亚阈值状态下MOSFET二维双区和单区静电势模型的比较
张满红 袁至衡
摘 要： 定义一个平均误差，该误差可以估算求解MOSFETs二维双区和单区静电势模型电势分布所用源漏端边界条件的偏差情况。首先根据长沟道模型近似确定衬底耗尽层厚度，通过平均误差计算发现双区模型最大源漏偏差远小于0.06 V，而单区模型相应的源漏偏差大于0.1 V。当器件沟道长度为亚微米级时，利用电压掺杂转换模型的耗尽层厚度计算方法对两种模型做出校正，双区电势模型在校正后的源漏条件偏差有明显的减小，单区模型的源漏偏差却会增大，尤其在短沟道以及衬底高掺杂浓度时误差较大。结果表明，双区静电势模型更为精准。
关键词： 单区模型； 双区模型； 特征函数； 边界条件； 平均误差
中图分类号： TN917.83?34； TN4； TN32 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）10?0128?05
Abstract： An average error is defined to estimate the deviation of the source （S） and drain （D） boundary conditions to solve the potential distribution of the two?dimensional single?region and dual?region electrostatic models of MOSFETs. The thickness of the substrate depletion layer is determined approximately according to the long channel model. The average error is calculated to find out that the maximum S?D deviation of the dual?region model is far lower than 0.06 V， and the corresponding S?D deviation of the single?region model is higher than 0.1 V. If the channel length of the device belongs to submicron order， the depletion layer thickness calculation method of the voltage?doping transformation model is used to correct the two models. The corrected S?D condition deviation of the dual?region electrostatic potential model is decreased obviously， but the corrected S?D condition deviation of the single?region electrostatic potential model is increased， especially for the short channel and the substrate with high doping density. The results indicate that the dual?region electrostatic potential model is more accurate than the single?region electrostatic potential model.
Keywords： single?region model； dual?region model； characteristic function； boundary condition； average error
0 引 言
隨着微电子学的飞速发展，金属?氧化物半导体场效应管（MOSFET）的特征尺寸不断减小，短沟道效应（SCE）、漏致势垒降低（DIBL）效应等次级物理效应对器件性能的影响越来越严重[1?2]。虽然数值二维模型充分考虑了详细的几何形状以及衬底的参杂分布，并且在所有工作区域给出了准确的描述，但却非常耗时。而解析模型能够简化MOSFETs模型的边界条件，给出描述亚阈值状态下SCE和DIBL效应对器件性能影响的解析表达式。在此方面，Liu等提出的阈值电压模型[2]（Liu模型）就是一个广为人知的模型，它已成功应用在BSIM模型中。电压掺杂转换模型[3?4]（VDT模型）是另一个例子.该模型将源漏方向上电场的作用等效为衬底掺杂浓度的变化。这两种模型均将二维泊松方程近似为一维问题：在Liu的模型中，利用高斯定理将栅?衬底方向的电场做了积分近似，仅求解了源漏方向的表面电势；而在VDT模型中，对源漏方向的电场做了积分近似，将其等效为衬底掺杂浓度的变化，仅求解了栅极?衬底方向的电势。相比于Liu的模型，VDT模型考虑到了小尺寸器件的沟道长度和漏极偏压等因素对耗尽层厚度的影响，其计算结果也与仿真数据非常接近。
