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利用数形结合法解数学问题的研究

范文

赵桐

【摘要】数学是研究数量关系与空间形式的科学.其实质就是“数”与“形”的科学.随着新课标改革的全面实施，学生能力与思维培养成为实际教学中的重点.数形结合思想作为数学思想最为重要的方法之一，它有机地把“数”和“形”联系在一起，两者之间相互联系，相互帮助，实现解决问题的目的.本文将根据实际教学情况与新课标所提出的关于数形结合思想在数学教学的要求，系统地阐述数形结合思想在数学教育中重要的地位.

【关键词】数形结合;数学思想;数学方法;解题

一、相关理论概述

（一）数形结合理论

现实世界中的数量关系与空间形式是数学的两大基本研究对象.“数”体现的是数量关系，“形”体现的是空间关系.“数”与“形”的存在形式通常是互相依存的关系，在抽象的数量关系中通常包含著直观的几何关系，与此同时，直观的图形形式也可以通过数量关系来实现描述.多种“形”的计算为“数”提供了产生的途径，而“数”又可以通过“形”来得到计算与使用.

数形结合可以把数与形有机地统一起来.数形结合是贯穿于初中与高中数学中最基础的思想方法，利用数形结合去解决问题的实质就是，在解决有关于数量的问题时，通过数量关系画出与之相对应的几何图形，将其转化为几何形式，这就是我们通常所说的“由数画形”.而在解答与几何图形相关的问题时，我们可以通过图形特征来列举出相对应的代数关系，将几何图形的问题转化为代数的问题，也就是数学教学中常说的“由形化数”，这样就可以通过数与形两者相互依存的关系与自身各自的优势从而得到更为快捷简便的解题方法.

在数学中，数形结合是极为重要的思想和常用的解决问题的方法.在现实解题的过程中，数形结合思想的应用非常广泛，它为我们解答问题提供了一种崭新的思路，通过“形”而想到“数”，根据“数”去研究“形”的各种性质，探索其中的规律.从多方面的角度来拓展学生思维的延伸性，提高学生发散思维能力，简化解题过程，将问题化难为易.

（二）数形结合思想的重要性

随着新课标改革的全面实施，数学教材有着前所未有的改变.在过去，“代数”与“几何”是分为两本教材来教授的，而在新课标发布以后，将高中的数学分成了必修与选修两种形式，把“代数”与“几何”综合成为一门学科，这是现代教育者对数形结合思想的主要体现.在新课标的教材中，增添了许多新的教学内容，例如，平面向量与空间向量等，这些内容上的变革都是对数形结合重要性的深思熟虑下做的决定.此外，数形结合思想是初中数学与高中数学的重要纽带，数形结合思想的提高可以更好地完成两者之间的有效过渡.因为数形结合思想恰好符合学生从抽象到具体的认知规律.

（三）数形结合思想的教育意义与作用

1.数形结合思想的学习有助于学生深刻的理解相关数学概念，将数学概念进行有效整合.

数学概念的学习是学生发展数学思维的开端.学生根据数形结合思想学习数学知识，可以增强数学学习的趣味性，改变学生对数学概念枯燥无味、复杂难懂的印象.通过数形结合思想有助于加深学生对知识学习的印象.

2.数形结合思想的学习有助于学生灵活的解答问题.

数形结合思想的最显著特点就是可以把抽象的问题形象化，它对数学问题的解答有积极导向的作用.学生通过数形结合将抽象复杂的问题通过画出图像，通过对几何图形的观察与分析使烦琐的推理过程简单化.它为学生解答问题提供了更为简单的途径.

3.数形结合思想有助于发展学生的思维能力.

当学生对图形特征和代数性质相互结合进行分析时，思维能力发挥了其主导性作用.在把代数问题转化为几何问题时，需要综合利用形象思维能力和创造性思维.这是数形结合思想的显著体现.在当代数学学习中，数形结合思想不仅是学生解答问题的实用工具，也为学生创造性思维发展提供了基础.

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用

（一）数形结合思想在集合问题中的应用

数形结合思想在集合问题中的应用一般有以下几种情况：

例1?? 已知集合A={x||x-2|≤a}，B={x|x2-5x+4≥0}.若A∩B=，则实数a的取值范围是多少？

解? 当a<0时，A=，显然A∩B=.

当a≥0时，A≠，

A={x||x-2|≤a}={x|2-a≤x≤2+a}，

B={x|x2-5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，

由A∩B=，画出示意图如图1所示，

得 2-a>1，2+a<4，a≥0，

解得0≤a≤1.

综上所述，a的取值范围为{a|a<1，a∈ R }.

例2?? 设全集U= x∈ Z?? 6 x+1 ≥1? ，M∩N={1，2}，CU（M∪N）={0}，（CUM）∩N={4，5}，则M= .

解 ?由 6 x+1 ≥1，得 6 x+1 -1≥0，即 x-5 x+1 ≤0，

解得-1

因为x∈ Z ，所以U={0，1，2，3，4，5}.

如图2所示，在韦恩图中分别表示出已知集合中的元素，

由M∩N={1，2}，可知1∈M，1∈N，2∈M，2∈N;

由CU（M∪N）={0}，可知0M∪N，所以0M，0N，

且M∪N={1，2，3，4，5};由（CUM）∩N={4，5}，

可知4M，4∈N，5M，5∈N，

从而N={1，2，4，5}，M={1，2，3}.

根据数形结合思想在集合问题中的应用，不仅便于解决有关集合的交、并、补的问题，还可将直观形象的几何图形和数量关系充分地结合在一起，清晰地表现出问题中所给出的条件与结论间的相关联系，进而达到化烦琐为简单、化困难为容易的目的，从而帮助学生解答更多困难复杂的问题.

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