| 标题 | 中考中的平移、翻折和旋转 |
| 范文 | 陈圆圆 摘 要：现代数学教学的首要任务是培养学生的数学能力。的确，数学教学中传授知识是一方面，但更重要的应是发展学生的数学能力，使学生学会数学的思考、研究和解决问题。众所周知，数学能力的核心是数学思维能力，而图形变换最大的特点就是注重考察学生的猜想、探索与创新思维能力，解题灵活多变，是考察学生分析问题和解决问题能力的一把良尺. 关键词：平移；翻折；旋转 中考是初中教学的指挥棒.从近几年的中考试题我们看出，中考具有一定的选拔性，因此，在试卷上重视基础知识考察的同时，也加强了对数学能力包括思维能力，运算能力，分析问题和解决问题能力的考查，试题的应用性、创新性明显增强。 平移、翻折和旋转是几何变换中的三种基础变换.所谓几何变换就是根据确定的法则，对所给的图形（或某一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.平移、翻折和旋转中题型丰富多彩，解题灵活多变，很好得体现了学生分析问题和解决问题的能力。所以，近几年中考明显加大了这方面的考察力度。 中考中，几何变换常见的题型有填空、选择、作图以及综合题等。平移、轴对称、旋转等变换常结合三角形全等、三角形相似、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。下面我将平移、翻折与旋转在中考中的应用做以下归纳总结。 1 平移在中考中的应用 综观近几年各省市中考试卷，一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题活题脱颖而出。这些试题很好地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和分析问题解决问题的能力，为课堂教学吹了一股清新的风。 例1.（1）（2018.长沙）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点A′的坐标是___. （2）（2017.大连）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为（3，﹣1），则点B′的坐标为（ ） A（4，2） B（5，2） C（6，2） D（5，3） （1）（2）兩小题考察的是点或线段在坐标系中平移后的坐标变化规律“左减右加”，“上加下减”，属于基础题. 例2.（2013.广东省）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= 。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。 （1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 度。 （2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长。 （3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。 图1 图2 图3 这是2013年广东省初中毕业生学业考试的一道压轴题（第25题，9分），考察了平移变换的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定及性质，同时数学中分类讨论的思想在本题中也得到了很好的体现。 2 折叠问题在中考中的应用. 近年来，图形的折叠问题成为中考数学中的一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。折叠问题是近几年中考的热点，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.图形翻折型问题具有可操作性，教学中应突出探究活动过程，让学生亲历“做数学”的过程。解题中，以下几点为解题关键：（1）互相重合的点是以折痕为对称轴的对称点，连结两重合点的线段被折痕垂直平分；（2）互相重合的线段是以折痕为对称轴的对称线段；（3）互相重合的部分是全等图形，也是以折痕为对称轴的对称图形。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，有效得培养了学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力，下面我们一起来探究这种题型的解法。 2.1 三角形中的折叠问题 例3.（1）（2013.郴州）如图4，在Rt△ACB中∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠，使B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A.25° B.30° C. 35° D. 40° （2）（2018.天津）如图5，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为DB，则下列结论一定正确的是（ ） A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB 图4 图5 图6 图7 第（1）小题先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，最后由三角形外角的性质即可得出结论。本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，图形翻折不变性的性质是解答此题的关键。第（2）小题先根据折叠可得BE=BC，利用等量代换可得AB=AE+BE=AE+BC的长。此题主要考查了翻折变换，折叠是一种对称变换，折叠前后的图形全等是本题的解题关键。 2.2 四边形中的折叠问题 例4.（1）（2013.梧州）如图6，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（ ） A.80° B.70° C.40° D.20° （2）（2015.扬州）如图7，E，F分别是□ABCD的边AD、BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为（ ） A.6 B.12 C.18 D.24 （3）（2013.河南省）如图8，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为______。 图8 第（1）小题考查了平行线和折叠的性质。 第（2）小题根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论。 第（3）小题考察了矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用。解决本题的突破口是当△CEB′为直角三角形时有三种可能①可能是∠ECB′=90°②可能是∠EB′C=90°③可能是∠CEB′=90°。 翻折变换在几何计算与证明中也很普遍。它是几何中的一种重要变换，运用翻折变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，利于问题的研究和解决。 例5.（2013·遵义）如图9，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N。 图9 （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求 的值。 第（1）小问由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；第（2）小问先过点N作NH⊥BC于点H，由△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，易得MC=3ND=3HC，然后设DN=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案。本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积。难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合的思想与方程的思想. 数学是研究数与形的科学。图形翻折型问题的解决应抓住数形转化为突破口，引导学生研究“数”与“形”，“翻折”是“形”的变化——轴对称图形、全等形、相似形；“翻折”是数量相等——线段之间、角角之间的相等。“翻折”为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁.解决此类问题的思路是：先弄清对称轴（折痕），明确图中哪些线段相等（重合），哪些角相等（重合），哪些三角形全等（重合），然后找出线段间的数量关系，最后利用勾股定理、相似比或三角函数列方程，完成“数”与“形”之间的转化，进而求得其解。 