单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵重构的相干信源DOA估计
朱进勇+王立冬++孟亚峰
摘 要： 针对相干信源的DOA估计，提出一种基于单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵（SSVT）重构的解相干算法。该方法利用阵元接收的单快拍数据构造出双向虚拟子阵，并对虚拟子阵的协方差矩阵的平均值进行Toeplitz矩阵重构，实现对相干信源的DOA估计。该方法无需进行多次快拍，在不损失阵列孔径和工作阵元的基础上实现相干信源的DOA估计。仿真结果表明，该算法降低了运算量，在低信噪比的情况下也能分辨个相干信源。
关键词： DOA； 相干信号； 虚拟阵列； 单快拍； Toeplitz矩阵
中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）09?0001?04
Abstract： Aiming at the DOA estimation of the coherent signal source， a decoherent algorithm based on single snapshot virtual array Toeplitz （SSVT） matrix reconstruction is proposed. The method uses the single snapshot data received by the array element to construct the bidirectional virtual submatrix. The Toeplitz matrix reconstruction is performed for the mean value of the covariance matrix of the virtual submatrix to estimate the DOA of the coherent signal source. It is unnecessary for the method to conduct the multiple snapshots， and can estimate the DOA of the coherent signal source on the basis of ensuring the array aperture and work array element. The simulation results show that the algorithm can reduce the computation， and distinguish the coherent signal sources in the case of low SNR.
Keywords： DOA； coherent signal； virtual array； single snapshot； Toeplitz matrix
0 引 言
波达方向角（Direction of Arrival，DOA）估计一直是阵列信号处理的热点内容，在通信、雷达和声纳等系统中有着广泛应用。传统的多重信号分类法[1]（Multiple Signal Classification，MUSIC）和信号参数估计的旋转不变子空间技术[2]（Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）已经具有较高的估计性能，但是这些算法都是基于特征值分解运算的基础上进行的，而且往往为了获得良好的估计性能需要成百上千的快拍数，这在实际的工程应用中不太实际。在受到多径效应影响或敌方设置相干信源干扰的情况下，传统的子空间类算法的估计性能也急剧下降，甚至失效。
为了能够有效地对相干信号进行估计，国内外学者提出许多解相干的算法。文献[3]提出空间平滑思想，文献[4]提出前后向空间平滑算法，空间平滑类算法能够有效实现解相干，在高信噪比下具有良好的估计性能，但在低信噪比下估计性能严重下降而且是以牺牲阵列孔径为代价。文献[5]提出的虚拟内插技术实现了将真实阵列变换成一个或多个与原阵列具有相同结构的阵列，实现了增加虚拟阵元的目的。文献[6]提出的重构协方差矩阵，在一定程度上提高了分辨率，但都是建立在较大的快拍数情况下，并不利于实时处理。文献[7]提出的单快拍直接数据域算法，不损失阵列孔径，运算量低，但该算法的重构原理建立在入射信号类型是初始相位为零的非圆信号，这在实际应用中太过于苛刻。文献[8]提出利用阵列接收数据及其共轭信息，构造虚拟子阵，在小样本情况下也能适用，与FBSS算法相比提高了分辨率，避免了阵列孔径损失，但是仅适用于MASK，BPSK和AM等实值调制类信号。文献[9]采用单向虚拟阵列变换思想，能够分辨个相干信源，但建立在多快拍数的情况下，不利于实际工程应用，而且单向虚拟没有充分利用各个阵元的共轭信息。