二维静电势模型是在两个方向上求解泊松方程。原理上，这样的求解方法要比Liu模型和VDT模型更为精准，并且可以得到静电势的二维分布。为了使问题易于解决，通常二维模型将耗尽区域化为一矩形等效区域，在此区域内利用特征函数来求解电势分布。特征函数、等效区域以及其对应的边界条件会影响到所得的电势分布的精确度。国内外的文章中有很多二维电势模型，本文专注于Nguyen等提出的二维单区电势模型[5?6]（SR模型）和Xie等提出的二维双区电势模型[7?8]（TR模型）。在单区和双区模型中，源漏端边界条件用于确定静电势特征函数中的系数，求得的电势准确满足在栅极、SiO2/Si交界、耗尽区和Si中性区之间的边界条件，但是在源漏边界只是近似关系。
因此，源漏边界的偏差对二维静电势模型的精准性会有一定的影响。
本文定义了一个平均误差，该误差方法能够估算亚阈值状态下用来计算二维电势的源漏边界条件的偏差。以此量来衡量二维双区模型和单区模型的精确性。在其他二维模型的文献中，通常只用最低阶的特征函数来计算电势分布，然而这样的计算误差会很大，因此采用30个特征函数项来进行计算。同时，多数模型的衬底耗尽层厚度采用的都是长沟道模型的计算方法，这对小尺寸模型已不再准确，本文采用VDT模型耗尽层的计算方法对二维双区和单区模型的耗尽层厚度做了校正，以此来提高模型的精准性。
1 二维双区和单区模型
下面以N型MOSFET为例讨论亚阈值区电势的模型，在此指出两种情况：
（1） 衬底耗尽层厚度（Wdep）远大于源漏结深（Xj）；
（2） 衬底耗尽层厚度（Wdep）小于源漏结深（Xj）。
结深与MOSFET矩形等效区域如图1所示。
假设源漏端的衬底为高浓度掺杂，且源漏结的边界为源漏方向的垂线。图1给出了模型的直角坐标系，矩形等效区域包含了SiO2层的AFHG区域和Si衬底的ABCDEF区域。L和tox分别为沟道长度和栅氧化层厚度。在情况（1）下，BC和DE段非常短以致于可以忽略，因此BCDE边界的电势可视为零。相反的，情况（2）的CD段是非常短的，电势为零的条件只在此段准确，并不适用于整个BCDE段。不过，多数文献都将BCDE段的边界电势默认为零，如文献[2，5?9]等。另外，情况（2）在x方向上的源漏边界条件为常数电势，情况（1）却不是。以Liu模型和VDT模型的推导方程来看，Liu模型是假设源漏边界条件为常数的，与情况（2）相同，而VDT模型假定源漏端为浅结，同情况（1）。
由于器件尺寸较小，源漏端PN结会很薄。本文只对情况（1）做研究讨论，因此矩形区域的下边界条件可近似为零。
1.1 二维双区电势模型
为了简化问题，假定硅衬底为浓度Na的均匀掺杂。将AFGH区域的电势分布设为ψ1（x，y），ABEF区域的电势分布设为ψ2（x，y）。它们满足下列方程，其中q为电子电荷：
2 模型比较
2.1 源漏边界偏差分析
大多数描述二维双区和单区电势模型的文章中，在计算电势分布时均只用了一个特征长度值，发现这样的计算结果会有很大误差。为了验证特征长度项数对电势分布计算的影响，本文定义了以下的参量：
模型参数为：L=250 nm，tox=7.5 nm，Xj=30 nm，VDS=0.1 V，VSB=0 V。为了使模型在任何掺杂浓度下都为图1（a）形式，将结深设置为30 nm以满足要求。在未校正情况下，单区模型的源漏误差大于0.13 V，而双区模型的源漏误差小于0.06 V。对于高掺杂浓度，Wdep0很小，Wdep会更小。所以此时会出现图1（b）的情况，导致源漏平均误差会很高。
经过VDT校正后，双区模型在任何掺杂浓度下的源漏误差都减小了，而单区模型的误差相对于校正前只在低掺杂浓度时有所减少，在高掺杂情况下却增加了。
图5为VDT校正前后单区和双区电势模型的平均误差随VDS的变化曲线。模型参数为：L=90 nm，Na=6×1017 cm-3，tox=3.5 nm，Xj=30 nm和VSB=0 V。衬底是高掺杂，并且栅长很小。从图5中可以看出，VDT校正是很有必要的，而且对单区模型和双区模型有不同的影响，VDT校正使双区模型的源漏偏差减小，却使得单区模型的误差增大。
综上得到的结果，可以确定在同样条件下双区模型要比单区模型精准。不过，双区电势模型的精准度仍取决于式（5）和式（6）的源漏边界条件。
2.2 SCE与DIBL效应下阈值电压的计算
定义阈值电压Vth是Si表面势最小值[ψsψsmin]等于[2φf=2kTqlnNani]时所对应的栅电压VGS。计算了随Vds变化的阈值电压，所用参数为：L=90 nm，Na=6×1017 cm-3，tox=3.5 nm，Xj=30 nm，VSB=0 V。
从图6（a）可以看到，若不经过VDT校正，双区和单区模型阈值电压随VDS的变化曲线基本相同。当两模型校正后，其Vth?VDS变化曲线与VDT模型相比要稍陡一些。另外，校正后的双区模型在不同漏极偏压下的阈值电压会比其他两模型要小一些。
