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关注向量在解题中的“妙”用

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严俊

有不少数学问题貌似与向量无关，其实不然，细细探究之，你会发现其中的紧密联系，往往巧妙之极，真的令人拍案叫绝！请结合以下归类解析，认真体会平面向量在具体解题中是怎样灵活运用的.

类型一? 处理有关解三角形问题

例1 ??如图1所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC，ED，则sin∠CED=（? ）.

A. 3 10? 10

B.? 10? 10

C.? 5? 10

D.? 5? 15

解析? 如图2所示，建立平面直角坐标系xEy，则易知点E（0，0），D（1，1），C（2，1），所以ED =（1，1），EC =（2，1）.又因为向量ED 与EC 的夹角为∠CED，所以cos∠CED= ED ·EC? |ED ||EC | = 1×2+1×1? 2 × 5? = 3? 10? ，故sin∠CED=? 10? 10 .故选B.

评注? 本题设计较好，有利于充分发挥各类考生各自的思维优势与数学潜能，求解思路较多，但通过建系，利用向量法处理最为简单明了.

类型二? 给定函数的最值，求参数的值

例2?? （2018·南通高三二模）已知a为常数，函数f（x）= x? a-x2 - 1-x2? 的最小值为- 2 3 ，则a的所有值为 .

解析? 易知a>0且a≠1.分母有理化变形得f（x）= x a-x2 +x 1-x2? a-1 ，所以可知函数f（x）为奇函数.又函数f（x）的最小值为- 2 3 ，所以函数f（x）的最大值为 2 3 ，从而|f（x）|max= 2 3 .

设向量 m =（x， 1-x2 ）， n =（ a-x2 ，x），

则 m · n =x a-x2 +x 1-x2 .

于是，根据| m · n |≤| m || n |可得

|x a-x2 +x 1-x2 |≤ a ，

所以? x a-x2 +x 1-x2? a-1? ≤? a? |a-1| ，

即|f（x）|≤? a? |a-1| .从而，可得? a ?|a-1| = 2 3 ，

解得a= 1 4 或a=4.

评注? 本题具有一定的难度，求解关键在于通过两种不同的方式探求函数|f（x）|的最大值：一是借助函数的奇偶性，根据函数f（x）的最小值加以分析;二是灵活构造向量，根据向量不等式加以分析.

类型三? 求解有关代数式的最小值

例3?? （2017·杭州五校第四次联考）设a1，a2，a3，a4∈ R ，且a1a4-a2a3=1，记f（a1，a2，a3，a4）=a21+a22+a23+a24+a1a3+a2a4，则f（a1，a2，a3，a4）的最小值为（? ）.

A.1

B. 3

C.2

D.2 3

解析? 设向量OA =（a1，a2），OB =（a3，a4），其中O为坐标原点，则f（a1，a2，a3，a4）=|OA |2+|OB |2+OA ·OB .

因为a1a4-a2a3=1，

所以S△AOB= 1 2 |a1a4-a2a3|= 1 2 .

又S△AOB= 1 2 |OA ||OB |sinθ（其中θ为向量OA ，OB 的夹角），所以|OA ||OB |sinθ=1.

于是，可得f（a1，a2，a3，a4）≥2|OA ||OB |+|OA ||OB |cosθ= |OA ||OB |（2+cosθ）= 2+cosθ sinθ .

令 2+cosθ sinθ =y，则ysinθ-cosθ=2，所以2≤ 1+y2 ，

又y>0，解得y≥ 3 .

综上，f（a1，a2，a3，a4）≥ 3 .故选B.

评注? 本题设计较好，具有一定的难度，对考生综合运用能力的考查较强.上述求解的关键在于三点：一是将f（a1，a2，a3，a4）利用向量的形式加以表示;二是将f（a1，a2，a3，a4）放缩为关于θ的表达式;三是巧求 2+cosθ sinθ 的最小值.

綜上，平面向量在解题中的“妙”用主要包括以下两类：一是遇到与平面图形有关的数学问题，可考虑建系，利用向量的坐标运算加以求解;二是遇到“平方和”“之积之和”形式的代数式，可考虑向量的模与数量积的坐标运算公式，灵活构造向量加以求解.

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