基于对以上算法的分析，本文结合虚拟阵列思想[9?10]和Toeplitz矩阵[11]的特点，提出单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵重构的解相干算法（Single Snapshot Virtual Array Toeplitz Matrix，SSVT）。该算法基于阵列内插变换思想，利用天线阵列接收的单次快拍数据进行双向虚拟平移，目的是为了能够充分利用各个阵元输出的共轭信息，并对平移后的虚拟阵列数据组合成的矩阵进行协方差处理，然后对平均后的协方差矩阵进行Toeplitz处理，目的是为了使其能够更加接近真实的协方差矩阵。
1 信号模型
如图1所示为个全方向等距阵元组成的线阵（ULA），阵元间距为
假设来自空间的远场窄带部分相干或者全部相干的个信源以平面波的形式入射到线阵上，波达方向角为，则第个阵元接收的信号为：
2 SSVT算法
2.1 双向虚拟子阵
虚拟子阵的主要思想源于内插变换，通过对阵列天线接收信号的某种变换构造出虚拟阵元的信号以达到对原阵列的扩展。本文先将天线阵列接收的单次快拍数据进行双向虚拟子阵处理。其基本原理为将所有阵元向左和向右平移。向右平移时，每次将ULA等间距的向右平移距离形成一个虚拟子阵，如此继续平移次。天线阵列等间距向右平移的示意图如图2所示。
2.2 Toeplitz矩阵重构
通常情况下，双向虚拟天线阵列接收数据的协方差矩阵具有共轭对称性，也即Toeplitz性质，然而由于虚拟阵列天线接收数据都是由一个实际阵列平移得到的，因此，受到的误差影响较大，在低信噪比的情况下，也就只有主对角线占据优势。因此，可以采用Toeplitz矩阵对进行处理，使其更加逼近真实的协方差矩阵。
Toeplitz矩阵的近似算法是将对角线上的元素进行平均处理：
2.3 SSVT算法小结
通过以上的理论分析，将SSVT算法步骤总结如下：
（1） 利用实际单次快拍的阵列接收数据，分别左右平移构造出虚拟子阵矩阵和
（2） 对虚拟子阵和进行协方差处理，得到协方差矩阵和
（3） 根据式（15）得到平均协方差矩阵
（4） 对协方差矩阵进行Toeplitz处理，得到
（5） 对进行特征值分解，按照传统MUSIC空间谱函数方法构造谱函数，进行遍历搜索。
3 实验仿真
为了验证本文算法的解相干性能和估计性能，这里将本文算法SSVT与前向空间平滑算法（Forward Spatial Smoothing，FSS）进行比较。
3.1 两种算法的估计特性比较
实验条件：采用8阵元的等距线阵，阵元间距为半波长，分为4个，5个和7个窄带远场相干信源三种情况，其DOA分别为和。搜索步长FSS算法采用的采样快拍数本文算法为单快拍，信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）为0 dB。图4为4个窄带远场相干信源的空间谱，图5为5个和7个窄带远场相干信源的空间谱。
从图4可以看出FSS和SSVT都能实现对个相干信源的DOA估计。圖5中当相干信源超过时，FSS算法失效，SSVT算法能够准确分辨出相干信源，当相干信源增加到个时，SSVT算法依然能够准确地进行DOA估计。因为FSS算法将个阵元的等距均匀线阵划分为等长度相互叠加的子阵列，虽然通过子阵之间的滑动把协方差矩阵的秩恢复，但这是建立在牺牲阵列孔径基础上进行的。SSVT算法经过次平移，只是添加了时延，并没有牺牲阵列孔径，能够实现个相干信源的DOA估计。因此，SSVT算法能够在单快拍、不损失阵列孔径的情况下准确地进行相干信源的DOA估计。
3.2 两种算法的统计特性比较
实验条件：2个窄带远场相干信源，其DOA为，仿真结果为300次Monte?Carlo统计结果，当DOA估计结果在以内时，认定一次成功。其他实验条件与3.1节中的实验条件一致。
图6和图7为两种算法均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）和成功概率与SNR的对比关系图。
图6中分别为阵元数三种情况下，RMSE随SNR的变化关系比较曲线。由图6可知，在低SNR、阵元数少的情况下，SSVT算法的RMSE比FSS算法的RMSE高，估计性能不太理想。随着SNR增大和阵元数增多，RMSE已经明显减小，趋近于FSS。图7为三种情况下，估计成功概率随SNR的变化关系比较曲线。SSVT算法的估计成功概率低于FSS算法的成功概率，这与图6反映的关系也相互对应。这是由于SSVT算法在实质上只利用了单次快拍的个阵元的数据，经过次平移后累积误差越来越大，从而导致估计性能下降，但在阵元数较多的情况下，所得到的阵元数据增多，DOA估计性能也会提高。
4 结 语
本文提出一种基于单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵重构的解相干算法，该算法通过对阵元接收的单次快拍数据进行双向虚拟阵列变换，并对变化后的协方差矩阵进行Toeplitz处理。仿真实验结果表明，该算法避免了阵列孔径的损失，能够对个相干信源进行DOA估计，同时，由于只需一次快拍，降低了运算量，更利于工程实际。
参考文献
[1] SCHMIDT R O. Multiple emitter location and signal parameter estimation [J]. IEEE transactions on antennas propagation， 1986， 34（3）： 276?280.
