数形结合的解题策略

    李标

    

    数学是研究数量关系和空间形式的科学。“数”和“形”作为数学两大主要研究对象，它们的辩证统一贯穿数学发展的主线。《义务教育数学课程标准（2011年版）》突出体现了数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观等十项核心概念，其中几何直观就是数形结合思维。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合将数量关系和空间形式有机结合起来，成为小学数学解题的重要思维。

    一、小学数学数形结合的教学意义

    （一）有利于培养学生数学素养

    数形结合是中小学生必备的数学素养之一。数形结合内化为学生的素养，能够使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。通过数形结合，学生可以多层次、多角度地思考问题，从而培养良好的数学思维。小学生抽象思维的培养基本依赖数学学习，通过数形结合，小学生从形象思维向抽象思维有机过渡，并为培养逻辑辩证思维奠定基础。

    （二）有利于提高数学课堂活力

    利用数形结合能有效拓宽学生学习思路，促进课堂氛围的活跃，提高学生学习数学的主动性和积极性。小学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡，形象思维虽然直观，但有时无法解释数学规律的严谨和逻辑。抽象思维虽然更显深度，但对学生的思维要求较高。在小学数学课上，过多利用形象思维会导致课堂缺少深度，过多利用抽象思维则让课堂缺少热度。因此，有效的数形结合让数学课堂的深度和热度兼备。

    （三）有利于培养学生解题能力

    计算和解题贯穿小学数学的全过程，利用数形结合来描述问题和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索出解决问题的思路，预测结果。学生通过运用数形结合方法对题目进行解析，化抽象为直观，简化解题过程，快速找到解题方法，從而提升解题能力。

    二、小学数学数形结合的解题策略

    （一）以图解意：让解题思路更直观

    以图解意，利用几何直观将一些数学概念与数理关系由抽象变为具体。数学概念的建立，以及数学解题的计算到处需要图形转换。小学低年级认识自然数、整数、分数及加减乘除的运算，苏教版教材几乎都有直观图形来进行展示，以帮助学生尽快地理解抽象概念。形象生动的“图”能将枯燥的数学理论的“意”有趣、直观地解释出来，进而引导小学生对数学进行探索发现，从感到数学枯燥到对数学感兴趣再到形成数学学习与解题的内生动力。以图解意降低了小学生解题的困难度，将抽象的要求变为直观的图形，使形象思维占主导的小学生能更好地理解题意，形成思路并准确解答。

    例如，笔者曾在教学苏教版小学六年级“分数的计算”时设计了一道这样的数学题：

    例1：小明从家骑自行车前往学校，当骑行到总路程的时，距离学校还有3千米。请问，小明家到学校的距离是多少千米？

    这道题看似简单，但在解答过程中却出现了2个答案。其中一个答案为“x=3，x=12”，另一个为“（1-）x=3，x=4”。不难发现，由于部分学生未能把握其中的空间观念和数量关系，因此很容易列错方程式，得出总路程为12千米这一错误答案。如果学生能够在解题过程中用线段图示的形式将题意表达清楚，就能够避免类似的错误。

    （二）用数释图：让解题思路更直接

    用数释图是指利用数的准确性、逻辑性将复杂图形数学化，从而使下一步的分析计算更简明直接。小学生在解题时借助用数释图的方法，其基本过程首先是根据题干意思对复杂图形进行分析，然后以已学数学公式及定理对图形进行数学表达并解答问题。这种方法主要运用于小学数学中几何图形的周长、面积、体积的计算。

    例如，在苏教版小学三年级下册“长方形和正方形的面积计算”内容中，有这样一道题：

    例2：下图中每个小方格代表1平方厘米。你能说出图中阴影部分的面积吗？

    小学三年级的学生思维水平已经有了很大的发展，但最初遇到这种不规则的图形时，部分学生还是无从下手。如何让学生的解题思路更直接呢？此时可以这样点拨学生：这个看似不规则的图形，如果将它分解成我们熟悉的正方形和三角形，是不是就容易多了呢？在这样的点拨下，学生利用已学的计算面积公式，马上得出以下结果：

    方法①：1×8+（1×2）×2+（2×2）×2=14

    方法②：1×10+（1×2）×2+（1×1）×4=14

    …………

    （三）数形结合：让解题思维更突出

    数形结合是综合以图解意和用数释图的双重方法，综合题目中的数量和图形关系，使数形有机结合。该方法利用图的简明直观和数的逻辑严谨，将复杂问题简易化，从而大幅度提高了学生的解题效率。

    例如，在教学苏教版三年级上册“分数的初步认识”这节课时，笔者设计了一道这样的题：

    例3：小明的爷爷今天过生日，爸爸买来一个蛋糕，平均切成了10块，小明吃了其中4块，问：①小明吃了蛋糕的几分之几？②把剩下的蛋糕平均分给爷爷、爸爸和妈妈，他们每人能吃几块？爷爷和小明谁分到的蛋糕多？

    在这一道题中，学生刚开始接触分数，第一问是基础题，很好回答。但对于第二问，如果直接用分数除以整数再计算，学生基本解答不出来。如果点拨学生用数形结合的办法将蛋糕画出来并进行均分，第二问就能快速地解答出来了，而且学生的思维也能得到激活，很容易达到学习的“最近发展区”。

    小学阶段是解题思维塑造的关键时期，而数形结合就是将抽象的数量关系图形化，图形的内容数量化，从而让解题思路更加清晰和直观。这不仅有助于学生数学学习兴趣的培养，更有利于学生数学素养的积淀。

    （责编 马孟贤）