三个模型的阈值电压随沟道长度L的曲线如图6（b）所示，双区模型与单区模型的阈值电压随L减小的下降速率要比VDT模型的快。因为实际器件的掺杂和边界条件非常复杂，上述的变化趋势可能会与实际的器件有所不同。不过，本文的结果有助于理解不同的MOSFET电势模型。
3 结 论
本文定义了一个平均误差，它可以估测亚阈值状态下二维双区和单区静电势模型源漏边界条件的偏差程度。这两种模型均是在矩形等效区域内利用二維泊松方程以及特征函数求解沟道内的电势分布。指出了此种方法只是在Xj[?]Wdep的情况下适用。另外，采用文献中长沟道器件的耗尽层厚度模型，双区模型的最大源漏偏差低于0.06 V，而单区模型的源漏偏差却高于0.1 V。当沟道长度减小且掺杂浓度提高时，耗尽层厚度会比长沟道下要小，因此利用VDT模型的耗尽层求解方法对上述两模型的耗尽层厚度模型做出校正。经过校正后，不同条件下双区模型的源漏偏都会明显减小，而单区模型的误差却会增大。结果表明，二维双区静电势模型更加精准。
参考文献
[1] HIBLOT G， DUTTA T， RAFHAY Q， et al. Accurate boundary condition for short?channel effect compact modeling in MOS devices [J]. IEEE transactions on electron devices， 2015， 62（1）： 28?35.
[2] LIU Z H， HU C， HUANG J H， et al. Threshold voltage model for deep?submicrometer MOSFETs [J]. IEEE transactions on electron device， 1993， 40（1）： 86?94.
[3] SKOTNICTI T， MERCKEL G， PEDRON T. The voltage?doping transformation： a new approach to the modeling of MOSFET short?channel effects [J]. IEEE electron device letters， 1988， 9（3）： 109?112.
[4] POUYDEBASQUE A， CHARBUILLET C， SKOTNICKIT， et al. Refinement of the subthreshold slope modeling for advanced bulk CMOS devices [J]. IEEE transactions on electron devices， 2007， 54（10）： 2723?2729.
[5] NGUYEN T N. Small?geometry MOS transistors： physics and modeling of surface?and buried?channel MOSFETs [M]. Stanford： Stanford University， 1984.
[6] NGUYEN T N， PLUMMER J D. Physical mechanisms responsible for short channel effects in MOS devices [C]// Proceedings of 1981 International Electron Devices Meeting. [S.l.]： IEEE， 1981： 596?599.
[7] XIE Q， XU J， REN T， et al. A 2D analytical model for SCEs in MOSFETs with high?k gate dielectric [J]. Semiconductor science & technology， 2010， 25（3）： 1?7.
[8] XIE Q， XU J， YUAN T. Review and critique of analytic models of MOSFET short?channel effects in subthreshold [J]. IEEE transactions on electron devices， 2012， 59（6）： 1569?1579.
[9] 孟坚，柯导明，韩名君.亚90 nm沟道MOSFET亚阈值状态下二维电势和阈值电压的半解析模型[J].中国科学：信息科学，2013，43（11）：1496?1510.
[10] MURALI R， AUSTIN B L， MEINDL J D， et al. Short?channel modeling of bulk accumulation MOSFETs [J]. IEEE transactions on electron devices， 2004， 51（6）： 940?947.
