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标题 四种数学思想在解题中的应用
范文

    蔡华龙

    

    

    数学家波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路.”尽管数学题千变万化、层出不穷，其实当我们着手去解决时，都会有一定的方向、一定的道路，而给我们引领方向、带领道路的正是数学思想.

    在高中数学学习中，常见的数学思想有四类：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想.

    一、函数与方程思想

    函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通过方程进行研究.

    1.函数的思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

    2.方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

    3.（1）函数和方程是密切相关的，对函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0.函数问题（例如，求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点.

    （2）函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

    （3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.

    （4）函数f（x）=（ax+b）2（n∈ N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比例系数法可以解决很多二项定理的问题.

    （5）解析几何中的许多问题，例如，直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论.

    （6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

    例1?? f（x）和g（x）的定义域都是非零实数集，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ，求 f（x） g（x） 的取值范围.

    分析? 已知两个函数的和，求商，好像从未见过.许多同学就是这样的惯性思维，只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“f（x）是偶函数，g（x）是奇函数”.看到这点，便马上反应过来，有f（x）=f（-x），g（x）=-g（x），又有f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 再把-x换成x.到这里不能再把f（x），g（x）当函数解析式来看了，知道了f（x）+g（x），f（x）-g（x）不就可以把它们当成两个未知数，去解一个二元一次方程组.

    解? ∵f（x）为偶函数，g（x）是函数，

    ∴f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），

    ∴f（x）+g（x）=f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 ，

    ∴f（x）-g（x）= 1 x2+x+1 . ①

    又f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ， ②

    ∴ f（x）= x2+1 （x2+x+1）（x2-x+1） ，g（x）= x （x2+x+1）（x2-x+1） ，

    ∴ f（x） g（x） = x2+1 x =x+ 1 x .

    ① 當x<0时，

    f（x） g（x） =- -x- 1 x? ≤-2 （-x） 1 （-x）? =-2，

    ② 当x>0时， f（x） g（x） =x+ 1 x ≥2 x· 1 x? =2.

    综上所述， f（x） g（x） 的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）.

    函数与方程的思想是高中数学解题中用得比较多的思想，我们在平时的学习中也会深有体会.

    二、数形结合思想

    1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.

    2.实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图像的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.

    3.纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.

    4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显得优越，注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.

    例2?? 设a，b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b的值.

    分析? 很自然，当我们看到题目，总迫不急待地把a，b代入原方程： log2a+a-3=0，2b+b-3=0，? 一看，两式相加不就能构造（log2a+2b）+（a+b）-6=0吗？可是再也走不下去了.怎么办？先观察，两方程只有log2x与2x不同，但不同中也有相近，log2x不是与2x互为反函数吗？好！把log2x，2x放到一边： log2x=3-x，2x=3-x，

    这不是可以看成三个函数y1=log2x，y2=2x，y3=3-x，把它们放于图像上，不就一目了然了吗？

    设y3与y1，y2，y=x图像的交点分别为A，B，M;再看y3不也关于y=x对称吗？那么，A，B就都关于y=x对称了，求点M的坐标为? 3 2 ， 3 2? ，不是有 a+b=2× 3 2 =3，log2a+2b=2× 3 2 =3? 吗？大功告成！

    三、分类讨论思想

    1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置.

    2.所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

    3.分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论.

    4.分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类;逐类进行讨论，获取阶段性成果;归纳小结，得出结论.

    5.含参数问题的分类讨论是常见题型.

    6.注意简化或避免分类讨论.

    例3?? 设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈ R ，求f（x）的最小值.

    分析? 题目中有绝对值，将其去掉，先要分x≥a，x≤a两种，配方后，又要比较a与- 1 2 ， 1 2 的关系，分类中又要再分类.

    解? （1）当x≥a，则f（x）=x2+x-a+1= x+ 1 2? 2-a+ 3 4 .

    ① 若a≤- 1 2 ，则f（x）在 a， 1 2? 上递减，在? 1 2 ，+∞ 上单调递增，f（x）min=f - 1 2? = 3 4 -a;

    ② 若a>- 1 2 ，则f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）min=f（a）=a2+1.

    （2）当x≤a，则f（x）=x2-x+a+1= x- 1 2? 2+a+ 3 4 .

    ① 若a≤ 1 2 ，则f（x）在[-∞，a）上单调递减，f（x）min=f? 1 2? = 3 4 +a;

    ② 若a> 1 2 ，则f（x）在 -∞， 1 2? 上递减，在? 1 2 ，a 上遞增，f（x）min=f（a）=a2+1.

    综上所述，当x≥a时，若a≤- 1 2 ，则f（x）min= 3 4 -a，

    若a>- 1 2 ，则f（x）min=a2+1;

    当x≤a时，若a≤ 1 2 ，则f（x）min= 3 4 +a，

    若a> 1 2 ，则f（x）min=a2+1.

    分类讨论难免会有点烦琐，看似一道题，却相当于几道题的工作量.但当目标不明确时，分类讨论就是开门钥匙了！

    四、化归与转化思想

    1.解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行交换，将原问题转化为一个新问题（相对来 说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

    2.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证.

    3.化归与转化应遵循的基本原则：

    （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

    （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

    （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.

    （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题解决.

    （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

    在我们平时做题时，不能满足于把题目求解出来，“知识诚可贵，思想价更高”，我们应当学会从题目中总结归纳，清楚什么样的题型用什么数学思想.这样从宏观上了解掌握几种数学思想.还要从微观上记住几道运用某种或某几种数学思想的典型例题，从宏观上把握几种题型.平时多练多记（笔记，脑记），那么学起数学，做起题目来，便能得心应手了.
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更新时间：2025/2/11 5:18:39