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标题 证明特殊数列和式不等关系初探
范文

    孟铉济

    

    【摘要】文章以已知数列为例,求证较为复杂的数列和式的不等关系,常规做法在解决问题时需要对原数列有一个较烦琐的构造,思维过程较为复杂,若采用特殊的放缩法,解题思维过程将变得简洁.

    【关键词】数列和式;不等关系;证明

    例1已知:a1=12,an=1(n+1)!.

    求证:a1+a2+a3+…+an<1.

    常规做法:

    ∵an=1(n+1)!=1(n+1)·n·(n-1)·…·3·2·1<1(n+1)n=1n-1n+1,

    ∴a1+a2+a3+…+an<1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1<1.

    证明方法并不算复杂,经仔细研究,还能启发我们解题思路.任意给定一个真分数m,加上一个真分数m1,再加上一个真分数m2,…,若使mn满足相应的条件,总能证明他们的和小于一个常量.通过将mn与以上不等式左侧进行逐项比较,解题思路就清晰了.

    这样可能过于抽象,我们不如从一个经典的模型谈起.《庄子》中有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的说法,这也相应了数学上的极限思想.假设我们现在要分割一个面积为1的正方形,每次取得它剩余面积的12,由“万世不竭”可知,我们所取得的面积恒小于1.如果每次取得的量与总剩余面积的比值相等,不一定是12,也容易得出取得面积之和恒小于1.下面用不等式來描述以上关系:

    设每次取得剩余部分为X(X∈(0,1));

    那么第一次将取得的面积:X.

    第二次:(1-X)·X;

    第三次:(1-X)·(1-X)·X;

    ……

    第n+1次:(1-X)n·X.

    可得不等式A:X+X(1-X)+X(1-X)2+X(1-X)3+…+X(1-X)n<1.

    A这个不等式是通过几何观察得到的,证明方法如下:

    ∵X∈(0,1),∴X<1,1-X﹥0,

    两边乘(1-X),得X(1-X)<1-X.

    两边加上X,得X+X(1-X)<1.

    两边再乘(1-X),得X(1-X)+X(1-X)2<1-X,

    X+X(1-X)+X(1-X)2<1,

    ……

    不断对不等号两侧先乘(1-X),再加X;因为X∈(0,1),不等号不改变,即可推出不等式A.若将不等式A作为已知,就得到证明开头问题的新思路,具体如下:

    ∴2k2k+4的值随着k的增大而增大,1(k+1)2的值随着k的增大而减小,且k=3时,2·32·3+4>1(3+1)2,

    ∴2k2k+4>1(k+1)2(k≥3),ak+1

    ∴an

    通过对比方法1与方法2,可以发现,对于较为复杂的数列和式,常规放缩在解决问题时需要对原数列有一个较烦琐的构造,思维过程较为复杂.相比之下,若先完成对不等式A的证明,只需要再对A中的X赋值即可.实质上这也是一种特殊的放缩法,但解题思维过程较为简捷.

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更新时间:2025/3/10 13:10:09