3 旋转变换在中考中的应用 旋转变换与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转变换设计而成，于是，中考中加大了对旋转变换的考察，这有利于培养学生实践与操作能力，可以让学生充分发挥自己的想象力，形成空间观念和运动变化意识，加强图形变换与现实生活的联系。解这类题要求考生具备扎实的数学基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能力。解题时要切实把握几何图形运动过程，并注意运动过程中的特殊位置，抓住图形旋转前后变量与不变量，在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。 3.1 线段的旋转 例6（2013.珠海9分）如图10，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC邊上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E。 图10 （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当 ，BP′= 时，求线段AB的长。 本题考察了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用等等，是一道综合性很强的题目。 3.2 三角形的旋转（直角三角形考察的最多） 例7：（1）（2018.浙江金华）如图11，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（ ） A.55° B.60 C.65° D.70° 图11 图12 图13 （2）（2013.东营）将等腰直角三角形AOB按如图12所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至 的位置，点B的横坐标为2，则点A的坐标为（ ） A.（1，1） B.（ ） C.（-1，1） D.（ ） （3）（2013.广东省）如图13，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是 。 第（1）题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键.根据旋转的性质可知，旋转前后的两个图形是全等的，且旋转角度数是一样的。∠ACE=90°，AC=CE，∠DCE=∠ACB=20°，可求出∠E的度数，根据外角的性质可求得∠ADC的度数。第（2）小题考查了旋转的概念及性质，在直角坐标系中将问题转化为直角三角形的旋转，然后利用旋转的性质求出相应的线段长，再根据点的坐标特征确定点的坐标。第（3）小题是旋转的性质、三角形中位线定理与平行四边形判定定理的综合应用。 新课标中，几何内容的最大特点就是突出了图形变换，其中有平移、翻折、旋转等。旋转变换题型多样，变化灵活，从考查学生空间想像能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用旋转相关性质的说理计算题，发展到基于旋转操作的综合题，甚至是压轴题。各地的中考试题出现了许多有关图形旋转问题。 例8：（2013.广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题： 探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P。（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数。 探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN。在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由。 这是一道几何综合题，考察的知识点有旋转变换、角平分线的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、垂径定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及二次函数的性质。难度较大。 3.3 四边形的旋转 图形的运动在中考试题中屡见不鲜，将静态的几何图形动态化，有利于培养学生用动态的观点去看待问题，有利于培养学生空间想象能力和动手操作能力，这类问题的解题关键在于如何“静中求动”或“动中取静”。 例9：（2013.黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 。 分析：如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长。本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质。根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键。 在图形的平移、翻折与旋转运动变化中寻找不变的量：对应边相等，对应角相等，把握规律，探究关系，要学会把图形的对称性与分类讨论的数学思想结合在一起。翻折与旋转在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多。另外，从运动变化的图形的特殊位置，探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想，对我们解决运动变化问题是极为重要的。 4 中考中有关平移、翻折、旋转的作图 有关平移、翻折、旋转的作图题在中考中也是很受欢迎的，往往与网格结合在一起，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合。中考中的“格点问题”也秉承了“狠抓基础，注重过程，渗透思想，突出能力，强调应用，着重创新”这一精神，既突出了“数形结合”的数学思想方法，考查了学生对图形的敏锐观察力和对数学规律的发现探究能力，又考查了学生的创新意识、决策意识和实践能力。近年来，与格点问题相关的中考题，题型不断翻新，异彩纷呈。这有利于考查学生的画图、计算、观察、推理、想象等多方面的能力。 4.1 平移和轴对称的综合 例10：（2016.甘肃省）如图14，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上. （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1。 （2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标。 图14 图15 4.2 有关轴对称和旋转的综合 例11：（2017.七台河）如图15，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2），请解答下列问题： （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标。 （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标。 （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标。 4.3 有关平移和旋转的综合 例12：（2016.龙东）如图16，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2。 （1）画出△A1B1C1。 （2）画出△A2B2C2。 图16 图17 4.4 有关平移、轴对称和旋转的综合 例13：（2013.巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图17所示。 （1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1。 （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2。 （3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）。 以上例题都是在网格中完成作图，除此之后还有很多题型，比如2013年广州中考中就有一道题，要求在没有网格的图上作出△ABD的轴对称图形。其实不管什么题型，理解概念抓住本质是关键. 总之，在几何变换问题中含有一些始终不变的量，抓住这些不变量进行计算、推理是解决变换问题的关键。针對初中数学课程改革和中考命题的变化，我们在解决平移、翻折、旋转时要有的放矢，培养和重视学生对数学知识的理解、技能的掌握和综合应用知识的能力，着实提高学生运用数学知识解决问题的能力。这样学生在中考的舞台上才会大展拳脚。 参考文献 [1]《中学教与学》2017年第10期. [2]《考试（中考版）》2010年第12期. [3]《5年中考3年模拟》教育科学出版社. |
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