标题 | 丢番图方程x2+11=y3 |
范文 | 摘 要:对于某些整数d,若Q(d)是Euclid域,则在对应的Euclid整环中算术基本定理成立。利用此来证明不定方程x2+11=y3的整数解仅有(x,y)=(±4,3),(±58,15)。 关键词:丢番图方程;整数解;唯一分解整环 对于不定方程: x2+C=yn 已经有很多作者做過研究,其中在C=1,4时,在潘承洞、潘承彪《代数数论》一书中证明该方程的整数解分别是(x,y)=(0,1), (x,y)=(±2,2),(±11,5)。在C=16时,2006年廖江东证明了该式无整数解。当C=4n(x≡1(mod2))时黄勇庆证明了该不定方程式的整数解仅有(x,y,n)=(±11,5,1)。 对于该方程的另一种情况,在C=16时关于不定方程x2+11=y3已经有过一定研究工作,前作者证明该方程只有整数解(±58,15),其证明的结论是不全面的。本文中作者结合Euclid整环的相关性质,对该方程的整数解问题重新作出证明,并对结论加以修订。 定义1 Euclid整环:设M是整环,如果存在一个M的全体非零元素到自然数的集合的函数 ,使得对任意的 ,一定有 ,满足 ,这里 或 且有 ,那么M就称为M的Euclid整环。 定义2 Euclid域:Euclid整环对应的分式域叫做Euclid域。 定义3 唯一分解整环:设D是因子分解整环,若任意的非零非单位α∈D,都可以唯一的表示为D中不可约元素的乘积,则D为唯一分解整环。 定理1 对于Euclid整环,其自身是一个主理想整环,从而必定是一个唯一分解整环。 定理2 假设M满足唯一分解整环的性质,从而对于正整数k≥2,以及α,β∈M,(α,β)=1,必有:当αβ=γk,γ∈M时,必有: α=ε1?k,β=ε2νk,?,ν∈M 并且其中ε1,ε2两个元素是M中的单位元素,而且ε1ε2=εk,ε也为M的单位元素。 定理3 在虚二次域 当中,是Euclid域的只有以下五种情况:分别是d=-1,-2,-3,-7,-11. 证明:不定方程 x,y∈Z(1) 的整数解仅有(x,y)=(±4,3),(±58,15)。 证明:由于二次域 为Euclid域,且仅有单位数±1,其中 是一组整基。从而整环 中的整数形如 的形 式,且 ,即a,b同奇同偶,其中a,b∈Z。 由(1)式得 x,y∈Z 令 ,由于 ,由整除性质知: 。 若 从而: 为整环 中的整数,从而 , ,所以 。从而(1)式左边: 与右边 矛盾。 若 从而:在 中 是素数,从而 或 。若 ,则由 ,显然 ,两边取范数得: 。从而 并且由(1)式知 ,从而 由(1)式知 ,矛盾。从而 ,由引理知 a,b∈Z 上式整理得 比较等式系数可得: 由第二式知:b=±1,±2,±22,±23 若b=1,由二式得: ,由于a∈Z,不可能 若b=?1,由二式得:a=±1,从而 。 若b=2,由二式得:a=±4,从而 。 若b=?2,由二式得: ,由于a∈Z,不可能 若b=±22,±23,由于a,b同奇同偶,从而由二式知: 左边 右边 矛盾 综上可知不定方程 的整数解仅有(x,y)=(±4,3),(±58,15)。 参考文献 [1]潘承洞,潘承彪.代数数论[M].山东:山东大学出版社.2003. [2]冯克勤.代数数论[M].北京:科学出版社,2000. [3]廖江东,柳杨.关于不定方程 [J].四川理工学院学报(自然科学版),2007(2):4-5. [4]黄勇庆.关于不定方程 [J].四川理工学院学报 [5]高丽,赵彩红,赵喜燕.关于不定方程 [J].延安大学学报(自然科学版),2014(1):7-8 作者简介 王振(1984-),男,山东临沂人,讲师,硕士,从事基础数学研究。 |
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