摘 要： 定义一个平均误差，该误差可以估算求解MOSFETs二维双区和单区静电势模型电势分布所用源漏端边界条件的偏差情况。首先根据长沟道模型近似确定衬底耗尽层厚度，通过平均误差计算发现双区模型最大源漏偏差远小于0.06 V，而单区模型相应的源漏偏差大于0.1 V。当器件沟道长度为亚微米级时，利用电压掺杂转换模型的耗尽层厚度计算方法对两种模型做出校正，双区电势模型在校正后的源漏条件偏差有明显的减小，单区模型的源漏偏差却会增大，尤其在短沟道以及衬底高掺杂浓度时误差较大。结果表明，双区静电势模型更为精准。
关键词： 单区模型； 双区模型； 特征函数； 边界条件； 平均误差
中图分类号： TN917.83?34； TN4； TN32 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）10?0128?05
Abstract： An average error is defined to estimate the deviation of the source （S） and drain （D） boundary conditions to solve the potential distribution of the two?dimensional single?region and dual?region electrostatic models of MOSFETs. The thickness of the substrate depletion layer is determined approximately according to the long channel model. The average error is calculated to find out that the maximum S?D deviation of the dual?region model is far lower than 0.06 V， and the corresponding S?D deviation of the single?region model is higher than 0.1 V. If the channel length of the device belongs to submicron order， the depletion layer thickness calculation method of the voltage?doping transformation model is used to correct the two models. The corrected S?D condition deviation of the dual?region electrostatic potential model is decreased obviously， but the corrected S?D condition deviation of the single?region electrostatic potential model is increased， especially for the short channel and the substrate with high doping density. The results indicate that the dual?region electrostatic potential model is more accurate than the single?region electrostatic potential model.
Keywords： single?region model； dual?region model； characteristic function； boundary condition； average error
0 引 言
隨着微电子学的飞速发展，金属?氧化物半导体场效应管（MOSFET）的特征尺寸不断减小，短沟道效应（SCE）、漏致势垒降低（DIBL）效应等次级物理效应对器件性能的影响越来越严重[1?2]。虽然数值二维模型充分考虑了详细的几何形状以及衬底的参杂分布，并且在所有工作区域给出了准确的描述，但却非常耗时。而解析模型能够简化MOSFETs模型的边界条件，给出描述亚阈值状态下SCE和DIBL效应对器件性能影响的解析表达式。在此方面，Liu等提出的阈值电压模型[2]（Liu模型）就是一个广为人知的模型，它已成功应用在BSIM模型中。电压掺杂转换模型[3?4]（VDT模型）是另一个例子.该模型将源漏方向上电场的作用等效为衬底掺杂浓度的变化。这两种模型均将二维泊松方程近似为一维问题：在Liu的模型中，利用高斯定理将栅?衬底方向的电场做了积分近似，仅求解了源漏方向的表面电势；而在VDT模型中，对源漏方向的电场做了积分近似，将其等效为衬底掺杂浓度的变化，仅求解了栅极?衬底方向的电势。相比于Liu的模型，VDT模型考虑到了小尺寸器件的沟道长度和漏极偏压等因素对耗尽层厚度的影响，其计算结果也与仿真数据非常接近。
