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等轴椭圆与三角形的“心”

范文

陈纪刚

等轴双曲线是一种特殊的双曲线，它有很多优美的性质.对应的，也有一种特殊的椭圆，它的短轴长与焦距相等.本文将讨论该类椭圆的相关性质.

定义：短轴与焦距相等的椭圆为等轴椭圆.

不妨设等轴椭圆的焦点在x轴上，根据定义知a2=2b2=2c2，故可设等轴椭圆的方程为x2+2y2=2b2（b>0）.设该椭圆的上顶点为B（0，b），右焦点为F（b，0），直线l与椭圆交于点P，Q.

性质1? 若点F为△BPQ的内心，则对应的直线l的方程为：y= 2+ 6? 2 x-3b.

证明? 如图所示，易知kBF=-1.

∵点F为△BPQ的内心，

∴BF是∠PBQ的角平分线，设∠PBF=∠QBF=θ，

∴kBP=tan π-θ- π 4? =- 1+tanθ 1-tanθ ，

kBQ=tan? 3π 4 +θ =- 1-tanθ 1+tanθ .

可知kBP·kBQ=1.

设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

显然就有： y2-b x2 · y1-b x1 =1.

化简得y1y2-b（y1+y2）+b2=x1x2.

设直线l的方程为：

x=my+t，x1x2=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2，

代入可得：

（m2-1）y1y2+（mt+b）（y1+y2）+t2-b2=0. （1）

联立直线与椭圆方程得：

（m2+2）y2+2tmy+t2-2b2=0.

可得y1+y2= -2tm m2+2 ，y1·y2= t2-2b2 m2+2 .

代入（1）式得：

（m2-1）（t2-2b2） m2+2 - （mt+b）2mt m2+2 +t2-b2=0.

整理后可得t2-2mbt-3m2b2=0，

即可得t=3mb或-mb.

当t=-mb时，直线l过点B，舍掉，

∴t=3mb，即直线l的方程为：x=my+3mb.

可知直线l过定点A（0，-3b）.

重新设直线l的方程为：y=kx-3b.

设直线BP的方程为y=nx+b，联立椭圆方程求得点P的坐标为：? -4nb 2n2+1 ， -2n2b+b 2n2+1? .

由点P与点A（0，-3b）可知k=- n2+1 n .

直线l可表示为：y=- n2+1 n x-3bny+（n2+1）x+3nb=0，

作为△BPQ的内心，点F到直线BP与直线l的距离相等，即dF-BP=dF-l.

即 |nb+b|? n2+1? = |n2b+3nb+b|? n2+（n2+1）2

|n+1|? n2+1? = |n2+3n+1|? n2+（n2+1）2? .

两边平方得（n+1）2 n2+1 = （n2+3n+1）2 n2+（n2+1）2 ，

整理可得? n2+1 -n -2? n2+1 -n? =?? n2+1 -n -3 2 1+? n2+1 -n? 2 ，

即得 k-2 k = （k-3）2 1+k2 .

求解可得k= 2± 6? 2 .

当k= 2- 6? 2 时，验证可知对应的直线l与椭圆没有交点，所以舍去.

∴k= 2+ 6? 2 .

对应的直线l的方程为：y= 2+ 6? 2 x-3b.

是否存在相应的直线l使得点F为△BPQ的外心、垂心和重心呢？答案是不一定的.

性质2? 不存在直线l使得点F为△BPQ的外心.

证明? 外心指外接圆的圆心，设以点F为圆心，以a= 2 b为半径的圆为（x-b）2+y2=2b2.

联立椭圆的方程得y2=-2bx+b2，代回圆的方程解得x=0或4b.显然这样的直线l是不存在的.

性质3? 不存在直线l使得点F为△BPQ的重心.

证明? 设点P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2）.

根据重心的计算公式? 0+x1+x2 3 =0， b+y1+y2 3 =b，

可得x1+x2=0，y1+y2=2b.

可得PQ的中点M的坐标为（0，b）.

顯然这样的直线并不存在.

性质4? 若点F为△BPQ的垂心，则对应的直线l的方程为：y=x- 4 3 b.

证明? 若点F为△BPQ的垂心，则有直线l的斜率为k=1，设直线l的方程为：y=x+t.

联立椭圆方程得3x2+4tx+2t2-2b2=0.

为保证点P，Q存在，

∴Δ=16t2-4×3（2t2-2b2）>0，

即t∈（- 3 b， 3 b）.

设点P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2）.

可得x1+x2=- 4t 3 ，x1x2= 2t2-2b2 3 ，

y1y2=x1x2+t（x1+x2）+t2=t2- 2t2+2b2 3 .

满足kPF·kBQ=-1，整理得x1x2+y1y2=b（y1+x2）.

其中y1+x2=x1+x2+t=- t 3 .

代入上面的韦达定理可得3t2+bt-4b2=0，

解得t=- 4 3 b或t=b（舍）.

∴直线l的方程为：y=x- 4 3 b.

【参考文献】

[1]龙宇，孙琼.向量与三角形的“心”[J].中学数学研究，2015（7）：41-42.

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