[2] ROY R， KAILATH T. ESPRIT： a subspace rotation approach to estimation of parameters of cissoids in noise [J]. IEEE transactions on ASSP， 1986， 34（10）： 1340?1342.
[3] EVANS J E， JOHNSON J R， SUN D F. High resolution angular spectrum estimation techniques for terrain scattering analysis and angle of arrival estimation [C]// Proceedings of 1981 the 1st ASSP Workshop on Spectral Estimation. Ontario： ASSP， 1981： 134?139.
[4] PILLAL S U， KWON B H. Forward/backward smoothing techniques for coherent signal identification [J]. IEEE transactions on acoustics， speech and signal processing， 1989， 37（1）： 8?15.
[5] FRIEDLANDER B， WEISS A J. Direction finding using spatial smoothing with interpolated arrays [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 1992， 4（28）： 574?587.
[6] 伍逸枫，丛玉良，何斌.基于Toeplitz矩阵重构的相干信源波达方向估计研究[J].电光与控制，2010，17（3）：60?63.
[7] BAI Jun， SHEN Xiaohong， WANG Haiyan. Improved Toeplitz algorithms to coherent sources DOA estimation [J]. Journal on communications， 2010， 31（7）： 110?115.
[8] 刘志刚，汪晋宽，王福利.虚拟空间平滑算法[J].电子学报，2007，35（9）：1762?1765.
[9] 丁卫安，马远良.虚拟阵列变换法解相干信号MUSIC算法研究[J].微波学报，2008，24（2）：27?30.
[10] 李戈鹏.基于内插变换的虚拟天线波束形成技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2012.
[11] 胡晓琴，陈辉，陈建文，等.一种利用最大特征矢量的Toeplitz去相干方法[J].电子学报，2008，36（9）：1710?1714.
[12] 谢鑫，李国林，刘华文.采用单次快拍数据实现相干信号DOA估计[J].电子与信息学报，2010，32（3）：604?608.
摘 要： 针对相干信源的DOA估计，提出一种基于单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵（SSVT）重构的解相干算法。该方法利用阵元接收的单快拍数据构造出双向虚拟子阵，并对虚拟子阵的协方差矩阵的平均值进行Toeplitz矩阵重构，实现对相干信源的DOA估计。该方法无需进行多次快拍，在不损失阵列孔径和工作阵元的基础上实现相干信源的DOA估计。仿真结果表明，该算法降低了运算量，在低信噪比的情况下也能分辨个相干信源。
关键词： DOA； 相干信号； 虚拟阵列； 单快拍； Toeplitz矩阵
中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）09?0001?04
Abstract： Aiming at the DOA estimation of the coherent signal source， a decoherent algorithm based on single snapshot virtual array Toeplitz （SSVT） matrix reconstruction is proposed. The method uses the single snapshot data received by the array element to construct the bidirectional virtual submatrix. The Toeplitz matrix reconstruction is performed for the mean value of the covariance matrix of the virtual submatrix to estimate the DOA of the coherent signal source. It is unnecessary for the method to conduct the multiple snapshots， and can estimate the DOA of the coherent signal source on the basis of ensuring the array aperture and work array element. The simulation results show that the algorithm can reduce the computation， and distinguish the coherent signal sources in the case of low SNR.
