于类比概念的方式，学生初步体会到了一元二次方程的特点是只有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
3. 对象阶段：引导语言描述，把握概念本质
“APOS”模式的对象阶段就是要引导学生使用正确的数学语言对数学概念进行数学化表征，这是概念教学的关键所在，也是难点所在. 在教学中，笔者让学生基于一元一次方程的基本形式对一元二次方程的形式进行表征.
（1）组织分组讨论
一元一次方程的基本形式是ax+b=0（a≠0），那么，你觉得一元二次方程的基本形式是怎样的？你能根据自己的理解对上述第二个和第三个方程进行变形吗？
小组1：将第二个方程与第三个方程中的数字转化为字母，可以得到（a-bx）（c-dx）=m或者a-bx=cx2.
（小组1的学生未能深入触及一元二次方程的本质，所以在数学表征上并不准确）
小组2：通过和一元一次方程ax+b=0（a≠0）进行对比，可以得出一元二次方程的一般形式为ax2+bx=0.
（有学生认为第二个方程与第三个方程实际上与这种形式并不匹配，因为其后还有一个常数，所以不能将其视为正确的一般式）
小组3：应当将一元二次方程的一般形式写成ax2+bx+c=0.
（要求学生对第二个方程以及第三个方程进行转化，然后说一说其中包含几个未知数以及未知数的最高次数，判断其是否为方程. 当学生完成对这些问题的充分考虑之后，很多学生认为这一表达式是正确的. 但是，在这些回答中并未涉及限定条件）
（2）深化概念理解
问题1：在这个一般式中，a是否可以为0？
在讨论的过程中，学生发现，当a=0时，很显然这个一般式中就不存在二次项了，由此明白其中应存在限定条件a≠0.
问题2：在这个一般式中，b，c是否可以为0？
这一问题可以突出强调一元二次方程的基本属性，引导学生发现当b或c等于0时，能够得到ax2+bx=0，ax2+c=0，这是一元二次方程的特殊形式.
问题3：是否可以将等号转化为其他符号，如大于符号或小于符号？
学生结合方程的定义明白等号不可以被替换. 在这一过程中，笔者进行拓展链接，让学生明白：将等号转化为其他符号时，会得到另一类式子，也就是一元二次不等式.
（3）促进概念内化
通过上述探究活动，可引导学生自主完成一元二次方程概念的归纳以及总结：
①只包含一个未知数，且最高项次数为2，二次项系数不等于0;
②一般情况下，关于x的一元二次方程可以转化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，这是其一般式.
设计意图？摇 这一环节是本课教学的主环节. 在这一环节中，笔者引导学生对一元二次方程的一般式进行自主化表征，这样，他们在这个过程中就能对“一元二次”方程的本质进行理解，且他们在这个过程中经历了数学对比、数学迁移、数学分析的过程，促进了他们数学思维能力的发展.？摇？摇？摇？摇？摇
4. 图式阶段：设计层次练习，引导概念应用
在本课的教学中，笔者为学生设计了以下练习：
（1）将方程5x（x-1）=4（x+2）转化为一般式.
（2）什么条件下方程（2a-4）x2-2x+a=0为一元二次方程？什么条件下其为一元一次方程？
（3）一扇长方形门的高比宽长6尺8寸，对角线为一丈，分别求其高和宽.
（4）基于（16-2x）（10-2x）=112，联系实际编写一道应用题.
设计意图？摇 “APOS”模式的最后阶段是图示阶段，在这一阶段中，引导学生在练习及应用中形成概念图示是重点. 这四道练习题紧紧围绕一元二次方程概念的本质，具有一定的梯度，能让学生在练习的过程中对一元二次方程的概念形成正确的心理图示.
■ 对“APOS”模式下“一元二次
方程”教学的反思
在本课的教学中，基于“APOS”模式对一元二次方程展开教学，实现了有效的循序渐进，同时能对学生的思维形成引领，亲历概念具体的生成过程，不仅架构了多维的思维活动，而且有助于深化学生对概念的理解和认知，自主完成概念建构. 数学这门学科最突出的特点在于抽象性，对师生而言，在实际教学过程中，必然要经受抽象的考验. 如果不能彻底解决抽象性的问题，一旦学生的思维度不够，便不利于其理解数学知识. 但是如果仅以这一理由，便抹去其誕生的现实背景，那也只能视为片面认知. 所以，在具体的教学过程中，应当为学生搭建平台，这样才能促使其亲历数学知识的发生以及发展过程，同时应设计合理的情境，因为只有将数学活动置于真实的情境中，才能帮助学生深入触及概念本质.
1. 设计问题情境，引出数学活动
对于数学活动的开展，首先需要结合问题情境. 问题情境不仅要以此揭示数学知识的现实背景，还应当能够呈现完整的形成过程. 此外，应当与学生已有的学习能力以及心理建构能力相匹配，这样，学生在置身于相应的数学活动中时，才能获得更丰富的体验，才有助于激发主动参与学习和探究的兴趣.
2. 经历探究过程，提升数学思维
在揭示概念诞生的过程中，数学思维方法是其关键所在，同时也是促使学生自主建构概念的主线，所以，教师应当立足于实践，为学生提供思维引领和点拨，这样学生才能自主完成归纳总结，才能结合巧妙的设计，促使学生对所学知识展开反思，由此才能脱离现下的活动、过程阶段，成功地向对象阶段过渡.
3. 坚持循序渐进，激发创新意识
在学习数学概念的过程中，必须要实现阶段式跨越，而其间必然要经历多次反复，因此是一个循序渐进的长期过程. 建立对象时，首先要确保简洁的语言形式，或者以符号来表达，这样才能为学生架构直观且丰富的结构表象. 当然，在概念的教学实践中，并非所有的概念都需要呈现或者经历所有的阶段.
“APOS”理论的建立是以数学概念为基础的，在实际的教学过程中，笔者感受到自身在角色以及任务方面的转变，其不仅仅是为了向学生传授知识，更重要的是要搭建良好的平台，使学生感受到自己在这一过程中的主体地位，从而实现主动发现、主动学习. 同时，师生之间应当建立伙伴关系，这样，所营造的学习氛围才能平等和谐，才有助于发展学生的个性，提高其创新能力.
总之，“APOS”模式在初中概念教学中的应用，能够有效地激发教师的创新意识，充分展现教学智慧，有助于和学生建立伙伴关系，能引导他们在课堂上对数学概念进行自主化数学探究.
