1∶1内共振条件下受基础激励屈曲梁的非线性振动和分岔分析

    黄建亮 肖龙江

    

    

    

    摘要：研究两端固定屈曲梁这种同时含有2，3次非线性项的系统受基础简谐激励作用下的非线性振动响应及分岔演化过程。对屈曲梁的运动微分方程，利用Galerkin方法分离时间和空间变量，应用增量谐波平衡（IHB）法自动追踪屈曲梁的非线性振动响应的周期解和倍周期解，并用Floquet理论分析其解的稳定性。研究表明屈曲梁对称模态的固有频率随屈曲程度而变化，反对称模态的固有频率保持不变。研究发现基础简谐激励作用下，不同屈曲程度时存在两种截然不同的非线性现象：1）在非共振时，反对称模态未能被激发，系统经过发生倍周期分岔通向混沌运动;2）在1∶1内共振条件下，反对称模态在一定的频率区间里会被激发，系统发生Hopf分岔导致具有等间距边频带的准周期运动，最后至混沌运动。利用IHB法得到结果与用Runge-Kutta法得到的数值结果一致。

    关键词：非线性振动;屈曲梁;分岔;增量谐波平衡法;准周期运动

    中图分类号：O322;TU375.1文献标志码：A文章编号：1004-4523（2020）04-0698-11

    DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.007

    引言

    屈曲梁/板/壳等结构的振动十分普遍，广泛存在于航空航天、土木、机械、电子等工程中[1-5]。飞机、火箭、导弹、加速推进器、航天结构里的柔性纤维、潜水器等典型例子，其基础的激励作用都与结构的横向振动有关。

    由于初始弯曲和中面伸长，屈曲梁的振动方程中同时包含2次和3次非线性项，表现出较为复杂的非线性特性[6-7]。两端固定屈曲梁，由于边界条件的特殊性，其振动响应更为复杂[8-9]。Afaneh和Ibrahim利用多尺度法分析了1∶1内共振条件下两端固定屈曲梁的前两阶的振动响应[8]，发现在此条件下，梁的振动响应会出现周期运动、准周期运动和混沌运动三种形态，并通过实验进行验证。Kreider和Nayfeh通过实验测定[9]，当外激励的频率接近于梁的第1阶固有频率时，随着外激励的振幅变化会发生倍周期分岔，并且在倍周期分岔的基础上会发生“不可解释”的准周期运动，然而没有给出理论上的分析，只是说明用1阶模态计算得到的结果误差较大。Emam和Nayfeh通过数值计算的方法验证了上述实验结果的可靠性[10]，同时他们还用多时间尺度法和打靶法研究了屈曲梁的次谐波响应[11]。在中国，也有相关学者在这领域作了大量而出色的研究工作。曾志刚和叶敏采用实验建模和多尺度法研究了黏弹性屈曲梁的参数激振[12]，并用数值模拟的方法研究由倍周期分岔通往混沌的道路。陈得良等用实验研究了脱层屈曲梁在轴向周期激励作用下的倍周期分岔与混沌运动[13]。

    增量谐波平衡法（IHB法）适用于解决强非线性振动问题[14-17]。运用增量谐波平衡法可追踪振动响应随着系统参数的变化，有利于研究系统的总体特性。Huang等[18-19]用增量谐波平衡法研究了两端简支弯曲梁的振动。Lau等[20-21]把增量谐波平衡法和多时间尺度法结合起来，用于计算系统的准周期运动。Huang和Zhu[22-23]改进了文献[20-21]的方法，用多时间尺度的增量谐波平衡法研究了一端固定一端简支的弯曲梁的准周期运动。

    本文采用增量谐波平衡法分析两端固定屈曲梁的非线性振动响应和分岔过程。先用线性化的方法计算梁的固有频率和模态函数，再通过Galerkin方法对梁的振动偏微分方程进行离散，使其转化为以时间为变量的常微分方程，然后运用增量谐波平衡法把此常微分方程再次转化为代数方程求解，得到系统振动的周期解，并通过Floquet理论[24-25]对解进行稳定性分析。研究了弯曲程度不同时，远离内共振条件下和内共振条件下系统的非线性振动响应和分岔演化过程。

    周期解发生倍周期分岔的原因和工况1）不同，在工况1）中是因为对称模态的响应发生倍周期分岔，而在工况2）中则是因为被激发的反对称模态与对称模态中包含不同的频率成分。

    追踪period-2周期解可发现，在图6中r點外激励频率为45.68处，period-2周期解不稳定。在这一点，Floquet乘子中有一对复共轭特征值与单位圆相交，因此，在这一点period-2周期解发生Hopf分岔导致准周期运动。经过一段稳定的准周期运动，在外激励频率为45.6处，准周期运动失稳，演变为混沌运动。与工况1）不同的是，此时产生的混沌运动并不会随着时间逐渐衰减为周期运动，而是会持续保持下去。