Keywords： DOA； coherent signal； virtual array； single snapshot； Toeplitz matrix
0 引 言
波达方向角（Direction of Arrival，DOA）估计一直是阵列信号处理的热点内容，在通信、雷达和声纳等系统中有着广泛应用。传统的多重信号分类法[1]（Multiple Signal Classification，MUSIC）和信号参数估计的旋转不变子空间技术[2]（Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）已经具有较高的估计性能，但是这些算法都是基于特征值分解运算的基础上进行的，而且往往为了获得良好的估计性能需要成百上千的快拍数，这在实际的工程应用中不太实际。在受到多径效应影响或敌方设置相干信源干扰的情况下，传统的子空间类算法的估计性能也急剧下降，甚至失效。
为了能够有效地对相干信号进行估计，国内外学者提出许多解相干的算法。文献[3]提出空间平滑思想，文献[4]提出前后向空间平滑算法，空间平滑类算法能够有效实现解相干，在高信噪比下具有良好的估计性能，但在低信噪比下估计性能严重下降而且是以牺牲阵列孔径为代价。文献[5]提出的虚拟内插技术实现了将真实阵列变换成一个或多个与原阵列具有相同结构的阵列，实现了增加虚拟阵元的目的。文献[6]提出的重构协方差矩阵，在一定程度上提高了分辨率，但都是建立在较大的快拍数情况下，并不利于实时处理。文献[7]提出的单快拍直接数据域算法，不损失阵列孔径，运算量低，但该算法的重构原理建立在入射信号类型是初始相位为零的非圆信号，这在实际应用中太过于苛刻。文献[8]提出利用阵列接收数据及其共轭信息，构造虚拟子阵，在小样本情况下也能适用，与FBSS算法相比提高了分辨率，避免了阵列孔径损失，但是仅适用于MASK，BPSK和AM等实值调制类信号。文献[9]采用单向虚拟阵列变换思想，能够分辨个相干信源，但建立在多快拍数的情况下，不利于实际工程应用，而且单向虚拟没有充分利用各个阵元的共轭信息。
基于对以上算法的分析，本文结合虚拟阵列思想[9?10]和Toeplitz矩阵[11]的特点，提出单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵重构的解相干算法（Single Snapshot Virtual Array Toeplitz Matrix，SSVT）。该算法基于阵列内插变换思想，利用天线阵列接收的单次快拍数据进行双向虚拟平移，目的是为了能够充分利用各个阵元输出的共轭信息，并对平移后的虚拟阵列数据组合成的矩阵进行协方差处理，然后对平均后的协方差矩阵进行Toeplitz处理，目的是为了使其能够更加接近真实的协方差矩阵。
1 信号模型
如图1所示为个全方向等距阵元组成的线阵（ULA），阵元间距为
假设来自空间的远场窄带部分相干或者全部相干的个信源以平面波的形式入射到线阵上，波达方向角为，则第个阵元接收的信号为：
2 SSVT算法
2.1 双向虚拟子阵
虚拟子阵的主要思想源于内插变换，通过对阵列天线接收信号的某种变换构造出虚拟阵元的信号以达到对原阵列的扩展。本文先将天线阵列接收的单次快拍数据进行双向虚拟子阵处理。其基本原理为将所有阵元向左和向右平移。向右平移时，每次将ULA等间距的向右平移距离形成一个虚拟子阵，如此继续平移次。天线阵列等间距向右平移的示意图如图2所示。
2.2 Toeplitz矩阵重构
通常情况下，双向虚拟天线阵列接收数据的协方差矩阵具有共轭对称性，也即Toeplitz性质，然而由于虚拟阵列天线接收数据都是由一个实际阵列平移得到的，因此，受到的误差影响较大，在低信噪比的情况下，也就只有主对角线占据优势。因此，可以采用Toeplitz矩阵对进行处理，使其更加逼近真实的协方差矩阵。
Toeplitz矩阵的近似算法是将对角线上的元素进行平均处理：
2.3 SSVT算法小结
通过以上的理论分析，将SSVT算法步骤总结如下：
（1） 利用实际单次快拍的阵列接收数据，分别左右平移构造出虚拟子阵矩阵和
（2） 对虚拟子阵和进行协方差处理，得到协方差矩阵和
（3） 根据式（15）得到平均协方差矩阵
（4） 对协方差矩阵进行Toeplitz处理，得到
（5） 对进行特征值分解，按照传统MUSIC空间谱函数方法构造谱函数，进行遍历搜索。
3 实验仿真
为了验证本文算法的解相干性能和估计性能，这里将本文算法SSVT与前向空间平滑算法（Forward Spatial Smoothing，FSS）进行比较。
3.1 两种算法的估计特性比较
实验条件：采用8阵元的等距线阵，阵元间距为半波长，分为4个，5个和7个窄带远场相干信源三种情况，其DOA分别为和。搜索步长FSS算法采用的采样快拍数本文算法为单快拍，信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）为0 dB。图4为4个窄带远场相干信源的空间谱，图5为5个和7个窄带远场相干信源的空间谱。