二维静电势模型是在两个方向上求解泊松方程。原理上，这样的求解方法要比Liu模型和VDT模型更为精准，并且可以得到静电势的二维分布。为了使问题易于解决，通常二维模型将耗尽区域化为一矩形等效区域，在此区域内利用特征函数来求解电势分布。特征函数、等效区域以及其对应的边界条件会影响到所得的电势分布的精确度。国内外的文章中有很多二维电势模型，本文专注于Nguyen等提出的二维单区电势模型[5?6]（SR模型）和Xie等提出的二维双区电势模型[7?8]（TR模型）。在单区和双区模型中，源漏端边界条件用于确定静电势特征函数中的系数，求得的电势准确满足在栅极、SiO2/Si交界、耗尽区和Si中性区之间的边界条件，但是在源漏边界只是近似关系。
因此，源漏边界的偏差对二维静电势模型的精准性会有一定的影响。
本文定义了一个平均误差，该误差方法能够估算亚阈值状态下用来计算二维电势的源漏边界条件的偏差。以此量来衡量二维双区模型和单区模型的精确性。在其他二维模型的文献中，通常只用最低阶的特征函数来计算电势分布，然而这样的计算误差会很大，因此采用30个特征函数项来进行计算。同时，多数模型的衬底耗尽层厚度采用的都是长沟道模型的计算方法，这对小尺寸模型已不再准确，本文采用VDT模型耗尽层的计算方法对二维双区和单区模型的耗尽层厚度做了校正，以此来提高模型的精准性。
1 二维双区和单区模型
下面以N型MOSFET为例讨论亚阈值区电势的模型，在此指出两种情况：
（1） 衬底耗尽层厚度（Wdep）远大于源漏结深（Xj）；
（2） 衬底耗尽层厚度（Wdep）小于源漏结深（Xj）。
结深与MOSFET矩形等效区域如图1所示。
假设源漏端的衬底为高浓度掺杂，且源漏结的边界为源漏方向的垂线。图1给出了模型的直角坐标系，矩形等效区域包含了SiO2层的AFHG区域和Si衬底的ABCDEF区域。L和tox分别为沟道长度和栅氧化层厚度。在情况（1）下，BC和DE段非常短以致于可以忽略，因此BCDE边界的电势可视为零。相反的，情况（2）的CD段是非常短的，电势为零的条件只在此段准确，并不适用于整个BCDE段。不过，多数文献都将BCDE段的边界电势默认为零，如文献[2，5?9]等。另外，情况（2）在x方向上的源漏边界条件为常数电势，情况（1）却不是。以Liu模型和VDT模型的推导方程来看，Liu模型是假设源漏边界条件为常数的，与情况（2）相同，而VDT模型假定源漏端为浅结，同情况（1）。
由于器件尺寸较小，源漏端PN结会很薄。本文只对情况（1）做研究讨论，因此矩形区域的下边界条件可近似为零。
1.1 二维双区电势模型
为了简化问题，假定硅衬底为浓度Na的均匀掺杂。将AFGH区域的电势分布设为ψ1（x，y），ABEF区域的电势分布设为ψ2（x，y）。它们满足下列方程，其中q为电子电荷：
2 模型比较
2.1 源漏边界偏差分析
大多数描述二维双区和单区电势模型的文章中，在计算电势分布时均只用了一个特征长度值，发现这样的计算结果会有很大误差。为了验证特征长度项数对电势分布计算的影响，本文定义了以下的参量：
模型参数为：L=250 nm，tox=7.5 nm，Xj=30 nm，VDS=0.1 V，VSB=0 V。为了使模型在任何掺杂浓度下都为图1（a）形式，将结深设置为30 nm以满足要求。在未校正情况下，单区模型的源漏误差大于0.13 V，而双区模型的源漏误差小于0.06 V。对于高掺杂浓度，Wdep0很小，Wdep会更小。所以此时会出现图1（b）的情况，导致源漏平均误差会很高。
经过VDT校正后，双区模型在任何掺杂浓度下的源漏误差都减小了，而单区模型的误差相对于校正前只在低掺杂浓度时有所减少，在高掺杂情况下却增加了。
图5为VDT校正前后单区和双区电势模型的平均误差随VDS的变化曲线。模型参数为：L=90 nm，Na=6×1017 cm-3，tox=3.5 nm，Xj=30 nm和VSB=0 V。衬底是高掺杂，并且栅长很小。从图5中可以看出，VDT校正是很有必要的，而且对单区模型和双区模型有不同的影响，VDT校正使双区模型的源漏偏差减小，却使得单区模型的误差增大。
综上得到的结果，可以确定在同样条件下双区模型要比单区模型精准。不过，双区电势模型的精准度仍取决于式（5）和式（6）的源漏边界条件。
2.2 SCE与DIBL效应下阈值电压的计算
定义阈值电压Vth是Si表面势最小值[ψsψsmin]等于[2φf=2kTqlnNani]时所对应的栅电压VGS。计算了随Vds变化的阈值电压，所用参数为：L=90 nm，Na=6×1017 cm-3，tox=3.5 nm，Xj=30 nm，VSB=0 V。
从图6（a）可以看到，若不经过VDT校正，双区和单区模型阈值电压随VDS的变化曲线基本相同。当两模型校正后，其Vth?VDS变化曲线与VDT模型相比要稍陡一些。另外，校正后的双区模型在不同漏极偏压下的阈值电压会比其他两模型要小一些。
