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“APOS理论”指导下导数概念教学

范文

陈伟

【摘要】高中学生在学习导数知识时，一定要认真大量地做题以及动脑思考.因此，作为高中教师，一定要培养学生对导数知识的学习兴趣，然而导数是数学教学中相对而言较难、较抽象的一部分内容，因此，为了更好地便于学生学习和理解，本文以“APOS理论”为指导在教学方法上创新，主要将“APOS理论”中的第一阶段与第四阶段进行重点分析，通过这种方法能够有效地促进高中数学教师概念教学的质量和效率，辅助学生数学能力的提升.

【关键词】导数;高中数学;解题方法;运用分析

一、“APOS理论”的四个阶段

（一）活动阶段

对此阶段来说主要是将概念的引入，是在学生已经对所学的知识的内容和结构有了初期的认识，然后结合学生的实际情况，同时针对性地分析内容后建立的一种概念体系.其主要的核心是最大限度上发挥学生的主观能动性，让学生亲身经历，主动建构，从而对所授概念形成较直观的理解.在实际教学中，笔者采用了游戏导入的方式：笔者指导学生通过几张边长为48 cm的正方形纸，去掉四个角的小正方形来制作一个长方形的纸盒，然后将截取的小正方形的边长为变量，要学生感受随着小正方形边长的变化，纸盒所能承载的容积的变化.

（二）程序阶段（以直观形象增加学生对概念的理解）

该阶段是概念的定义阶段，是对第一阶段“活动”后进行全面思考，通过一定的抽象得出概念的特有性质，从而初步形成概念的一般定义的“过程”.在学生进行第一阶段的动手操作之后，笔者会让他们思考纸盒的容积会产生什么样的变化，最大的容积是多少？通过这些问题的设立将导数的概念加深.

高中导数数学知识具有较强的逻辑性，学生要具备一定的能力才能有效地掌握，有些时候数学题目具有较强的相似性，这就要求学生具备较强的洞察力，能够细致认真地分析题目，避免因观察不足而导致的错误，基于“APOS”理论，教师在实际教学过程中应当加强对学生观察能力的培养，使学生带着目的性对数学理论知识和题目进行分析，对观察过程中存在的问题教师在分析过后要让学生进行自我总结，发现自身不足，及时优化整改.

（三）对象阶段

该阶段为概念的分析阶段，是对“活动”与“过程”的升华，将抽象出的概念赋予其形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的“对象”，并由学生主动将其纳入已有概念体系的阶段.

在高中范围内，我们所常见的导函数几乎全部是由二次函数与一个在定义域内恒为整数或负数的其他函数相乘或相除得到的，因此，讨论函数的单调性即是在讨论二次函数的正负性和根的分布并对根加以判断.在这类基础问题上，解题步骤如下：

1.求出函数定义域并进行求导，将导函数化为可见的二次函数和在定义域内非负（或非正）的函数.

2.求出二次函数判别式为0的情况并做出其根轴图以确定区间正负.

3.从判别式小于0开始讨论至等于零再至大于0.

4.在判别式大于0的区间里利用求根公式求出二次函数两根x1，x2的值并通过韦达定理判断二次函数图像走向.

5.综上所述，得出结论.

为了便于大家理解这个问题，下面这道例题即是这种方法的应用.

例题 ?已知函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0），讨论函数f（x）的单调性.

解 ?由已知，f（x）的定义域为 R ，

f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，則Δ=36（1-a）.

① 若a≥1，则Δ≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在 R 上是递增函数;

② 因为a≠0，∴当a<1时，Δ>0，f′（x）=0，方程有两个根，x1= -1+ 1-a? a ，x2= -1- 1-a? a ，当00，故函数在（-∞，x2）或（x1，+∞）是增函数;在（x2，x1）是减函数;

当a<0时，则当x∈（-∞，x1）或（x2，+∞）时，f′（x）<0，故函数在（-∞，x1）或（x2，+∞）上是减函数;在（x1，x2）是增函数.

（四）过程阶段，体验概念的形成过程（极值点偏移问题与构造法）

这是一类模式相对固定却锻炼学生观察能力和思维能力的题目，因其所用的方法大都为构造法，因而，将这两种方法归为第四类.极值点偏移问题由三种具体的方法：

1.构造二次函数法.

由极值点偏移的实质笔者进行了分析，并查阅了相关资料，发现必定有一个顶点与原函数驻点相同，且同一个y值的两个函数值均小于原函数函数值的二次函数，因此，我们可以考虑构造费马二次工具：g（x）= 1 2 f″（x0）（x-x0）2+f（x0），x0即是导函数的极值点，将x0代入后，再构造h（x）=f（x）-g（x），看单调性的情况.

2.对称构造法.

这种构造方法是同学们在练习中常用的方法，因此，在这里不多做赘述，这种方法在解决双边界问题的不等式证明问题上有着很显著的优势.

3.构造对数均值函数法.

这类题的最优解法也正是这种方法.具体的步骤如下：

（1）将直线与曲线方程联立，得到两个关于x1，x2的等式.

（2）将两式分别相加和相减，并将所得的两个式子进行消元，最终将两个变量相乘变为两个变量相加或相减的形式，从而证得不等式成立.

二、结束语

以上解题方法经过了很多思考和修正，始终坚持在学习中发现规律和方法，这不仅有益于高中学生的学习，更有益于增加学生看待事物的方法和角度，希望高中教师能从中获得一些启发，为在高中导数在数学解题中能够更好地应用.

【参考文献】

[1]贡加诺.浅析导数在高中数学解题中的运用分析[J].科学中国人，2017（3）：260.

[2]孔珍珍.浅析导数在高中数学解题中的有效应用[J].软件：电子版，2016（11）：209.

[3]关春英.浅析导数在高中数学教学中的应用探索[J].读写算：教育教学研究，2010（11）：221，223.

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