从图4可以看出FSS和SSVT都能实现对个相干信源的DOA估计。圖5中当相干信源超过时，FSS算法失效，SSVT算法能够准确分辨出相干信源，当相干信源增加到个时，SSVT算法依然能够准确地进行DOA估计。因为FSS算法将个阵元的等距均匀线阵划分为等长度相互叠加的子阵列，虽然通过子阵之间的滑动把协方差矩阵的秩恢复，但这是建立在牺牲阵列孔径基础上进行的。SSVT算法经过次平移，只是添加了时延，并没有牺牲阵列孔径，能够实现个相干信源的DOA估计。因此，SSVT算法能够在单快拍、不损失阵列孔径的情况下准确地进行相干信源的DOA估计。
3.2 两种算法的统计特性比较
实验条件：2个窄带远场相干信源，其DOA为，仿真结果为300次Monte?Carlo统计结果，当DOA估计结果在以内时，认定一次成功。其他实验条件与3.1节中的实验条件一致。
图6和图7为两种算法均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）和成功概率与SNR的对比关系图。
图6中分别为阵元数三种情况下，RMSE随SNR的变化关系比较曲线。由图6可知，在低SNR、阵元数少的情况下，SSVT算法的RMSE比FSS算法的RMSE高，估计性能不太理想。随着SNR增大和阵元数增多，RMSE已经明显减小，趋近于FSS。图7为三种情况下，估计成功概率随SNR的变化关系比较曲线。SSVT算法的估计成功概率低于FSS算法的成功概率，这与图6反映的关系也相互对应。这是由于SSVT算法在实质上只利用了单次快拍的个阵元的数据，经过次平移后累积误差越来越大，从而导致估计性能下降，但在阵元数较多的情况下，所得到的阵元数据增多，DOA估计性能也会提高。
4 结 语
本文提出一种基于单快拍虚拟阵列Toeplitz矩阵重构的解相干算法，该算法通过对阵元接收的单次快拍数据进行双向虚拟阵列变换，并对变化后的协方差矩阵进行Toeplitz处理。仿真实验结果表明，该算法避免了阵列孔径的损失，能够对个相干信源进行DOA估计，同时，由于只需一次快拍，降低了运算量，更利于工程实际。
参考文献
[1] SCHMIDT R O. Multiple emitter location and signal parameter estimation [J]. IEEE transactions on antennas propagation， 1986， 34（3）： 276?280.
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[4] PILLAL S U， KWON B H. Forward/backward smoothing techniques for coherent signal identification [J]. IEEE transactions on acoustics， speech and signal processing， 1989， 37（1）： 8?15.
[5] FRIEDLANDER B， WEISS A J. Direction finding using spatial smoothing with interpolated arrays [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic systems， 1992， 4（28）： 574?587.
[6] 伍逸枫，丛玉良，何斌.基于Toeplitz矩阵重构的相干信源波达方向估计研究[J].电光与控制，2010，17（3）：60?63.
[7] BAI Jun， SHEN Xiaohong， WANG Haiyan. Improved Toeplitz algorithms to coherent sources DOA estimation [J]. Journal on communications， 2010， 31（7）： 110?115.
[8] 刘志刚，汪晋宽，王福利.虚拟空间平滑算法[J].电子学报，2007，35（9）：1762?1765.
[9] 丁卫安，马远良.虚拟阵列变换法解相干信号MUSIC算法研究[J].微波学报，2008，24（2）：27?30.
[10] 李戈鹏.基于内插变换的虚拟天线波束形成技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2012.
[11] 胡晓琴，陈辉，陈建文，等.一种利用最大特征矢量的Toeplitz去相干方法[J].电子学报，2008，36（9）：1710?1714.
[12] 谢鑫，李国林，刘华文.采用单次快拍数据实现相干信号DOA估计[J].电子与信息学报，2010，32（3）：604?608.