三个模型的阈值电压随沟道长度L的曲线如图6（b）所示，双区模型与单区模型的阈值电压随L减小的下降速率要比VDT模型的快。因为实际器件的掺杂和边界条件非常复杂，上述的变化趋势可能会与实际的器件有所不同。不过，本文的结果有助于理解不同的MOSFET电势模型。
3 结 论
本文定义了一个平均误差，它可以估测亚阈值状态下二维双区和单区静电势模型源漏边界条件的偏差程度。这两种模型均是在矩形等效区域内利用二維泊松方程以及特征函数求解沟道内的电势分布。指出了此种方法只是在Xj[?]Wdep的情况下适用。另外，采用文献中长沟道器件的耗尽层厚度模型，双区模型的最大源漏偏差低于0.06 V，而单区模型的源漏偏差却高于0.1 V。当沟道长度减小且掺杂浓度提高时，耗尽层厚度会比长沟道下要小，因此利用VDT模型的耗尽层求解方法对上述两模型的耗尽层厚度模型做出校正。经过校正后，不同条件下双区模型的源漏偏都会明显减小，而单区模型的误差却会增大。结果表明，二维双区静电势模型更加精准。
参考文献
[1] HIBLOT G， DUTTA T， RAFHAY Q， et al. Accurate boundary condition for short?channel effect compact modeling in MOS devices [J]. IEEE transactions on electron devices， 2015， 62（1）： 28?35.
[2] LIU Z H， HU C， HUANG J H， et al. Threshold voltage model for deep?submicrometer MOSFETs [J]. IEEE transactions on electron device， 1993， 40（1）： 86?94.
[3] SKOTNICTI T， MERCKEL G， PEDRON T. The voltage?doping transformation： a new approach to the modeling of MOSFET short?channel effects [J]. IEEE electron device letters， 1988， 9（3）： 109?112.
[4] POUYDEBASQUE A， CHARBUILLET C， SKOTNICKIT， et al. Refinement of the subthreshold slope modeling for advanced bulk CMOS devices [J]. IEEE transactions on electron devices， 2007， 54（10）： 2723?2729.
[5] NGUYEN T N. Small?geometry MOS transistors： physics and modeling of surface?and buried?channel MOSFETs [M]. Stanford： Stanford University， 1984.
[6] NGUYEN T N， PLUMMER J D. Physical mechanisms responsible for short channel effects in MOS devices [C]// Proceedings of 1981 International Electron Devices Meeting. [S.l.]： IEEE， 1981： 596?599.
[7] XIE Q， XU J， REN T， et al. A 2D analytical model for SCEs in MOSFETs with high?k gate dielectric [J]. Semiconductor science & technology， 2010， 25（3）： 1?7.
[8] XIE Q， XU J， YUAN T. Review and critique of analytic models of MOSFET short?channel effects in subthreshold [J]. IEEE transactions on electron devices， 2012， 59（6）： 1569?1579.
[9] 孟坚，柯导明，韩名君.亚90 nm沟道MOSFET亚阈值状态下二维电势和阈值电压的半解析模型[J].中国科学：信息科学，2013，43（11）：1496?1510.
[10] MURALI R， AUSTIN B L， MEINDL J D， et al. Short?channel modeling of bulk accumulation MOSFETs [J]. IEEE transactions on electron devices， 2004， 51（6）： 940?947.