    图7-9反映了在1∶1内共振条件下，图6中q点附近外激励频率接近梁的第1阶固有频率时，梁的振动响应的分岔演化过程。其中图7（a）为外激励频率为45.9处（图6中q点右侧）稳定的period-1周期解的频谱图。图7（b）为外激励频率为45.7处（图6中r点右侧）稳定的period-2周期解的频谱图，可以看出，与图7（a）中period-1周期解相比，q1的运动几乎没有发生变化，而q2的运动却从无到有被激发出来，图8（a）与（d）分别为此时q1与q2的相图。图7（c）为外激励频率为45.64处准周期运动的频谱图，在不稳定的period-2周期解各个谐波项的附近出现了间隔较小的等间距的边频带，边频带中相邻谐波项的间隔约为4.11，存在等间距边频带为准周期运动频谱图所特有的现象[22-23]，图8（b）和（e）分别为此时q1与q2准周期运动的相图，图9（a）和（c）为其庞加莱截面图。图8（c）与图8（f）为外激励频率为45.6时，q1与q2混沌运动的相图，图9（b）和（d）为其庞加莱截面图。

    当外激励频率接近梁的第2阶固有频率时，梁的振动响应的变化和外激励频率接近梁的第1阶固有频率。当外激励频率从44.68减小至43.68时（图6中s与t点之间），由period-1周期解发生倍周期分岔产生的period-2周期解稳定。此后随着外激励频率的减小，period-2周期解发生Hopf分岔，产生准周期运动。继续减小外激励频率，准周期运动将失稳变为混沌运动。

    5结论

    本文用增量谐波平衡法追踪了在基础谐波激励作用下两端固定屈曲梁的振动响应随外激励频率的变化，并分析了振动响应的稳定性和分岔演化过程。研究发现，在仅有梁的弯曲程度不同的两种情况中，运动失稳的方式完全不同。

    在屈曲程度较小，非共振的条件下，屈曲梁的反对称模态的振动不会被激发，当外激励频率接近梁的第1阶固有频率或其2倍时，梁的对称模态振动响应不断发生倍周期分岔，从而依次得到period-2k（k=1，2…）周期解，直到某个period-2k周期解不再发生倍周期分岔而发生鞍结分岔。在鞍结分岔点处period-2k周期解失稳而变为混沌运动，此混沌运动随着时间的变化逐渐演变为一个稳定的周期运动，这个周期运动为混沌运动中的一个吸引子。

    在屈曲程度较大，存在1∶1内共振的条件下，随着外激励频率接近梁的第1阶或第2阶固有频率，梁的振动响应也会发生倍周期分岔。但此时振动响应发生倍周期分岔的原因是反对称模态的振动被激发，而被激发的反对称模态的振动响应中所含有的频率成分均为外激励频率一半的奇数倍。由于发生倍周期分岔，梁的振动响应变为period-2周期解。随着外激励频率的减小，period-2周期解会发生Hopf分岔，导致含有等间距边频带的准周期运动。继续减小外激励的频率，准周期运动也会失稳而变为混沌运动。

    增量谐波平衡法可与Floquet理论相结合，用于定量追踪非线性系统的分岔演化过程。它的分析结果和数值方法的结果一致。

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    Abstract：Thisstudyinvestigatesnonlineardynamicsandbifurcationofafixed-fixedbuckledbeamsubjectedtoauniformbaseharmonicexcitation，whichisgovernedbyacouplednonlinearequationwithbothquadraticandcubicnonlinearities.TheGalerkinmethodisemployedtoseparatetimeandspacevariablesforadifferentialequationofthebuckledbeam，andtheincrementalharmonicbalance（IHB）methodisusedtotrackperiodicandperiodic-doublingsolutionsofnonlinearresponsesofthebuckledbeamautomatically.Inaddition，theFloquettheoryisusedtoanalyzestabilityofthesolutions.Theinvestigationsuggeststhatthenaturalfrequenciesofthesymmetricalmodeofthebuckledbeamvarywiththebucklinglevel，whilethenaturalfrequenciesoftheanti-symmetricmodeareinvariant.Itisfoundthattherearetwodifferentinterestingnonlinearphenomenawithbucklinglevelunderthebaseharmonicexcitation，1）innonresonancecase，theanti-symmetricmodescannotbeexcitedandthesystembifurcatesintoperiod-doublingsolutions;2）in1：1internalresonancecase，theanti-symmetricmodeswillbeexcitedinacertainfrequencyrange，andHopfbifurcationofthesystemwillleadtoquasiperiodicmotionwithuniformsidebands，untilchaosoccurs.Furthermore，theresultsobtainedbytheIHBmethodagreeverywellwiththoseobtainedbythenumericalintegrationusingtheRunge-Kuttamethod.

    Keywords：nonlinearvibration;buckledbeam;bifurcation;incrementalharmonicbalancemethod;quasiperiodicmotion